8 [2025 南充]如图,一次函数与反比例函数的图象交于点$A(-3,1),B(1,n).$
(1) 求一次函数与反比例函数的解析式；
(2) $C$ 是反比例函数在第二象限的图象上一点,其横坐标为 $a\ (a＜-3)$,过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线,交直线 $AB$ 于点 $D$,$CD=\dfrac{7}{2}$,求 $a$ 的值.

8. (1) 设反比例函数的解析式为$y=\dfrac{k_1}{x}(k_1≠0).\because$ 反比例函数的图象经过点$A(-3,1),\therefore k_1=-3.\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{3}{x}.\because$ 点$B(1,n)$在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上,$\therefore n=-3.\therefore B(1,-3).$设一次函数的解析式为$y=k_2x+b$$(k_2≠0).\therefore \begin{cases}-3k_2+b=1,\\k_2+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=-1,\\b=-2.\end{cases}\therefore$ 一次函数的解析式为$y=-x-2$
(2) $\because$ 点$C$在反比例函数的图象上,点$D$在直线$AB$上,点$C$的横坐标为$a$,$CD⊥ x$轴,$\therefore C(a,-\dfrac{3}{a})$,$D(a,-a-2).\because CD=\dfrac{7}{2},\therefore (-a-2)-(-\dfrac{3}{a})=\dfrac{7}{2},$即$2a^2+11a-6=0.\therefore a_1=-6,a_2=\dfrac{1}{2}.\because a＜-3,\therefore a=-6$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用待定系数法，先通过反比例函数过点A求出反比例函数解析式，再代入点B的坐标得到B点，最后将A、B代入一次函数解析式求解；第(2)问根据函数图像上点的坐标特征写出C、D的坐标，结合CD的长度列方程，再根据a的取值范围筛选出符合条件的解。
【解析】
(1) 设反比例函数的解析式为$ y=\dfrac{k_1}{x}(k_1≠0) $，
因为反比例函数图象过点$ A(-3,1) $，代入得$1=\dfrac{k_1}{-3}$，解得$k_1=-3$，
故反比例函数解析式为$ y=-\dfrac{3}{x} $。
因为点$ B(1,n) $在反比例函数图象上，代入得$n=-\dfrac{3}{1}=-3$，即$B(1,-3)$。
设一次函数解析式为$ y=k_2x+b(k_2≠0) $，将$A(-3,1)$、$B(1,-3)$代入得：
$\begin{cases}-3k_2 + b =1 \\k_2 + b = -3\end{cases}$，
两式相减得$4k_2=-4$，解得$k_2=-1$，代入$k_2 + b=-3$得$b=-2$，
故一次函数解析式为$ y=-x-2 $。
(2) 因为点$ C $在反比例函数图象上，横坐标为$a(a＜-3)$，所以$ C(a, -\dfrac{3}{a}) $；
又$CD⊥x$轴，点$D$在直线$AB$上，横坐标为$a$，故$D(a, -a-2)$。
由$CD=\dfrac{7}{2}$，得$(-a-2)-(-\dfrac{3}{a})=\dfrac{7}{2}$，整理得$2a^2+11a-6=0$，
解得$a_1=\dfrac{1}{2}$，$a_2=-6$。
因为$a＜-3$，舍去$\dfrac{1}{2}$，故$a=-6$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$ y=-\dfrac{3}{x} $，一次函数解析式为$ y=-x-2 $；(2) $ a=-6 $
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数解析式、函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，核心考查待定系数法求函数解析式，以及利用点的坐标关系解决线段长度问题，需注意自变量的取值范围避免错解。
【难度系数】
0.5

9 如图,直线 AB 与 x 轴交于点 A(1,0),与 y 轴交于点 B(0,2),将线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转 $90°$得到线段 AC,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k\ne0)$ 在第一象限的图象经过点 C.
(1) 求直线 AB 对应的函数解析式和反比例函数的解析式;
(2) 已知 P 是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k\ne0)$ 在第一象限的图象上的一个动点,求点 P 到直线 AB 的距离最短时的坐标.

9. (1) 设直线$AB$对应的函数解析式为$y=mx+b(m≠0).$
$\because$ 点$A(1,0),B(0,2)$在直线$AB$上,$\therefore \begin{cases}0=m+b,\\2=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-2,\\b=2.\end{cases}\therefore$ 直线$AB$对应的函数解析式为$y=-2x+2.$过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$.$\because$ 线段$AB$绕点$A$按顺时针方向旋转$90°$得到线段$AC$,$\therefore$ 易得$△ CAD≌△ ABO.\therefore AD=BO=2$,$CD=AO=1.$$\therefore$ 易得点$C$的坐标为$(3,1).$$\because$ 点$C$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$在第一象限的图象上,$\therefore k=3.$$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{3}{x}$
(2) 由题意,可设经过点$P$且与直线$AB$平行的直线对应的函数解析式为$y=-2x+h(h＞0).$令$-2x+h=\dfrac{3}{x}$,则$2x^2-hx+3=0.$当$(-h)^2-4×2×3=0$,即$h=2\sqrt{6}$或$h=-2\sqrt{6}$(不合题意,舍去)时,点$P$到直线$AB$的距离最短,此时易得点$P$的坐标为$(\dfrac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{6})$

【分析】
首先处理第(1)问：求直线AB的解析式用待定系数法，代入A、B两点坐标即可；线段AB绕A顺时针转90°得AC，利用旋转性质证△CAD≌△ABO，求出C点坐标，再代入反比例函数求k。第(2)问：点P到直线AB距离最短时，过P且平行AB的直线与反比例函数相切，联立方程用判别式为0求参数，进而得P点坐标。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为$y=mx+b(m≠0)$，
将$A(1,0)$、$B(0,2)$代入得：$\begin{cases}0=m+b \\ 2=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-2 \\ b=2\end{cases}$，
故直线AB的解析式为$y=-2x+2$。
过C作$CD⊥x$轴于D，由旋转性质知$AC=AB$，$∠ CAD=∠ ABO$，$∠ ADC=∠ AOB=90°$，故$△ CAD≌△ ABO(AAS)$，
得$AD=BO=2$，$CD=AO=1$，因A(1,0)，则D(3,0)，C(3,1)。
将C(3,1)代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=3×1=3$，故反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) 设过P且平行AB的直线为$y=-2x+h(h＞0)$，当该直线与$y=\frac{3}{x}$相切时，P到AB距离最短，联立得：
$-2x+h=\frac{3}{x}$，整理为$2x^2 -hx +3=0$，
相切时判别式$\Delta=h^2 - 4×2×3=0$，解得$h=2\sqrt{6}(h＞0)$，
代入方程得$2x^2 -2\sqrt{6}x +3=0$，解得$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$，则$y=\sqrt{6}$，故P点坐标为$(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{6})$。
【答案】
(1) 直线AB的解析式为$y=-2x+2$，反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$；
(2) 点P的坐标为$(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{6})$。
【知识点】
一次函数解析式、反比例函数解析式、旋转性质
【点评】
本题综合考查待定系数法、旋转全等、反比例函数与直线相切的性质，需掌握点到直线最短距离的转化方法，是一道综合性中档题。
【难度系数】
0.5