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8 [2024 济宁]如图是一个正方体的表面展开图，把其折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是 （
A.“人”
B.“才”
C.“强”
D.“国”
D
）A.“人”
B.“才”
C.“强”
D.“国”
答案
8. D
解析
【分析】
解题时先识别该正方体表面展开图属于“一四一”型（中间4个面，上下各1个单独的面），再回忆正方体展开图相对面的判断规律：相对的面不会相邻，“一四一”型中，上下两个单独的面互为相对面，中间4个面里间隔1个面的两个面互为相对面。按照这个规律先找出中间四个面的相对面，剩下的就是“建”字的相对面。
【解析】
该展开图为正方体“一四一”型表面展开图：
1. 先看中间一行的4个面：“设”“人”“才”“强”，根据间隔一个面为相对面的规律，可得“设”与“才”相对，“人”与“强”相对；
2. 剩下的上层单独的“建”和下层单独的“国”互为相对面。
因此“建”字一面的相对面上的字是“国”。
【答案】
D
【知识点】
正方体展开图；相对面判断；图形折叠
【点评】
本题考查正方体表面展开图的相对面识别，掌握常见展开图的相对面规律即可快速解答，是对空间想象能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
解题时先识别该正方体表面展开图属于“一四一”型（中间4个面，上下各1个单独的面），再回忆正方体展开图相对面的判断规律：相对的面不会相邻，“一四一”型中，上下两个单独的面互为相对面，中间4个面里间隔1个面的两个面互为相对面。按照这个规律先找出中间四个面的相对面，剩下的就是“建”字的相对面。
【解析】
该展开图为正方体“一四一”型表面展开图：
1. 先看中间一行的4个面：“设”“人”“才”“强”，根据间隔一个面为相对面的规律，可得“设”与“才”相对，“人”与“强”相对；
2. 剩下的上层单独的“建”和下层单独的“国”互为相对面。
因此“建”字一面的相对面上的字是“国”。
【答案】
D
【知识点】
正方体展开图；相对面判断；图形折叠
【点评】
本题考查正方体表面展开图的相对面识别，掌握常见展开图的相对面规律即可快速解答，是对空间想象能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
9 如图所示为一个正方体纸盒的表面展开图.若纸盒中相对两个面上的数互为倒数,则代数式$a - bc$的值为________.
答案
9. $-1\dfrac{20}{21}$
【解析】根据题意,得 $a=-2,b=\dfrac{1}{7},c=-\dfrac{1}{3}$,所以$a-bc=-2-\dfrac{1}{7}×(-\dfrac{1}{3})=-1\dfrac{20}{21}$.
【解析】根据题意,得 $a=-2,b=\dfrac{1}{7},c=-\dfrac{1}{3}$,所以$a-bc=-2-\dfrac{1}{7}×(-\dfrac{1}{3})=-1\dfrac{20}{21}$.
解析
【分析】
解决本题分三步思考：第一步，根据正方体表面展开图“相间的面是相对面”的规律，确定每个字母对应的相对面上的数字；第二步，根据“相对两个面上的数互为倒数”，结合倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），分别求出a、b、c的值；第三步，将a、b、c的值代入代数式，按照有理数混合运算“先算乘法，再算减法”的顺序计算，注意运算符号的处理。
【解析】
解：根据正方体展开图的特征，得：
a的对面是-0.5，b的对面是7，c的对面是-3。
∵相对两个面上的数互为倒数，
∴$a = 1÷(-0.5) = -2$，
$b = 1÷7 = \frac{1}{7}$，
$c = 1÷(-3) = -\frac{1}{3}$。
将a、b、c的值代入$a-bc$得：
$\begin{aligned}a-bc&=-2 - \frac{1}{7}×(-\frac{1}{3})\\&=-2 + \frac{1}{21}\\&=-\frac{42}{21}+\frac{1}{21}\\&=-1\frac{20}{21}\end{aligned}$
【答案】
$-1\dfrac{20}{21}$
【知识点】
正方体展开图相对面判断、倒数的定义、有理数混合运算
【点评】
本题是几何图形与代数运算的综合题，解题核心是准确识别正方体展开图的相对面，计算时要注意负号的运算规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解决本题分三步思考：第一步，根据正方体表面展开图“相间的面是相对面”的规律，确定每个字母对应的相对面上的数字；第二步，根据“相对两个面上的数互为倒数”，结合倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），分别求出a、b、c的值；第三步，将a、b、c的值代入代数式，按照有理数混合运算“先算乘法，再算减法”的顺序计算，注意运算符号的处理。
【解析】
解：根据正方体展开图的特征，得：
a的对面是-0.5，b的对面是7，c的对面是-3。
∵相对两个面上的数互为倒数，
∴$a = 1÷(-0.5) = -2$，
$b = 1÷7 = \frac{1}{7}$，
$c = 1÷(-3) = -\frac{1}{3}$。
将a、b、c的值代入$a-bc$得：
$\begin{aligned}a-bc&=-2 - \frac{1}{7}×(-\frac{1}{3})\\&=-2 + \frac{1}{21}\\&=-\frac{42}{21}+\frac{1}{21}\\&=-1\frac{20}{21}\end{aligned}$
【答案】
$-1\dfrac{20}{21}$
【知识点】
正方体展开图相对面判断、倒数的定义、有理数混合运算
【点评】
本题是几何图形与代数运算的综合题，解题核心是准确识别正方体展开图的相对面，计算时要注意负号的运算规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
10 [2024江西]如图所示为$4×3$的正方形网格,选择一空白小正方形,能与涂色部分组成正方体表面展开图的方法有
2
种.答案
10. 2
解析
【分析】
解题时首先要明确正方体表面展开图的核心判断规则：“一线不过四，田凹应弃之”，即同一条直线上的小正方形数量不能超过4个，展开图不能出现“田”字形、“凹”字形结构，且折叠后不能有面重叠。本题中已有5个涂色的小正方形，需要补充1个空白小正方形凑成6个面，我们可以逐一验证所有空白小正方形是否符合展开图规则，排除不符合的，统计符合要求的数量即可。
【解析】
正方体的表面展开图共由6个小正方形组成，图中已涂色5个，需选择1个空白小正方形补充。
结合正方体展开图的判断规则逐一验证空白位置：
1. 若补充的小正方形会形成“田”字格或“凹”字形结构，排除；
2. 若补充后同一直线上小正方形超过4个，排除；
3. 若补充后折叠时出现面重叠的情况，排除。
经过验证，共有2个空白小正方形符合要求，能与涂色部分组成正方体表面展开图。
【答案】
2
【知识点】
正方体的表面展开图；展开图折叠成几何体
【点评】
本题考查正方体展开图的识别，解题关键是熟记正方体展开图的特征和判断口诀，通过排除法快速筛选出符合要求的位置，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确正方体表面展开图的核心判断规则：“一线不过四，田凹应弃之”，即同一条直线上的小正方形数量不能超过4个，展开图不能出现“田”字形、“凹”字形结构，且折叠后不能有面重叠。本题中已有5个涂色的小正方形，需要补充1个空白小正方形凑成6个面，我们可以逐一验证所有空白小正方形是否符合展开图规则，排除不符合的，统计符合要求的数量即可。
【解析】
正方体的表面展开图共由6个小正方形组成，图中已涂色5个，需选择1个空白小正方形补充。
结合正方体展开图的判断规则逐一验证空白位置：
1. 若补充的小正方形会形成“田”字格或“凹”字形结构，排除；
2. 若补充后同一直线上小正方形超过4个，排除；
3. 若补充后折叠时出现面重叠的情况，排除。
经过验证，共有2个空白小正方形符合要求，能与涂色部分组成正方体表面展开图。
【答案】
2
【知识点】
正方体的表面展开图；展开图折叠成几何体
【点评】
本题考查正方体展开图的识别，解题关键是熟记正方体展开图的特征和判断口诀，通过排除法快速筛选出符合要求的位置，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11 如图所示为一些几何体的表面展开图,请你在下列横线上分别写出相应几何体的名称.
六棱柱
四棱锥
圆锥
三棱柱
答案
11. 六棱柱 四棱锥 圆锥 三棱柱
解析
【分析】
要解这道题，我们可以结合常见几何体的展开图特征逐一判断：第一步先观察展开图中底面的形状和数量，第二步观察侧面的形状，将两者特征和学过的几何体展开图对应即可。①第一个图有2个全等的六边形，侧面是6个长方形，对应底面为六边形的棱柱；②第二个图底面是1个正方形，侧面是4个三角形，对应底面为四边形的棱锥；③第三个图由1个半圆和1个圆组成，半圆是圆锥侧面展开的扇形，圆是圆锥的底面；④第四个图有2个全等的三角形，侧面是3个长方形，对应底面为三角形的棱柱。
【解析】
我们逐个分析各展开图：
1. 第一个展开图：上下两个面是全等的正六边形，侧面是6个长方形，符合六棱柱的表面展开图特点，对应几何体为六棱柱；
2. 第二个展开图：底面是正方形，4个侧面都是三角形，符合四棱锥的表面展开图特点，对应几何体为四棱锥；
3. 第三个展开图：由一个半圆和一个圆组成，半圆可围成圆锥的侧面，圆是圆锥的底面，对应几何体为圆锥；
4. 第四个展开图：两个底面是全等的三角形，侧面是3个长方形，符合三棱柱的表面展开图特点，对应几何体为三棱柱。
【答案】
六棱柱、四棱锥、圆锥、三棱柱
【知识点】
几何体展开图识别；棱柱展开特征；棱锥与圆锥展开特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对常见几何体表面展开图的辨识能力，解题的关键是熟记各类几何体展开图的底面和侧面的形状特征，结合特征即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要解这道题，我们可以结合常见几何体的展开图特征逐一判断：第一步先观察展开图中底面的形状和数量，第二步观察侧面的形状，将两者特征和学过的几何体展开图对应即可。①第一个图有2个全等的六边形，侧面是6个长方形，对应底面为六边形的棱柱；②第二个图底面是1个正方形，侧面是4个三角形，对应底面为四边形的棱锥；③第三个图由1个半圆和1个圆组成，半圆是圆锥侧面展开的扇形，圆是圆锥的底面；④第四个图有2个全等的三角形，侧面是3个长方形，对应底面为三角形的棱柱。
【解析】
我们逐个分析各展开图：
1. 第一个展开图：上下两个面是全等的正六边形，侧面是6个长方形，符合六棱柱的表面展开图特点，对应几何体为六棱柱；
2. 第二个展开图：底面是正方形，4个侧面都是三角形，符合四棱锥的表面展开图特点，对应几何体为四棱锥；
3. 第三个展开图：由一个半圆和一个圆组成，半圆可围成圆锥的侧面，圆是圆锥的底面，对应几何体为圆锥；
4. 第四个展开图：两个底面是全等的三角形，侧面是3个长方形，符合三棱柱的表面展开图特点，对应几何体为三棱柱。
【答案】
六棱柱、四棱锥、圆锥、三棱柱
【知识点】
几何体展开图识别；棱柱展开特征；棱锥与圆锥展开特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对常见几何体表面展开图的辨识能力，解题的关键是熟记各类几何体展开图的底面和侧面的形状特征，结合特征即可快速判断。
【难度系数】
0.8
12 新情境游戏活动 用边长为1 dm的正方形纸片(如图①)剪出一副“七巧板”，并将其拼成如图②所示的“小天鹅”，则涂色部分的面积是原正方形纸片面积的 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{7}{16}$
D.$\frac{9}{16}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{7}{16}$
D.$\frac{9}{16}$
答案
12. C
解析
【分析】
首先计算原正方形的总面积，再明确七巧板各组成板块的面积占原正方形的比例，接着对应“小天鹅”图案中三个涂色部分对应的七巧板板块，将对应板块的面积占比相加，即可得到涂色部分占原正方形面积的比值。
【解析】
1. 计算原正方形面积：已知正方形边长为1 dm，因此原正方形面积为$S=1×1=1\ \mathrm{dm}^2$。
2. 明确七巧板各板块的面积占比：
最小的等腰直角三角形，单块面积占原正方形的$\frac{1}{16}$；
中等的等腰直角三角形，单块面积占原正方形的$\frac{1}{8}=\frac{2}{16}$；
最大的等腰直角三角形，单块面积占原正方形的$\frac{1}{4}=\frac{4}{16}$。
3. 计算涂色部分总面积占比：观察“小天鹅”的涂色部分，刚好对应1个最小三角形、1个中等三角形、1个最大三角形，因此总面积占比为$\frac{1}{16}+\frac{2}{16}+\frac{4}{16}=\frac{7}{16}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算，七巧板的认识，分数加减法
【点评】
本题结合七巧板拼图情境考查面积计算问题，解题核心是掌握七巧板各板块的面积占比，也可通过直接计算各涂色板块的面积再求和得到结果，属于结合生活情境的基础应用题。
【难度系数】
0.7
首先计算原正方形的总面积，再明确七巧板各组成板块的面积占原正方形的比例，接着对应“小天鹅”图案中三个涂色部分对应的七巧板板块，将对应板块的面积占比相加，即可得到涂色部分占原正方形面积的比值。
【解析】
1. 计算原正方形面积：已知正方形边长为1 dm，因此原正方形面积为$S=1×1=1\ \mathrm{dm}^2$。
2. 明确七巧板各板块的面积占比：
最小的等腰直角三角形，单块面积占原正方形的$\frac{1}{16}$；
中等的等腰直角三角形，单块面积占原正方形的$\frac{1}{8}=\frac{2}{16}$；
最大的等腰直角三角形，单块面积占原正方形的$\frac{1}{4}=\frac{4}{16}$。
3. 计算涂色部分总面积占比：观察“小天鹅”的涂色部分，刚好对应1个最小三角形、1个中等三角形、1个最大三角形，因此总面积占比为$\frac{1}{16}+\frac{2}{16}+\frac{4}{16}=\frac{7}{16}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算，七巧板的认识，分数加减法
【点评】
本题结合七巧板拼图情境考查面积计算问题，解题核心是掌握七巧板各板块的面积占比，也可通过直接计算各涂色板块的面积再求和得到结果，属于结合生活情境的基础应用题。
【难度系数】
0.7
13 如图,正方体的六个面上标着连续的整数.若相对的两个面上所标数的和相等,则这六个数的和为
39
.答案
13. 39
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知的三个相邻面上的数4、5、7，列举出所有可能的六个连续整数的组合；再结合“相对面的和相等，且相邻的面不可能为相对面”的规则，逐一排除不符合条件的组合；最后计算符合要求的六个数的总和即可。
第一步：确定可能的连续整数范围，已出现4、5、7，所以六个连续整数只可能是2~7、3~8、4~9三种情况；
第二步：结合正方体面的相邻关系排除错误组合：若为2~7则4和5相对，不符合图中4、5相邻；若为3~8则4和7相对，不符合图中4、7相邻；仅剩4~9这一组符合条件；
第三步：计算六个数的总和。
【解析】
解：
∵正方体六个面标注连续整数，可见的三个相邻面数字为4、5、7，
∴六个连续整数有三种可能：①2、3、4、5、6、7；②3、4、5、6、7、8；③4、5、6、7、8、9。
已知相对两数的和相等，且图中4、5、7两两相邻，不可能为相对面：
① 若为组合①，相对面和为$2+7=3+6=4+5=9$，此时4与5是相对面，与二者相邻矛盾，排除；
② 若为组合②，相对面和为$3+8=4+7=5+6=11$，此时4与7是相对面，与二者相邻矛盾，排除；
③ 若为组合③，相对面和为$4+9=5+8=6+7=13$，符合所有相邻关系，成立。
∴六个数的总和为$4+5+6+7+8+9=39$。
【答案】
39
【知识点】
正方体面的特征，连续整数的性质，有理数加法
【点评】
本题需要结合空间想象能力分析正方体面的相邻与相对关系，解题的关键是先列举所有可能的连续整数组合，再通过矛盾排除错误情况，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路：首先根据已知的三个相邻面上的数4、5、7，列举出所有可能的六个连续整数的组合；再结合“相对面的和相等，且相邻的面不可能为相对面”的规则，逐一排除不符合条件的组合；最后计算符合要求的六个数的总和即可。
第一步：确定可能的连续整数范围，已出现4、5、7，所以六个连续整数只可能是2~7、3~8、4~9三种情况；
第二步：结合正方体面的相邻关系排除错误组合：若为2~7则4和5相对，不符合图中4、5相邻；若为3~8则4和7相对，不符合图中4、7相邻；仅剩4~9这一组符合条件；
第三步：计算六个数的总和。
【解析】
解：
∵正方体六个面标注连续整数，可见的三个相邻面数字为4、5、7，
∴六个连续整数有三种可能：①2、3、4、5、6、7；②3、4、5、6、7、8；③4、5、6、7、8、9。
已知相对两数的和相等，且图中4、5、7两两相邻，不可能为相对面：
① 若为组合①，相对面和为$2+7=3+6=4+5=9$，此时4与5是相对面，与二者相邻矛盾，排除；
② 若为组合②，相对面和为$3+8=4+7=5+6=11$，此时4与7是相对面，与二者相邻矛盾，排除；
③ 若为组合③，相对面和为$4+9=5+8=6+7=13$，符合所有相邻关系，成立。
∴六个数的总和为$4+5+6+7+8+9=39$。
【答案】
39
【知识点】
正方体面的特征，连续整数的性质，有理数加法
【点评】
本题需要结合空间想象能力分析正方体面的相邻与相对关系，解题的关键是先列举所有可能的连续整数组合，再通过矛盾排除错误情况，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
14 一个不透明正方体的六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6,其展开图如图①所示.在一张不透明的桌子上,按如图②所示的方式将三个这样的正方体搭成一个几何体,则该几何体能看得到的面上数字之和最小为
32
.答案
14. 32
【解析】由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知,“1”与“3”、“2”与“4”、“5”与“6”是对面.因此要使题图②中几何体能看得到的面上数字之和最小,最右边的那个正方体所能看到的 4 个面上的数字为 1,2,3,5,最上端的那个正方体所能看到的 5 个面上的数字为 1,2,3,4,5,左下角的那个正方体所能看到的 3 个面上的数字为 1,2,3. 所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为 11+15+6=32.
【解析】由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知,“1”与“3”、“2”与“4”、“5”与“6”是对面.因此要使题图②中几何体能看得到的面上数字之和最小,最右边的那个正方体所能看到的 4 个面上的数字为 1,2,3,5,最上端的那个正方体所能看到的 5 个面上的数字为 1,2,3,4,5,左下角的那个正方体所能看到的 3 个面上的数字为 1,2,3. 所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为 11+15+6=32.
解析
【分析】
首先要根据正方体展开图的规律确定各组相对的面，要让可见面的数字和最小，核心思路是把数字尽可能大的面放在看不见的位置。接下来分别分析三个正方体各自有多少个不可见面，在满足相对面不相邻的前提下，把大数放在不可见面，最后计算所有可见面的数字和即可。
【解析】
根据正方体表面展开图“相间、Z端是对面”的规律，可得：“1”与“3”是对面，“2”与“4”是对面，“5”与“6”是对面。
要使几何体能看到的面上数字之和最小，需将大数尽可能放在不可见的位置：
1. 最上端的正方体仅底面不可见，将最大数字6放在底面，可见的5个面数字为1、2、3、4、5，和为$1+2+3+4+5=15$；
2. 最右边的正方体有2个不可见面，将较大的数字放在不可见面后，可见的4个面数字为1、2、3、5，和为$1+2+3+5=11$；
3. 左下角的正方体有3个不可见面，将较大的数字放在不可见面后，可见的3个面数字为1、2、3，和为$1+2+3=6$。
因此可见面数字之和最小为$15+11+6=32$。
【答案】
32
【知识点】
正方体展开图、有理数加法、最值问题
【点评】
本题结合了正方体展开图的识别与最值分析，解题关键是先准确判断相对面，再利用“大数藏在不可见面”的思路逐一分析每个正方体的可见面数字，需要注意相对面无法相邻，不能同时放在相邻的不可见面位置。
【难度系数】
0.6
首先要根据正方体展开图的规律确定各组相对的面，要让可见面的数字和最小，核心思路是把数字尽可能大的面放在看不见的位置。接下来分别分析三个正方体各自有多少个不可见面，在满足相对面不相邻的前提下，把大数放在不可见面，最后计算所有可见面的数字和即可。
【解析】
根据正方体表面展开图“相间、Z端是对面”的规律，可得：“1”与“3”是对面，“2”与“4”是对面，“5”与“6”是对面。
要使几何体能看到的面上数字之和最小，需将大数尽可能放在不可见的位置：
1. 最上端的正方体仅底面不可见，将最大数字6放在底面，可见的5个面数字为1、2、3、4、5，和为$1+2+3+4+5=15$；
2. 最右边的正方体有2个不可见面，将较大的数字放在不可见面后，可见的4个面数字为1、2、3、5，和为$1+2+3+5=11$；
3. 左下角的正方体有3个不可见面，将较大的数字放在不可见面后，可见的3个面数字为1、2、3，和为$1+2+3=6$。
因此可见面数字之和最小为$15+11+6=32$。
【答案】
32
【知识点】
正方体展开图、有理数加法、最值问题
【点评】
本题结合了正方体展开图的识别与最值分析，解题关键是先准确判断相对面，再利用“大数藏在不可见面”的思路逐一分析每个正方体的可见面数字，需要注意相对面无法相邻，不能同时放在相邻的不可见面位置。
【难度系数】
0.6
