7. 中考趋势·开放性问题 如图,在四边形ABCD中,$∠ A = ∠ B$,点E在线段AB上,$CE // DA$.若使$△ BCE$成为等边三角形,可增加的一个条件是.

$∠B=60°$(答案不唯一)

【分析】
首先从已知条件推导现有结论：①由CE//DA，结合平行线的同位角相等性质，可得∠A=∠BEC；②题目已知∠A=∠B，等量代换得∠BEC=∠B，根据等角对等边可推出CE=CB，即△BCE本身已经是等腰三角形。接下来回忆等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，或三边都相等的三角形是等边三角形，因此只需补充一个能让这个等腰三角形满足等边判定的条件即可，最直接的是补充其中一个内角为60°，或者补充一组腰和底边相等的条件。
【解析】
解：
∵CE//AD，
∴∠A=∠BEC（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A=∠B，
∴∠BEC=∠B，
∴CE=CB（等角对等边），即△BCE为等腰三角形。
根据等边三角形判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，因此可添加条件∠B=60°，此时等腰△BCE就是等边三角形。
（也可添加∠BEC=60°、∠BCE=60°、BC=BE等条件，均符合要求）
【答案】
∠B=60°（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，需要先结合已知条件推导出三角形的等腰属性，再结合等边三角形的判定定理补充合适的条件，重点考查对几何基础定理的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

8.如图，$△ ABC$是等边三角形，$BD ⊥ AB$，$BD=AB$，则$∠ ADC$的度数为。

30°

【分析】
解题时首先从已知条件入手，先利用等边三角形的性质得到边长相等和内角为60°的结论，再结合BD⊥AB、BD=AB的条件，先判定△ABD为等腰直角三角形，求出∠ADB的度数；接着求出∠DBC的度数，结合BD=BC判定△BDC为等腰三角形，求出∠BDC的度数，最后通过角的和差关系计算出∠ADC的度数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD⊥AB，BD=AB，
∴BD=BC，∠ABD=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$，
又
∵∠DBC=∠ABD+∠ABC=90°+60°=150°，
在△BDC中，BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=$\frac{1}{2}×(180°-∠DBC)=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$，
∴∠ADC=∠ADB - ∠BDC=45°-15°=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题的核心是灵活运用特殊三角形的角的性质，梳理清楚各个角之间的和差关系，计算时注意不要混淆角的位置即可。
【难度系数】
0.7

9. [2026合肥期末]如图,在$△ ABC$中,$D,E$是边$BC$上的两点,且$BD=AD,CE=AE$.
(1)若$∠ BAC=100°$,则$∠ DAE=$;
(2)若$△ ADE$是等边三角形,则$∠ BAC=$.

(1)20° (2)120°

【分析】
本题可利用等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理逐步求解。(1)先根据等腰三角形性质推导角的等量关系，结合△ABC内角和求出∠B与∠C的和，进而得到∠BAD与∠CAE的和，再用∠BAC减去这个和即可得到∠DAE的度数；(2)先根据等边三角形内角为60°的性质，分别求出∠BAD和∠CAE的度数，三者相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 100° = 80°$
$\because BD=AD$，$\therefore △ ABD$为等腰三角形，$∠ B = ∠ BAD$
$\because CE=AE$，$\therefore △ ACE$为等腰三角形，$∠ C = ∠ CAE$
$\therefore ∠ BAD + ∠ CAE = ∠ B + ∠ C = 80°$
$\therefore ∠ DAE = ∠ BAC - (∠ BAD + ∠ CAE) = 100° - 80° = 20°$
(2) $\because △ ADE$是等边三角形，$\therefore ∠ ADE = ∠ AED = ∠ DAE = 60°$
$\therefore ∠ ADB = 180° - ∠ ADE = 180° - 60° = 120°$
又$\because BD=AD$，$\therefore ∠ B = ∠ BAD$
在$△ ABD$中，$∠ B + ∠ BAD = 180° - ∠ ADB = 60°$，$\therefore ∠ BAD = 30°$
同理可推导得$∠ CAE = 30°$
$\therefore ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAE + ∠ CAE = 30° + 60° + 30° = 120°$
【答案】
(1)$20°$ (2)$120°$
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算类几何题，解题核心是熟练运用特殊三角形的角的性质完成角度的等量转化，这类题型是三角形章节的常考基础题型，掌握角度转化逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7

10. 几何直观 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$在$△ ABC$内，$BD=BC$，$∠ DBC=60°$，点$E$在$△ ABC$外，$∠ BCE=150°$，$∠ ABE=60°$。求证：$△ ABE$是等边三角形。

证明：
∵ $BD=BC$，$∠ DBC=60°$，
∴ $△ DBC$是等边三角形，
∴ $BD=DC=BC$，$∠ BDC=60°$。
∵ $AB=AC$，$AD=AD$，$BD=CD$，
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SSS），
∴ $∠ ADB = ∠ ADC$。
∵ $∠ ADB + ∠ ADC + ∠ BDC = 360°$，
∴ $2∠ ADB = 360° - 60° = 300°$，
∴ $∠ ADB = 150°$。
∵ $∠ BCE = 150°$，
∴ $∠ ADB = ∠ BCE$。
∵ $∠ ABE = 60°$，$∠ DBC = 60°$，
∴ $∠ ABE - ∠ DBE = ∠ DBC - ∠ DBE$，即$∠ ABD = ∠ EBC$。
在$△ ABD$和$△ EBC$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ADB = ∠ ECB \\BD = BC \\∠ ABD = ∠ EBC\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ EBC$（ASA），
∴ $AB = BE$。
又∵ $∠ ABE = 60°$，
∴ $△ ABE$是等边三角形。

【分析】
要证明△ABE是等边三角形，已知∠ABE=60°，根据等边三角形的判定定理，只需证明AB=BE即可。首先结合已知BD=BC、∠DBC=60°，可先判定△DBC是等边三角形，得到BD=CD；再利用SSS证明△ABD≌△ACD，求出∠ADB的度数，发现其与∠BCE相等；接着通过角度的和差关系推出∠ABD=∠EBC，结合BD=BC，用ASA证明△ABD≌△EBC，即可得到AB=BE，最终完成等边三角形的证明。
【解析】
证明：
∵ $BD=BC$，$∠ DBC=60°$，
∴ $△ DBC$是等边三角形，
∴ $BD=DC=BC$，$∠ BDC=60°$。
∵ $AB=AC$，$AD=AD$，$BD=CD$，
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SSS），
∴ $∠ ADB = ∠ ADC$。
∵ $∠ ADB + ∠ ADC + ∠ BDC = 360°$，
∴ $2∠ ADB = 360° - 60° = 300°$，
∴ $∠ ADB = 150°$。
∵ $∠ BCE = 150°$，
∴ $∠ ADB = ∠ BCE$。
∵ $∠ ABE = 60°$，$∠ DBC = 60°$，
∴ $∠ ABE - ∠ DBE = ∠ DBC - ∠ DBE$，即$∠ ABD = ∠ EBC$。
在$△ ABD$和$△ EBC$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ADB = ∠ ECB \\BD = BC \\∠ ABD = ∠ EBC\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ EBC$（ASA），
∴ $AB = BE$。
又
∵ $∠ ABE = 60°$，
∴ $△ ABE$是等边三角形。
【答案】
△ABE是等边三角形，证明过程如上。
【知识点】
等边三角形的判定，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是先推导得到△DBC为等边三角形，再通过两次全等三角形的证明得到边相等的结论，最终结合60°角判定等边三角形，要求学生能灵活运用全等和等边三角形的相关定理，具备一定的角度推导和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

11. 能力训练点·探究建模 已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.
(1)【特殊情况，探索结论】
如图①，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“＞”“＜”或“＝”).
(2)【特例启发，解答题目】
如图②，当点E为AB边上任意一点时，请判断线段AE与DB的大小关系，并说明理由.(提示：过点E作EF//BC，交AC于点F)
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求线段CD的长.

解：(1)= (2)AE=DB,理由:略. (3)CD=3.

【分析】
(1) 先利用等边三角形的性质，结合E是AB中点得到AE=EB，再根据ED=EC的等腰关系推导角度，得出DB=EB，即可判断AE与DB的大小关系；
(2) 按提示作EF//BC，先证△AEF为等边三角形得到AE=EF，再推导角度相等证明△DBE和△EFC全等，通过全等对应边相等等量代换得到AE和DB的关系；
(3) 类比第二问的思路，作EF//BC交AC延长线于F，先证△AEF为等边三角形，再证明△DBE≌△CFE得到DB的长度，结合BC的长度即可求出CD的长。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，E为AB中点，
∴AE=EB，CE平分∠ACB，∠ABC=60°，
∴∠ECB=30°。
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°。
∵∠ABC=∠D+∠DEB=60°，
∴∠DEB=30°，即∠D=∠DEB，
∴DB=EB，
∴AE=DB。
(2) AE=DB，理由如下：
过点E作EF//BC，交AC于点F。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC。
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EFC=180°-∠AFE=120°。
∵∠DBE=180°-∠ABC=120°，
∴∠DBE=∠EFC。
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD。
∵EF//BC，
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠D=∠FEC。
在△DBE和△EFC中：
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ FEC\\ ∠ DBE=∠ EFC\\ ED=EC\end{array} $
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF，
又
∵EF=AE，
∴AE=DB。
(3) 过点E作EF//BC，交AC的延长线于点F。
∵△ABC是等边三角形，边长为1，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC=1。
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠F=∠ACB=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF=2，
∴BE=AE-AB=2-1=1，CF=AF-AC=2-1=1，即BE=CF。
∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠F=60°。
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD。
∵EF//BC，
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠D=∠FEC。
在△DBE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ FEC\\ ∠ DBE=∠ F\\ BE=CF\end{array} $
∴△DBE≌△CFE(AAS)，
∴DB=EF=2，
∴CD=DB+BC=2+1=3。
【答案】
(1) =；(2) AE=DB；(3) 3
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题从特殊到一般探究线段数量关系，需要熟练运用等边、等腰三角形的性质构造全等三角形，掌握平行线的角度推导是解题的核心，第三问类比前序思路解题，能很好地锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.65