8. 如图所示，在 $ △ ABC $ 中，点 $ D $，$ E $ 分别为 $ AB $，$ AC $ 的中点，点 $ H $ 在线段 $ CE $ 上，点 $ G $，$ F $ 分别为 $ BH $，$ CH $ 的中点。
(1) 求证：四边形 $ DEFG $ 为平行四边形；
(2) 若 $ DG ⊥ BH $，$ BD = 3 $，$ EF = 2 $，求线段 $ BG $ 的长度。

8. (1) 提示:可利用三角形中位线定理,得出 $ DE \xlongequal{//} GF $，或者 $ DG // EF $，$ DE // GF $，证出平行四边形 (2) $ \sqrt{5} $ 提示:在(1)的基础上可得 $ DG = EF = 2 $，又 $ BD = 3 $，$ DG ⊥ BH $，用勾股定理得 $ BG = \sqrt{5} $

(1) 证明：
∵ D，E 分别为 AB，AC 的中点，
∴ DE 是△ABC 的中位线，
∴ DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC。
∵ G，F 分别为 BH，CH 的中点，
∴ GF 是△BCH 的中位线，
∴ GF//BC，GF = $\frac{1}{2}$BC。
∴ DE//GF 且 DE = GF，
∴ 四边形 DEFG 为平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形 DEFG 为平行四边形，
∴ DG = EF = 2。
∵ G 为 BH 的中点，DG⊥BH，
∴ DG 垂直平分 BH，
∴ BD = DH = 3。
在 Rt△DGB 中，BD = 3，DG = 2，
由勾股定理得：BG = $\sqrt{BD^2 - DG^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}$。
答案：(2) $\sqrt{5}$

9. 如图所示，在 $ △ ABC $ 中，$ AB ＞ AC $，$ D $，$ E $，$ F $ 分别是 $ BC $，$ AB $，$ AC $ 的中点，$ EG // AD $ 交 $ FD $ 的延长线于点 $ G $。求证：
(1) 四边形 $ AEGD $ 是平行四边形；
(2) $ AB = GF $。

9. 提示:利用三角形中位线定理证得 $ GD // AE $，又 $ EG // AD $，可证得平行四边形，于是得 $ GD = AE $，又 $ DF = \dfrac{1}{2}AB = BE $，所以 $ AB = GF $

(1) 证明：
∵ D，F 分别是 BC，AC 的中点，
∴ DF 是△ABC 的中位线，
∴ DF // AB，即 GD // AE，
∵ EG // AD，
∴ 四边形 AEGD 是平行四边形。
(2) 证明：
∵ 四边形 AEGD 是平行四边形，
∴ GD = AE，
∵ E 是 AB 的中点，
∴ AE = BE = $\dfrac{1}{2}$AB，
∵ DF 是△ABC 的中位线，
∴ DF = $\dfrac{1}{2}$AB，
∵ GF = GD + DF，
∴ GF = AE + DF = $\dfrac{1}{2}$AB + $\dfrac{1}{2}$AB = AB，
即 AB = GF。