(1) 如图,在$□ ABCD$中,点$E$在边$BC$的延长线上,$AE$、$CD$相交于点$F$.图中相似三角形有().


A.3对
B.2对
C.1对
D.0对

A

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD。
1. ∵AD//CE，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据AA判定可得△ADF∽△ECF；
2. ∵AB//CF，∴∠E=∠E，∠ECF=∠B，根据AA判定可得△ECF∽△EBA；
3. 由△ADF∽△ECF，△ECF∽△EBA，根据相似三角形的传递性可得△ADF∽△EBA。
综上，图中共有3对相似三角形。

(2) 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,$DE⊥ BC$,垂足分别为$D$、$E$,则与$\mathrm{Rt}△ CDE$相似的直角三角形共有().

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

A

1. 由∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥BC，可得直角三角形有：Rt△CDE、Rt△BDE、Rt△BCD、Rt△ABC、Rt△ACD。
2. 依据两角对应相等的两个三角形相似（AA）判定：
Rt△CDE∽Rt△BDE：∠DEC=∠DEB=90°，∠CDE=∠B（同角的余角相等）；
Rt△CDE∽Rt△BCD：∠DEC=∠CDB=90°，∠DCE=∠BCD（公共角）；
Rt△CDE∽Rt△ABC：∠DEC=∠ACB=90°，∠CDE=∠B（同角的余角相等）；
Rt△CDE∽Rt△ACD：∠DEC=∠ADC=90°，∠CDE=∠ACD（DE//AC，内错角相等）。
3. 综上，与Rt△CDE相似的直角三角形共有4个。

3. 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$∠ B=25°$,$∠ C=50°$,$∠ B'=105°$,$∠ C'=50°$.这两个三角形相似吗?为什么?

解：
在$△ABC$中，
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 25° - 50° = 105°$，
在$△A'B'C'$中，
$∠ A' = 180° - ∠ B' - ∠ C' = 180° - 105° - 50° = 25°$，
$\therefore ∠ A = ∠ B' = 105°$，$∠ C = ∠ C' = 50°$，
$\therefore △ABC ∽ △B'A'C'$（两角分别相等的两个三角形相似）。

4. 底角相等的两个等腰三角形是否相似? 顶角相等的两个等腰三角形呢? 证明你的结论.

证明：
一、底角相等的两个等腰三角形相似
设△ABC为等腰三角形，AB=AC，故∠B=∠C；
△DEF为等腰三角形，DE=DF，故∠E=∠F。
∵∠B=∠E，
∴∠C=∠F，
又∵∠A=180°-2∠B，∠D=180°-2∠E，且∠B=∠E，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，∠B=∠E，
∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）。
二、顶角相等的两个等腰三角形相似
设△ABC为等腰三角形，AB=AC，故∠B=∠C=$\frac{180°-∠A}{2}$；
△DEF为等腰三角形，DE=DF，故∠E=∠F=$\frac{180°-∠D}{2}$。
∵∠A=∠D，
∴$\frac{180°-∠A}{2}$=$\frac{180°-∠D}{2}$，即∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，∠B=∠E，
∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）。
综上，底角相等的两个等腰三角形相似，顶角相等的两个等腰三角形也相似。

5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C＞∠ B$,点$D$在边$AC$上.在边$AB$上求作一点$E$,使$△ ADE$与$△ ABC$相似,说明这样作图的理由.

解：
作法一：
1. 以点D为顶点，在△ABC内部作∠ADE = ∠B，射线DE交AB于点E。
此时△ADE与△ABC相似。
理由：
在△ADE和△ABC中，
∠A = ∠A（公共角），
∠ADE = ∠B，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
作法二：
1. 以点D为顶点，在△ABC内部作∠AED = ∠C，射线DE交AB于点E（或作DE//BC，交AB于点E）。
此时△ADE与△ABC相似。
理由：
在△ADE和△ACB中，
∠A = ∠A（公共角），
∠AED = ∠C（或∵DE//BC，∴∠ADE = ∠C），
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似），即△ADE与△ABC相似。

6. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$CD$是斜边上的高,$△ ACD$、$△ CBD$与$△ ABC$相似吗? 证明你的结论.

证明：
1. 证明$△ ACD ∽ △ ABC$：
$\because ∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ ACB = 90°$，
又$\because ∠ A = ∠ A$（公共角），
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 证明$△ CBD ∽ △ ABC$：
$\because ∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDB = ∠ ACB = 90°$，
又$\because ∠ B = ∠ B$（公共角），
$\therefore △ CBD ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
综上，$△ ACD$、$△ CBD$都与$△ ABC$相似。