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1.下列现象:①时针转动;②电风扇叶片转动;③转呼啦圈;④传送带上物品的运动;⑤荡秋千.其中属于旋转的有(填序号).
答案
①②⑤
解析
解：根据旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动叫做旋转。
对各现象逐一判断：
①时针绕钟表的固定中心转动，属于旋转；
②电风扇叶片绕自身的固定转轴转动，属于旋转；
③转呼啦圈时，呼啦圈没有固定的旋转中心，不属于旋转；
④传送带上物品的运动是平移，不属于旋转；
⑤荡秋千时，秋千绕悬挂的定点做圆弧摆动，属于旋转。
综上，属于旋转的有①②⑤。
对各现象逐一判断：
①时针绕钟表的固定中心转动，属于旋转；
②电风扇叶片绕自身的固定转轴转动，属于旋转；
③转呼啦圈时，呼啦圈没有固定的旋转中心，不属于旋转；
④传送带上物品的运动是平移，不属于旋转；
⑤荡秋千时，秋千绕悬挂的定点做圆弧摆动，属于旋转。
综上，属于旋转的有①②⑤。
2.如图，在$△ ABP$中，$∠ BAP=50°$，将$△ ABP$绕定点A旋转一定的角度后得到$△ ACD$.若$∠ PAC=40°$，则旋转中心是，旋转方向是，旋转角度是.
（第2题）
（第2题）答案
解：
旋转中心是点A，旋转方向是逆时针方向，
由旋转的性质得∠CAD=∠BAP=50°，
旋转角∠BAC=∠BAP+∠PAC=50°+40°=90°，即旋转角度是90°。
答案依次为：点A；逆时针方向；90°。
旋转中心是点A，旋转方向是逆时针方向，
由旋转的性质得∠CAD=∠BAP=50°，
旋转角∠BAC=∠BAP+∠PAC=50°+40°=90°，即旋转角度是90°。
答案依次为：点A；逆时针方向；90°。
3. 将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ADE$,如图,使得点$B$的对应点$D$落在边$AC$的延长线上.若$AB=12$,$AE=7$,则线段$CD$的长为________.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
解：
由旋转的性质可得：$AD=AB=12$，$AC=AE=7$。
∵ 点$D$落在边$AC$的延长线上，
∴ $CD=AD-AC=12-7=5$。
由旋转的性质可得：$AD=AB=12$，$AC=AE=7$。
∵ 点$D$落在边$AC$的延长线上，
∴ $CD=AD-AC=12-7=5$。
4.如图，将$△ ABC$绕顶点$C$旋转得到$△ A'B'C$，且点$B$刚好落在$A'B'$上.若$∠ A=30°,∠ A'CB=40°$,则$∠ A'BA=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }.$
答案
解：
由旋转的性质可得：$△ ABC ≌ △ A'B'C$，
$\therefore ∠ A' = ∠ A = 30°$，$BC = B'C$，$∠ B' = ∠ ABC$。
$\because BC = B'C$，
$\therefore ∠ B' = ∠ B'BC$。
$\because ∠ B'BC$是$△ A'BC$的外角，
$\therefore ∠ B'BC = ∠ A' + ∠ A'CB = 30° + 40° = 70°$，
$\therefore ∠ B' = 70°$，即$∠ ABC = ∠ B' = 70°$。
$\because$ 点$B$在$A'B'$上，$A',B,B'$三点共线，
$\therefore ∠ A'BC = 180° - ∠ B'BC = 180° - 70° = 110°$，
$\therefore ∠ A'BA = ∠ A'BC - ∠ ABC = 110° - 70° = 40°$。
$\boxed{40°}$
由旋转的性质可得：$△ ABC ≌ △ A'B'C$，
$\therefore ∠ A' = ∠ A = 30°$，$BC = B'C$，$∠ B' = ∠ ABC$。
$\because BC = B'C$，
$\therefore ∠ B' = ∠ B'BC$。
$\because ∠ B'BC$是$△ A'BC$的外角，
$\therefore ∠ B'BC = ∠ A' + ∠ A'CB = 30° + 40° = 70°$，
$\therefore ∠ B' = 70°$，即$∠ ABC = ∠ B' = 70°$。
$\because$ 点$B$在$A'B'$上，$A',B,B'$三点共线，
$\therefore ∠ A'BC = 180° - ∠ B'BC = 180° - 70° = 110°$，
$\therefore ∠ A'BA = ∠ A'BC - ∠ ABC = 110° - 70° = 40°$。
$\boxed{40°}$
5.如图，$△ ABC$是等边三角形，将$△ ABC$绕点A逆时针旋转$90°$，得到$△ ADE$，连接$CD,CE$.
(1)直接写出$△ ACE$的形状：；
(2)求证：$∠ DCE=2∠ DEC$.
(1)直接写出$△ ACE$的形状：；
(2)求证：$∠ DCE=2∠ DEC$.
答案
解：
(1) 等腰直角三角形
(2) 证明：
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=AB$，$∠ BAC=60°$。
由旋转的性质可得：
$AD=AB=AC$，$AE=AC$，$∠ CAE=90°$，$∠ DAE=∠ BAC=60°$，$∠ AED=∠ ACB=60°$。
∵ $AC=AD$，$∠ CAD=∠ CAE-∠ DAE=90°-60°=30°$，
∴ $∠ ACD=∠ ADC=\frac{1}{2}×(180°-∠ CAD)=75°$。
由(1)知$△ ACE$是等腰直角三角形，
∴ $∠ ACE=∠ AEC=45°$。
∴ $∠ DCE=∠ ACD-∠ ACE=75°-45°=30°$，
$∠ DEC=∠ AED-∠ AEC=60°-45°=15°$。
∴ $∠ DCE=2∠ DEC$。
(1) 等腰直角三角形
(2) 证明：
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=AB$，$∠ BAC=60°$。
由旋转的性质可得：
$AD=AB=AC$，$AE=AC$，$∠ CAE=90°$，$∠ DAE=∠ BAC=60°$，$∠ AED=∠ ACB=60°$。
∵ $AC=AD$，$∠ CAD=∠ CAE-∠ DAE=90°-60°=30°$，
∴ $∠ ACD=∠ ADC=\frac{1}{2}×(180°-∠ CAD)=75°$。
由(1)知$△ ACE$是等腰直角三角形，
∴ $∠ ACE=∠ AEC=45°$。
∴ $∠ DCE=∠ ACD-∠ ACE=75°-45°=30°$，
$∠ DEC=∠ AED-∠ AEC=60°-45°=15°$。
∴ $∠ DCE=2∠ DEC$。
6. 提升题▶如图，P是等边三角形ABC内的一点，且$PA=6$，$PB=8$，$PC=10$.若将$△ PAC$绕点A逆时针旋转后得到$△ P'AB$，连接$PP'$.
(1)点P与点$P'$之间的距离为________；
(2)求$∠ APB$的大小.
(1)点P与点$P'$之间的距离为________；
(2)求$∠ APB$的大小.
答案
解：
(1) 由旋转的性质得：$AP' = AP$，$∠ P'AP = ∠ BAC$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC = 60°$，
$\therefore ∠ P'AP = 60°$，
$\therefore △ P'AP$是等边三角形，
$\therefore PP' = AP = 6$。
故答案为：$\boldsymbol{6}$。
(2) 由旋转的性质得：$P'B = PC = 10$。
在$△ P'PB$中，$PP' = 6$，$PB = 8$，$P'B = 10$，
$\because PP'^2 + PB^2 = 6^2 + 8^2 = 100$，$P'B^2 = 10^2 = 100$，
$\therefore PP'^2 + PB^2 = P'B^2$，
$\therefore △ P'PB$是直角三角形，且$∠ P'PB = 90°$。
又$\because △ P'AP$是等边三角形，
$\therefore ∠ APP' = 60°$，
$\therefore ∠ APB = ∠ APP' + ∠ P'PB = 60° + 90° = 150°$。
(1) 由旋转的性质得：$AP' = AP$，$∠ P'AP = ∠ BAC$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC = 60°$，
$\therefore ∠ P'AP = 60°$，
$\therefore △ P'AP$是等边三角形，
$\therefore PP' = AP = 6$。
故答案为：$\boldsymbol{6}$。
(2) 由旋转的性质得：$P'B = PC = 10$。
在$△ P'PB$中，$PP' = 6$，$PB = 8$，$P'B = 10$，
$\because PP'^2 + PB^2 = 6^2 + 8^2 = 100$，$P'B^2 = 10^2 = 100$，
$\therefore PP'^2 + PB^2 = P'B^2$，
$\therefore △ P'PB$是直角三角形，且$∠ P'PB = 90°$。
又$\because △ P'AP$是等边三角形，
$\therefore ∠ APP' = 60°$，
$\therefore ∠ APB = ∠ APP' + ∠ P'PB = 60° + 90° = 150°$。
