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7 若过一点画已知直线的平行线，则该平行线 （
A.有且只有一条
B.有两条
C.不存在
D.不存在或只有一条
D
）A.有且只有一条
B.有两条
C.不存在
D.不存在或只有一条
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先要注意题干中“过一点”没有明确该点与已知直线的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①点在已知直线上；②点在已知直线外。再结合平行公理分别判断两种情况下平行线的存在情况，综合两种情况即可得出正确结论。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若该点在已知直线上：过该点的直线只能与已知直线相交或重合，无法画出与已知直线平行的直线，此时平行线不存在；
2. 若该点在已知直线外：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此时平行线有且只有一条。
综上，过一点画已知直线的平行线，结果为不存在或只有一条，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平行公理 2. 点与直线的位置关系
【点评】
本题易错选A，出错原因是默认点在直线外，忽略了点在直线上的情况。解题时遇到未明确位置的条件，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意题干中“过一点”没有明确该点与已知直线的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①点在已知直线上；②点在已知直线外。再结合平行公理分别判断两种情况下平行线的存在情况，综合两种情况即可得出正确结论。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若该点在已知直线上：过该点的直线只能与已知直线相交或重合，无法画出与已知直线平行的直线，此时平行线不存在；
2. 若该点在已知直线外：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此时平行线有且只有一条。
综上，过一点画已知直线的平行线，结果为不存在或只有一条，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平行公理 2. 点与直线的位置关系
【点评】
本题易错选A，出错原因是默认点在直线外，忽略了点在直线上的情况。解题时遇到未明确位置的条件，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8 若平面内两条直线 $ l_1,l_2 $ 被第三条直线 $ l_3 $ 所截,则这三条直线把平面分成（
A.5 部分或 6 部分
B.6 部分
C.6 部分或 7 部分
D.8 部分
C
）A.5 部分或 6 部分
B.6 部分
C.6 部分或 7 部分
D.8 部分
答案
8. C
解析
【分析】
解题时需要用到分类讨论的思想，先明确平面内两条直线的位置关系只有平行和相交两种，再分别分析两种位置关系下，被第三条直线所截时平面被分成的区域数量，最后汇总所有可能的结果即可。
【解析】
平面内两条直线$ l_1,l_2 $的位置关系有平行、相交两种，结合“被第三条直线$ l_3 $所截”即$ l_3 $和$ l_1,l_2 $均相交，分情况讨论：
1. 当$ l_1 // l_2 $时，$ l_3 $与两条平行直线各有1个交点，此时三条直线将平面分成6部分；
2. 当$ l_1 $与$ l_2 $相交时，又分两种情况：
若$ l_3 $经过$ l_1 $和$ l_2 $的交点，三条直线交于同一点，此时将平面分成6部分；
若$ l_3 $不经过$ l_1 $和$ l_2 $的交点，$ l_3 $与两条直线各有1个不同的交点，此时三条直线将平面分成7部分。
综上，三条直线把平面分成6部分或7部分，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平面内直线的位置关系，直线分平面区域，平行线的概念
【点评】
本题侧重考查分类讨论思想的应用，解题的关键是不要遗漏两条直线相交时，第三条直线是否过交点的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时需要用到分类讨论的思想，先明确平面内两条直线的位置关系只有平行和相交两种，再分别分析两种位置关系下，被第三条直线所截时平面被分成的区域数量，最后汇总所有可能的结果即可。
【解析】
平面内两条直线$ l_1,l_2 $的位置关系有平行、相交两种，结合“被第三条直线$ l_3 $所截”即$ l_3 $和$ l_1,l_2 $均相交，分情况讨论：
1. 当$ l_1 // l_2 $时，$ l_3 $与两条平行直线各有1个交点，此时三条直线将平面分成6部分；
2. 当$ l_1 $与$ l_2 $相交时，又分两种情况：
若$ l_3 $经过$ l_1 $和$ l_2 $的交点，三条直线交于同一点，此时将平面分成6部分；
若$ l_3 $不经过$ l_1 $和$ l_2 $的交点，$ l_3 $与两条直线各有1个不同的交点，此时三条直线将平面分成7部分。
综上，三条直线把平面分成6部分或7部分，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平面内直线的位置关系，直线分平面区域，平行线的概念
【点评】
本题侧重考查分类讨论思想的应用，解题的关键是不要遗漏两条直线相交时，第三条直线是否过交点的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9 如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1 dm,A,B,C,D,E,F是方格纸中的格点,则以线段AB,CD,EF的长为边长的三角形的面积为
$4\ \mathrm{dm^2}$
.答案
9. $4\ \mathrm{dm^2}$
解析
【分析】
解题时首先需要利用方格纸的特点和勾股定理，确定AB、CD、EF三条线段分别对应的直角三角形直角边的长度；之后我们可以通过构造图形的方法，把以这三条线段为边的三角形放到一个规则的矩形中，再用割补法，用矩形的总面积减去周围多余的3个直角三角形的面积，就能得到所求三角形的面积。
【解析】
设每个小正方形的边长为1 dm，步骤如下：
1. 判断各线段对应的直角边：
CD可看作直角边为2 dm、1 dm的直角三角形的斜边；
EF可看作直角边为2 dm、3 dm的直角三角形的斜边；
AB可看作直角边为4 dm、2 dm的直角三角形的斜边。
2. 构造以CD、EF、AB为边长的三角形，将其置于长4 dm、宽3 dm的矩形中，矩形面积为：$4×3=12\ \mathrm{dm^2}$。
3. 计算矩形内除所求三角形外的3个直角三角形的面积：
直角边为1 dm、2 dm的三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1\ \mathrm{dm^2}$
直角边为2 dm、3 dm的三角形面积：$\frac{1}{2}×2×3=3\ \mathrm{dm^2}$
直角边为2 dm、4 dm的三角形面积：$\frac{1}{2}×2×4=4\ \mathrm{dm^2}$
4. 所求三角形面积 = 矩形面积 - 三个小三角形面积之和，即$12-(1+3+4)=4\ \mathrm{dm^2}$。
【答案】
$4\ \mathrm{dm^2}$
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，格点图形计算
【点评】
本题结合格点图形考查线段特征判断和三角形面积的求解，解题核心是利用勾股定理确定格点线段对应的直角边，再通过构造规则图形用割补法计算面积，解题时注意不要数错方格数量。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要利用方格纸的特点和勾股定理，确定AB、CD、EF三条线段分别对应的直角三角形直角边的长度；之后我们可以通过构造图形的方法，把以这三条线段为边的三角形放到一个规则的矩形中，再用割补法，用矩形的总面积减去周围多余的3个直角三角形的面积，就能得到所求三角形的面积。
【解析】
设每个小正方形的边长为1 dm，步骤如下：
1. 判断各线段对应的直角边：
CD可看作直角边为2 dm、1 dm的直角三角形的斜边；
EF可看作直角边为2 dm、3 dm的直角三角形的斜边；
AB可看作直角边为4 dm、2 dm的直角三角形的斜边。
2. 构造以CD、EF、AB为边长的三角形，将其置于长4 dm、宽3 dm的矩形中，矩形面积为：$4×3=12\ \mathrm{dm^2}$。
3. 计算矩形内除所求三角形外的3个直角三角形的面积：
直角边为1 dm、2 dm的三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1\ \mathrm{dm^2}$
直角边为2 dm、3 dm的三角形面积：$\frac{1}{2}×2×3=3\ \mathrm{dm^2}$
直角边为2 dm、4 dm的三角形面积：$\frac{1}{2}×2×4=4\ \mathrm{dm^2}$
4. 所求三角形面积 = 矩形面积 - 三个小三角形面积之和，即$12-(1+3+4)=4\ \mathrm{dm^2}$。
【答案】
$4\ \mathrm{dm^2}$
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，格点图形计算
【点评】
本题结合格点图形考查线段特征判断和三角形面积的求解，解题核心是利用勾股定理确定格点线段对应的直角边，再通过构造规则图形用割补法计算面积，解题时注意不要数错方格数量。
【难度系数】
0.6
10 新考向 探究题（1）在同一平面内有三条直线$a,b,c$，试画图分析这三条直线交点的个数.
（2）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点.
（3）同一平面内的五条直线能有4个交点吗？如果能，请你画出符合条件的图形（只画出一种即可）；如果不能，请说明理由.
（2）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点.
（3）同一平面内的五条直线能有4个交点吗？如果能，请你画出符合条件的图形（只画出一种即可）；如果不能，请说明理由.
答案
10. (1) 在同一平面内有三条直线a,b,c,它们的交点个数有以下4种情况:① 如图①,当直线$a// b// c$时,这三条直线的交点是0个;② 如图②,当直线a,b,c经过同一点时,它们的交点是1个;③ 如图③,当直线$a// b$,不与直线c平行时,它们的交点是2个;④ 如图④,当直线a,b,c两两相交,但不经过同一点时,它们有3个交点.综上所述,在同一平面内,这三条直线交点的个数是0或1或2或3 (2) 如图⑤,同一平面内的五条直线最多有10个交点 (3) 能 如图⑥所示(画法不唯一)
解析
【分析】
（1）探究三条直线的交点个数需按直线的位置关系分类讨论，从平行直线数量、是否多线共点两个维度划分情况，做到不重不漏；
（2）求多条直线最多交点数时，需满足任意两条直线相交、任意三条直线不共点，可通过依次累加新增交点的方式计算总数；
（3）判断是否存在4个交点的情况，只需通过设置部分直线平行、部分直线共点的方式，构造出符合交点数要求的图形即可。
【解析】
（1）同一平面内三条直线的交点个数分4种情况：
① 当$a// b// c$时，三条直线互相平行，无交点，交点个数为0，对应图①；
② 当三条直线经过同一点时，仅有1个公共交点，交点个数为1，对应图②；
③ 当其中两条直线平行，第三条直线与这两条平行直线均相交（如$a// b$，c与a、b不平行），共产生2个交点，交点个数为2，对应图③；
④ 当三条直线两两相交且不共点，每两条直线各产生1个交点，共3个交点，交点个数为3，对应图④。
综上，三条直线的交点个数为0或1或2或3。
（2）要让五条直线交点最多，需满足任意两条直线相交、任意三条直线不共点：第一条直线与其余4条直线相交得4个交点，第二条直线与除第一条外的3条直线相交得3个新交点，第三条直线与剩余2条直线相交得2个新交点，第四条直线与最后1条直线相交得1个新交点，总交点数为$4+3+2+1=10$个，对应图⑤。
（3）五条直线能有4个交点，可通过构造特殊位置关系实现：比如让4条直线互相平行，第5条直线与这4条直线分别相交，即可得到4个交点，也可采用其他构造方式，画法不唯一，对应图⑥。
【答案】
(1) 同一平面内三条直线交点的个数是0或1或2或3，对应情况如图①~④所示；
(2) 同一平面内五条直线最多有10个交点，如图⑤所示；
(3) 能，符合条件的图形示例如图⑥所示(画法不唯一)。
【知识点】
平面内直线位置关系，交点个数计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查平面内直线平行、相交的位置关系，需要通过分类讨论梳理不同情况下的交点数量，同时要求具备动手构造图形的能力，掌握多条直线最多交点的计算规律是解题的核心。
【难度系数】
0.65
（1）探究三条直线的交点个数需按直线的位置关系分类讨论，从平行直线数量、是否多线共点两个维度划分情况，做到不重不漏；
（2）求多条直线最多交点数时，需满足任意两条直线相交、任意三条直线不共点，可通过依次累加新增交点的方式计算总数；
（3）判断是否存在4个交点的情况，只需通过设置部分直线平行、部分直线共点的方式，构造出符合交点数要求的图形即可。
【解析】
（1）同一平面内三条直线的交点个数分4种情况：
① 当$a// b// c$时，三条直线互相平行，无交点，交点个数为0，对应图①；
② 当三条直线经过同一点时，仅有1个公共交点，交点个数为1，对应图②；
③ 当其中两条直线平行，第三条直线与这两条平行直线均相交（如$a// b$，c与a、b不平行），共产生2个交点，交点个数为2，对应图③；
④ 当三条直线两两相交且不共点，每两条直线各产生1个交点，共3个交点，交点个数为3，对应图④。
综上，三条直线的交点个数为0或1或2或3。
（2）要让五条直线交点最多，需满足任意两条直线相交、任意三条直线不共点：第一条直线与其余4条直线相交得4个交点，第二条直线与除第一条外的3条直线相交得3个新交点，第三条直线与剩余2条直线相交得2个新交点，第四条直线与最后1条直线相交得1个新交点，总交点数为$4+3+2+1=10$个，对应图⑤。
（3）五条直线能有4个交点，可通过构造特殊位置关系实现：比如让4条直线互相平行，第5条直线与这4条直线分别相交，即可得到4个交点，也可采用其他构造方式，画法不唯一，对应图⑥。
【答案】
(1) 同一平面内三条直线交点的个数是0或1或2或3，对应情况如图①~④所示；
(2) 同一平面内五条直线最多有10个交点，如图⑤所示；
(3) 能，符合条件的图形示例如图⑥所示(画法不唯一)。
【知识点】
平面内直线位置关系，交点个数计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查平面内直线平行、相交的位置关系，需要通过分类讨论梳理不同情况下的交点数量，同时要求具备动手构造图形的能力，掌握多条直线最多交点的计算规律是解题的核心。
【难度系数】
0.65
11（1）按要求画图：如图，在三角形$OMN$的边$MN$上从点$M$开始顺次取三等分点$P,Q$，分别过点$P,Q$画$OM$的平行线，交$ON$于点$S,T$；
（2）在（1）的条件下，通过度量$OS,ST,TN$的长度，你有什么发现？
（2）在（1）的条件下，通过度量$OS,ST,TN$的长度，你有什么发现？
答案
11. (1) 如图所示
(2) 经度量,发现$OS=ST=TN$解析
【分析】
（1）解决画图问题首先明确操作要求：先确定MN的三等分点P、Q，也就是把MN平分为长度相等的三段，从M起依次为P、Q；再用直尺和三角板配合的平移法画OM的平行线，分别过P、Q作平行线交ON于S、T。（2）解决度量发现的问题，只需用刻度尺准确测量OS、ST、TN的长度，比较三者大小就能得出结论。
【解析】
（1）画图步骤：
① 度量线段MN的长度，将长度三等分，在MN上从点M开始顺次标记出三等分点P、Q，满足$MP=PQ=QN$；
② 画平行线：将三角板的一边与OM重合，靠紧直尺固定直尺，平移三角板，当与OM重合的边经过点P时，沿该边画直线，与ON的交点即为S；用同样的方法，过点Q画OM的平行线，与ON的交点即为T，完成画图。
（2）使用刻度尺分别测量线段OS、ST、TN的长度，对比测量结果可发现三条线段的长度相等。
【答案】
(1) 如图所示 (2) 经度量,发现$OS=ST=TN$
【知识点】
平行线的画法，线段等分，长度度量
【点评】
本题侧重实践操作能力的考查，通过画图、度量的过程，直观感知平行线分割线段的特点，操作难度较低，结论容易归纳。
【难度系数】
0.8
（1）解决画图问题首先明确操作要求：先确定MN的三等分点P、Q，也就是把MN平分为长度相等的三段，从M起依次为P、Q；再用直尺和三角板配合的平移法画OM的平行线，分别过P、Q作平行线交ON于S、T。（2）解决度量发现的问题，只需用刻度尺准确测量OS、ST、TN的长度，比较三者大小就能得出结论。
【解析】
（1）画图步骤：
① 度量线段MN的长度，将长度三等分，在MN上从点M开始顺次标记出三等分点P、Q，满足$MP=PQ=QN$；
② 画平行线：将三角板的一边与OM重合，靠紧直尺固定直尺，平移三角板，当与OM重合的边经过点P时，沿该边画直线，与ON的交点即为S；用同样的方法，过点Q画OM的平行线，与ON的交点即为T，完成画图。
（2）使用刻度尺分别测量线段OS、ST、TN的长度，对比测量结果可发现三条线段的长度相等。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 经度量,发现$OS=ST=TN$【知识点】
平行线的画法，线段等分，长度度量
【点评】
本题侧重实践操作能力的考查，通过画图、度量的过程，直观感知平行线分割线段的特点，操作难度较低，结论容易归纳。
【难度系数】
0.8
