12. 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下$2.7m$宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离$EC = 8.7m$，窗口高$AB = 1.8m$，求窗口底边离地面的高$BC$.

12. 解：
∵ $ AE // BD $，
∴ $ △ BCD ∼ △ ACE $，
∴ $ BC:AC = CD:CE $
∵ $ EC = 8.7m,ED = 2.7m $，
∴ $ CD = 6m $。
∵ $ AB = 1.8m $，
∴ $ AC = BC + 1.8m $，
∴ $ BC:(BC + 1.8) = 6:8.7 $。
∴ $ BC = 4 $，即窗口底边离地面的高为 $ 4m $。

13. 两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，请在图中找出所有相似而不全等的三角形，并选一对说明它们相似的理由.

13. 解：(1) $ △ AED ∼ △ BEA $
(2) $ △ AED ∼ △ CAD $
(3) $ △ BEA ∼ △ CAD $
证明：(1)
∵ $ ∠ DAE = 45°、∠ B = 45° $，
∴ $ ∠ DAE = ∠ B $。
又
∵ $ ∠ AED = ∠ BEA $，
∴ $ △ AED ∼ △ BEA $。
(2)证法同(1)
(3)
∵ $ ∠ BEA = ∠ C + ∠ CAE = 45° + ∠ CAE $， $ ∠ CAD = ∠ FAG + ∠ CAE = 45° + ∠ CAE $，
∴ $ ∠ BEA = ∠ CAD $。
又
∵ $ ∠ B = ∠ C = 45° $，
∴ $ △ BEA ∼ △ CAD $。

1. 已知$Rt △ OAB$在直角坐标系中的位置如图所示，$P(3,4)$为$OB$的中点，点$C$为折线$OAB$上的动点，线段$PC$把$Rt △ OAB$分割成两部分.问：点$C$在什么位置时，分割得到的三角形与$Rt △ OAB$相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段$PC$，并求出相应点$C$的坐标）

1. 解：过 $ P $ 作 $ PC_1 ⊥ OA $，垂足是 $ C_1 $，则 $ △ OC_1P ∼ △ OAB $，点 $ C_1 $ 坐标是 $ (3,0) $；过 $ P $ 作 $ PC_2 ⊥ AB $，垂足是 $ C_2 $，则 $ △ PC_2B ∼ △ OAB $，点 $ C_2 $ 坐标是 $ (6,4) $，过 $ P $ 作 $ PC_3 ⊥ OB $，垂足是 $ P $，则 $ △ C_3PB ∼ △ OAB $，
∴ $ \frac{BC_3}{BO} = \frac{BP}{BA} $，
易知 $ OB = 10,BP = 5,BA = 8 $，
∴ $ BC_3 = \frac{25}{4},AC_3 = 8 - \frac{25}{4} = \frac{7}{4} $，
∴点 $ C_3 $ 坐标是 $ (6,\frac{7}{4}) $。
∴满足条件的点有 3 个： $ C_1(3,0),C_2(6,4),C_3(6,\frac{7}{4}) $，其线段分别是 $ PC_1,PC_2,PC_3 $（如图）。

2. 如图，$E$是正方形$ABCD$的边$AB$上的动点，$EF ⊥ DE$交$BC$于点$F$.
（1）试说明：$△ ADE ∽ △ BEF$；
（2）设正方形的边长为$4$，$AE = x$，$BF = y$，当$x$取什么值时，$y$有最大值？并求出这个最大值.

2. 解：(1)因为 $ ABCD $ 是正方形，
所以 $ ∠ DAE = ∠ EBF = 90° $，
所以 $ ∠ ADE + ∠ AED = 90° $，
又 $ EF ⊥ DE $，所以 $ ∠ AED + ∠ BEF = 90° $，
所以 $ ∠ ADE = ∠ BEF $，
所以 $ △ ADE ∼ △ BEF $
(2)由(1)知 $ △ ADE ∼ △ BEF $，
又 $ AD = 4,BE = 4 - x $，
得 $ \frac{y}{x} = \frac{4 - x}{4} $ 得 $ y = \frac{1}{4}(4x - x^2) = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 + 1 $，
所以当 $ x = 2 $ 时， $ y $ 有最大值，最大值为 $ 1 $。