登录
6.“符合图中所标条件的平行四边形是菱形”为不确定事件的是 （
C
）答案
6. C
解析
【分析】
解题前要先明确两个核心知识点：1. 不确定事件（随机事件）是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件和不可能事件都属于确定事件；2. 菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。接下来逐个分析选项的条件能否确定平行四边形是菱形：
选项A的条件可推出平行四边形一组邻边相等，一定是菱形，属于确定事件；选项B的条件可推出对角线互相垂直，一定是菱形，属于确定事件；选项C的条件是所有平行四边形都满足的邻角互补的性质，无法判定是菱形，可能是普通平行四边形也可能是菱形，属于不确定事件；选项D的条件可推出一组邻边相等，一定是菱形，属于确定事件。
【解析】
首先明确概念：不确定事件即随机事件，指可能发生也可能不发生的事件；菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
1. 分析选项A：平行四边形对边平行，内错角相等，可知对角线平分一组60°的对角，由等角对等边可推出一组邻边相等，因此该平行四边形一定是菱形，属于确定事件，不符合题意。
2. 分析选项B：根据三角形内角和为180°，可算出两条对角线的夹角为$180°-30°-60°=90°$，即对角线互相垂直，因此该平行四边形一定是菱形，属于确定事件，不符合题意。
3. 分析选项C：平行四边形邻角本身互补，给出的邻角$120°$和$60°$是所有平行四边形都具备的性质，无法判定其为菱形，该图形可能是普通平行四边形也可能是菱形，属于不确定事件，符合题意。
4. 分析选项D：对角线将内角分为两个$60°$的角，可知包含该角的三角形有两个内角为$60°$，是等边三角形，可推出一组邻边相等，因此该平行四边形一定是菱形，属于确定事件，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
随机事件的定义；菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题结合平行四边形、菱形的性质判定考查随机事件的分类，解题关键是熟练掌握菱形的判定条件，逐一分析选项给出的条件是否能唯一确定平行四边形为菱形。
【难度系数】
0.7
解题前要先明确两个核心知识点：1. 不确定事件（随机事件）是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件和不可能事件都属于确定事件；2. 菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。接下来逐个分析选项的条件能否确定平行四边形是菱形：
选项A的条件可推出平行四边形一组邻边相等，一定是菱形，属于确定事件；选项B的条件可推出对角线互相垂直，一定是菱形，属于确定事件；选项C的条件是所有平行四边形都满足的邻角互补的性质，无法判定是菱形，可能是普通平行四边形也可能是菱形，属于不确定事件；选项D的条件可推出一组邻边相等，一定是菱形，属于确定事件。
【解析】
首先明确概念：不确定事件即随机事件，指可能发生也可能不发生的事件；菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
1. 分析选项A：平行四边形对边平行，内错角相等，可知对角线平分一组60°的对角，由等角对等边可推出一组邻边相等，因此该平行四边形一定是菱形，属于确定事件，不符合题意。
2. 分析选项B：根据三角形内角和为180°，可算出两条对角线的夹角为$180°-30°-60°=90°$，即对角线互相垂直，因此该平行四边形一定是菱形，属于确定事件，不符合题意。
3. 分析选项C：平行四边形邻角本身互补，给出的邻角$120°$和$60°$是所有平行四边形都具备的性质，无法判定其为菱形，该图形可能是普通平行四边形也可能是菱形，属于不确定事件，符合题意。
4. 分析选项D：对角线将内角分为两个$60°$的角，可知包含该角的三角形有两个内角为$60°$，是等边三角形，可推出一组邻边相等，因此该平行四边形一定是菱形，属于确定事件，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
随机事件的定义；菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题结合平行四边形、菱形的性质判定考查随机事件的分类，解题关键是熟练掌握菱形的判定条件，逐一分析选项给出的条件是否能唯一确定平行四边形为菱形。
【难度系数】
0.7
7. 若事件“对于二次函数$y=x^2 -2mx +3$，当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小”是必然事件，则实数$m$的值可能是（
A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
D
）A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
答案
7. D
解析
【分析】
首先明确本题需结合二次函数增减性和必然事件的定义解题：第一步先根据二次函数解析式判断开口方向、求出对称轴；第二步根据开口向上的二次函数增减性规律（对称轴左侧y随x增大而减小），结合“x≤1时y随x增大而减小是必然事件”的要求，推导m的取值范围；最后匹配选项得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 -2mx +3$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=-2m$，可得对称轴为$x=m$；
3. 开口向上的抛物线中，对称轴左侧y随x的增大而减小。要使“当$x≤1$时，y随x的增大而减小”是必然事件，说明$x≤1$的区间全部在对称轴左侧，即$m≥1$。
观察选项，只有$m=2$满足$m≥1$的要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；必然事件的定义
【点评】
本题综合考查二次函数的增减性和必然事件的概念，解题核心是根据二次函数的增减性要求推导出参数的取值范围，再结合选项筛选符合条件的值即可。
【难度系数】
0.7
首先明确本题需结合二次函数增减性和必然事件的定义解题：第一步先根据二次函数解析式判断开口方向、求出对称轴；第二步根据开口向上的二次函数增减性规律（对称轴左侧y随x增大而减小），结合“x≤1时y随x增大而减小是必然事件”的要求，推导m的取值范围；最后匹配选项得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 -2mx +3$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=-2m$，可得对称轴为$x=m$；
3. 开口向上的抛物线中，对称轴左侧y随x的增大而减小。要使“当$x≤1$时，y随x的增大而减小”是必然事件，说明$x≤1$的区间全部在对称轴左侧，即$m≥1$。
观察选项，只有$m=2$满足$m≥1$的要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；必然事件的定义
【点评】
本题综合考查二次函数的增减性和必然事件的概念，解题核心是根据二次函数的增减性要求推导出参数的取值范围，再结合选项筛选符合条件的值即可。
【难度系数】
0.7
8. 一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸3个球，至少有一个球是黑球的事件是
必然
事件。答案
8. 必然
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件；第二步结合袋子里球的数量分析摸球结果：袋子里只有2个白球，最多只能摸出2个白球，那么摸3个球时，剩下的1个球一定是黑球，因此“至少有一个球是黑球”是一定会发生的事件，对应必然事件。
【解析】
已知袋子中只有2个白球，其余均为黑球，若任意摸3个球，最多能摸出2个白球，剩余的1个球必定是黑球，因此“从中任意摸3个球，至少有一个球是黑球”是一定会发生的事件。根据必然事件的定义，该事件属于必然事件。
【答案】
必然
【知识点】
1. 事件的分类
2. 必然事件的定义
【点评】
本题主要考查不同类型事件的区分，解题关键是结合实际情境判断事件发生的确定性，掌握三类事件的基本定义就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题思路分两步走：第一步先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件；第二步结合袋子里球的数量分析摸球结果：袋子里只有2个白球，最多只能摸出2个白球，那么摸3个球时，剩下的1个球一定是黑球，因此“至少有一个球是黑球”是一定会发生的事件，对应必然事件。
【解析】
已知袋子中只有2个白球，其余均为黑球，若任意摸3个球，最多能摸出2个白球，剩余的1个球必定是黑球，因此“从中任意摸3个球，至少有一个球是黑球”是一定会发生的事件。根据必然事件的定义，该事件属于必然事件。
【答案】
必然
【知识点】
1. 事件的分类
2. 必然事件的定义
【点评】
本题主要考查不同类型事件的区分，解题关键是结合实际情境判断事件发生的确定性，掌握三类事件的基本定义就能快速解答。
【难度系数】
0.9
9. 某班从3名男生(含小明)和5名女生中选派4名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名。
(1)当$n=$
(2)当$n=$
(1)当$n=$
1
时，男生小明参加比赛是必然事件；(2)当$n=$
2或3
时，男生小明参加是随机事件。答案
9. (1)1 (2)2或3
解析
【分析】解题时首先明确必然事件、随机事件的概念：必然事件是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。结合题意，选派4名学生，女生选n名，则男生需选(4-n)名，男生总共有3名（含小明，其余2名是其他男生）。（1）要使小明参加是必然事件，说明选出的男生必须包含小明，即男生选取人数比除小明外的2名男生多，结合男生最多3名，可推出男生要选3名，进而求出n；（2）要使小明参加是随机事件，说明男生选取人数既不能为0（否则小明一定不参加，是不可能事件），也不能为3（否则小明一定参加，是必然事件），即男生选1或2名，对应求出n的取值即可。
【解析】
解：由题意知，选派4名学生，女生选n名，则男生需选$(4-n)$名，男生共3名（含小明，其余2名是其他男生）。
(1) 若小明参加是必然事件，即无论如何选取男生，小明一定入选：
只有当男生选取人数为3时，选完其余2名男生后必须选小明，符合必然事件的要求。
因此$4-n=3$，解得$n=1$。
(2) 若小明参加是随机事件，即小明可能入选也可能不入选：
当$4-n=0$时，不选男生，小明一定不参加，属于不可能事件，不符合；
当$4-n=3$时，小明一定参加，属于必然事件，不符合；
因此男生选取人数只能是1或2，即$4-n=1$或$4-n=2$：
当$4-n=1$时，$n=3$；当$4-n=2$时，$n=2$。
综上$n=2$或$3$。
【答案】(1)$1$；(2)$2$或$3$
【知识点】必然事件的概念；随机事件的概念；分类讨论思想
【点评】本题结合生活中的选派场景考查事件类型的判断，解题的核心是根据事件的类型反推男生选取的人数范围，再转化为n的取值，侧重对基础概念的理解和简单逻辑推理能力的考查。
【难度系数】0.7
【解析】
解：由题意知，选派4名学生，女生选n名，则男生需选$(4-n)$名，男生共3名（含小明，其余2名是其他男生）。
(1) 若小明参加是必然事件，即无论如何选取男生，小明一定入选：
只有当男生选取人数为3时，选完其余2名男生后必须选小明，符合必然事件的要求。
因此$4-n=3$，解得$n=1$。
(2) 若小明参加是随机事件，即小明可能入选也可能不入选：
当$4-n=0$时，不选男生，小明一定不参加，属于不可能事件，不符合；
当$4-n=3$时，小明一定参加，属于必然事件，不符合；
因此男生选取人数只能是1或2，即$4-n=1$或$4-n=2$：
当$4-n=1$时，$n=3$；当$4-n=2$时，$n=2$。
综上$n=2$或$3$。
【答案】(1)$1$；(2)$2$或$3$
【知识点】必然事件的概念；随机事件的概念；分类讨论思想
【点评】本题结合生活中的选派场景考查事件类型的判断，解题的核心是根据事件的类型反推男生选取的人数范围，再转化为n的取值，侧重对基础概念的理解和简单逻辑推理能力的考查。
【难度系数】0.7
10.某学校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小温同学从中随机选取两门课程，则有多少种不同的课程组合？
答案
10. 3种
解析
【分析】
本题是简单的组合计数问题，解题核心是明确“课程组合”不考虑选课的先后顺序，避免重复计数。我们可以采用枚举法，将三门课程分别标记后，逐一列出所有选取两门的不重复情况，再统计总数量即可。
【解析】
我们将三门课程分别标记为：A（航模）、B（机器人）、C（计算机编程）。
从3门课程中随机选2门的所有不重复组合如下：
1. 航模和机器人（A、B）
2. 航模和计算机编程（A、C）
3. 机器人和计算机编程（B、C）
统计可得共有3种不同的课程组合。
【答案】
3种
【知识点】
1. 简单组合计数
2. 枚举法应用
【点评】
本题属于基础计数类习题，难度较低，解题关键是明确组合不需要考虑选取顺序，避免出现把“航模+机器人”和“机器人+航模”当成两种不同组合的重复计数错误。
【难度系数】
0.8
本题是简单的组合计数问题，解题核心是明确“课程组合”不考虑选课的先后顺序，避免重复计数。我们可以采用枚举法，将三门课程分别标记后，逐一列出所有选取两门的不重复情况，再统计总数量即可。
【解析】
我们将三门课程分别标记为：A（航模）、B（机器人）、C（计算机编程）。
从3门课程中随机选2门的所有不重复组合如下：
1. 航模和机器人（A、B）
2. 航模和计算机编程（A、C）
3. 机器人和计算机编程（B、C）
统计可得共有3种不同的课程组合。
【答案】
3种
【知识点】
1. 简单组合计数
2. 枚举法应用
【点评】
本题属于基础计数类习题，难度较低，解题关键是明确组合不需要考虑选取顺序，避免出现把“航模+机器人”和“机器人+航模”当成两种不同组合的重复计数错误。
【难度系数】
0.8
11.小明和小颖按如下规则做游戏:桌面上放有25支铅笔,每次取1支或2支,由小明先取,最后取完铅笔的人获胜。如果小明想获得必胜,那么小明第一次应该取走
1
支。答案
11. 1
解析
【分析】
这是典型的取物博弈最优策略问题，思考时首先要找到每一轮两人取笔数量的可控固定值：因为每次只能取1支或2支，所以不管对方取1支还是2支，我方都可以调整取数，让两人每轮共取3支（1+2=3）。要保证最后取完获胜，需要让最后一轮开始时剩下3支铅笔，此时对方无论取多少，我方都能取走剩余的获胜。因此我们只需要先拿走总数量除以3的余数，剩下的数量是3的倍数，后续每轮凑3就能保证我方收尾。计算25除以3的余数为1，因此小明第一次要取走1支。
【解析】
解：已知每次可取1支或2支，因此可控制每一轮两人取笔的总数量为1+2=3支。
计算25除以3的结果：$25÷ 3=8······1$，余数为1。
小明第一次取走1支铅笔后，剩余铅笔数为$25-1=24$支，恰好是3的倍数。
后续取笔时，若小颖取1支，小明就取2支；若小颖取2支，小明就取1支，保证每轮两人共取3支，24支刚好8轮取完，最后一支一定由小明取走，小明必胜。
【答案】
1
【知识点】
最优策略问题，带余除法应用
【点评】
本题是常见的博弈类题型，解题关键是找到每轮取物的可控固定和，再通过计算总数量与固定和的余数确定先手首次的取量，后续维持每轮固定和即可保证获胜，解题规律较强，掌握方法后很容易解答。
【难度系数】
0.7
这是典型的取物博弈最优策略问题，思考时首先要找到每一轮两人取笔数量的可控固定值：因为每次只能取1支或2支，所以不管对方取1支还是2支，我方都可以调整取数，让两人每轮共取3支（1+2=3）。要保证最后取完获胜，需要让最后一轮开始时剩下3支铅笔，此时对方无论取多少，我方都能取走剩余的获胜。因此我们只需要先拿走总数量除以3的余数，剩下的数量是3的倍数，后续每轮凑3就能保证我方收尾。计算25除以3的余数为1，因此小明第一次要取走1支。
【解析】
解：已知每次可取1支或2支，因此可控制每一轮两人取笔的总数量为1+2=3支。
计算25除以3的结果：$25÷ 3=8······1$，余数为1。
小明第一次取走1支铅笔后，剩余铅笔数为$25-1=24$支，恰好是3的倍数。
后续取笔时，若小颖取1支，小明就取2支；若小颖取2支，小明就取1支，保证每轮两人共取3支，24支刚好8轮取完，最后一支一定由小明取走，小明必胜。
【答案】
1
【知识点】
最优策略问题，带余除法应用
【点评】
本题是常见的博弈类题型，解题关键是找到每轮取物的可控固定和，再通过计算总数量与固定和的余数确定先手首次的取量，后续维持每轮固定和即可保证获胜，解题规律较强，掌握方法后很容易解答。
【难度系数】
0.7
12. 如图，用红、蓝两种颜色随机给A，B，C三个区域涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色。请用画树状图或列表的方法，求A，B，C三个区域所涂颜色有多少种可能的结果。
答案
12. 8种
解析
【分析】
求解本题可采用分步分析的思路：每个区域独立选择颜色，均有红、蓝2种可选，我们可以通过画树状图分层列出每一步的选择，最后统计总结果数，也可直接将每一步的可选数量相乘得到总结果数，两种方法都能避免结果的重复或遗漏。
【解析】
我们用画树状图的方法列举所有结果：
1. 第一步涂区域A，有2种选择：红色、蓝色；
2. 第二步涂区域B，对应A的每一种颜色选择，B都有红色、蓝色2种选择，此时共有$2 × 2 = 4$种组合；
3. 第三步涂区域C，对应A、B的每一种颜色组合，C都有红色、蓝色2种选择，总共有$2 × 2 × 2 = 8$种不同的结果。
也可直接列表枚举所有可能：(红,红,红)、(红,红,蓝)、(红,蓝,红)、(红,蓝,蓝)、(蓝,红,红)、(蓝,红,蓝)、(蓝,蓝,红)、(蓝,蓝,蓝)，共8种。
【答案】
8种
【知识点】
树状图法，分步计数，列举法
【点评】
本题是基础的计数类题目，掌握分步分析的逻辑，用树状图或列表法可以清晰、无遗漏地列出所有结果，是后续学习概率计算的重要基础。
【难度系数】
0.9
求解本题可采用分步分析的思路：每个区域独立选择颜色，均有红、蓝2种可选，我们可以通过画树状图分层列出每一步的选择，最后统计总结果数，也可直接将每一步的可选数量相乘得到总结果数，两种方法都能避免结果的重复或遗漏。
【解析】
我们用画树状图的方法列举所有结果：
1. 第一步涂区域A，有2种选择：红色、蓝色；
2. 第二步涂区域B，对应A的每一种颜色选择，B都有红色、蓝色2种选择，此时共有$2 × 2 = 4$种组合；
3. 第三步涂区域C，对应A、B的每一种颜色组合，C都有红色、蓝色2种选择，总共有$2 × 2 × 2 = 8$种不同的结果。
也可直接列表枚举所有可能：(红,红,红)、(红,红,蓝)、(红,蓝,红)、(红,蓝,蓝)、(蓝,红,红)、(蓝,红,蓝)、(蓝,蓝,红)、(蓝,蓝,蓝)，共8种。
【答案】
8种
【知识点】
树状图法，分步计数，列举法
【点评】
本题是基础的计数类题目，掌握分步分析的逻辑，用树状图或列表法可以清晰、无遗漏地列出所有结果，是后续学习概率计算的重要基础。
【难度系数】
0.9
