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1. 如图,点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$在反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$的图象上,过点$A$和$B$分别作坐标轴的垂线,得到矩形$ACOD$和矩形$BMON$,它们的面积分别为$S_{1}$和$S_{2}$.下列结论中正确的是（
A.$S_{1}＞S_{2}$
B.$S_{1}=S_{2}$
C.$S_{1}＜S_{2}$
D.无法确定
B
）A.$S_{1}＞S_{2}$
B.$S_{1}=S_{2}$
C.$S_{1}＜S_{2}$
D.无法确定
答案
1. B 提示:点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$的图象上,所以$x_1y_1=-1,x_2y_2=-1$,矩形ACOD的面积为$S_1=|x_1|·|y_1|=|x_1y_1|=1$,矩形BMON的面积为$S_2=|x_2|·|y_2|=|x_2y_2|=1$,所以$S_1=S_2$.
解析
【分析】要解决本题，需运用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于|k|。首先确定反比例函数的k值，再分别计算两个矩形的面积，即可比较大小。
【解析】已知点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$的图象上，根据反比例函数的性质，可得$x_1y_1=-1$，$x_2y_2=-1$。
矩形$ACOD$的面积$S_1=|x_1|·|y_1|=|x_1y_1|=|-1|=1$；
矩形$BMON$的面积$S_2=|x_2|·|y_2|=|x_2y_2|=|-1|=1$；
因此$S_1=S_2$。
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质、矩形面积计算
【点评】本题考查反比例函数中k的几何意义，属于基础题型，核心是掌握“过反比例函数图象上的点作坐标轴垂线，所得矩形面积为|k|”这一知识点，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】已知点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$的图象上，根据反比例函数的性质，可得$x_1y_1=-1$，$x_2y_2=-1$。
矩形$ACOD$的面积$S_1=|x_1|·|y_1|=|x_1y_1|=|-1|=1$；
矩形$BMON$的面积$S_2=|x_2|·|y_2|=|x_2y_2|=|-1|=1$；
因此$S_1=S_2$。
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质、矩形面积计算
【点评】本题考查反比例函数中k的几何意义，属于基础题型，核心是掌握“过反比例函数图象上的点作坐标轴垂线，所得矩形面积为|k|”这一知识点，难度较低。
【难度系数】0.7
2. 如图,四边形$OABC$是平行四边形,对角线$OB$在$y$轴上,位于第三象限的点$A$和第四象限的点$C$分别在反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}$和$y=\dfrac{k_{2}}{x}$的图象上,过点$A$,$C$分别作$x$轴的垂线,垂足分别为$M$,$N$.有下列结论:
①$ON=OM$;②$\dfrac{AM}{CN}=\left\lvert \dfrac{k_{1}}{k_{2}}\right\rvert$;③阴影部分面积是$\dfrac{1}{2}(k_{1}+k_{2})$;④若四边形$OABC$是菱形,则图中曲线关于$y$轴对称.其中正确的是（
A.①④
B.②③
C.②③④
D.①②④
①$ON=OM$;②$\dfrac{AM}{CN}=\left\lvert \dfrac{k_{1}}{k_{2}}\right\rvert$;③阴影部分面积是$\dfrac{1}{2}(k_{1}+k_{2})$;④若四边形$OABC$是菱形,则图中曲线关于$y$轴对称.其中正确的是（
D
）A.①④
B.②③
C.②③④
D.①②④
答案
2. D 提示:因为四边形OABC为平行四边形,所以$OA=BC,OA// BC$,所以$∠ AOB=∠ CBO$.如图,过点C作$CE⊥ y$轴于点E,过点A作$AF⊥ y$轴于点F,则$∠ AFO=∠ CEB=∠ CEO=90°$,所以$△ AOF≌△ CBE(\mathrm{AAS})$,所以$CE=AF$,由题意得$∠ AMO=∠ FOM=∠ AFO=90°$,$∠ CNO=∠ EON=∠ CEO=90°$,所以四边形AFOM,CEON均为矩形,所以$AF=OM,CE=ON$,所以$OM=ON$,故①正确;由题意可得$S_{△ AMO}=\dfrac{1}{2}OM· AM=\dfrac{1}{2}|k_1|$,$S_{△ CNO}=\dfrac{1}{2}ON· CN=\dfrac{1}{2}|k_2|$,所以$\dfrac{\dfrac{1}{2}OM· AM}{\dfrac{1}{2}ON· CN}=\dfrac{\dfrac{1}{2}|k_1|}{\dfrac{1}{2}|k_2|}$,所以$\dfrac{AM}{CN}=\left|\dfrac{k_1}{k_2}\right|$,故②正确;阴影部分面积是$S_{△ AMO}+S_{△ CNO}=\dfrac{1}{2}|k_1|+\dfrac{1}{2}|k_2|=\dfrac{1}{2}(|k_1|+|k_2|)$,故③错误;若四边形OABC是菱形,则$∠ AOB=∠ COB$,$AO=CO$,易证$△ AOM≌△ CON$,所以$AM=CN$,所以$AM· OM=CN· ON$,即$|k_1|=|k_2|$,所以图中曲线关于y轴对称,故④正确.综上所述,正确的有①②④.
解析
【分析】
要判断各结论是否正确，需结合平行四边形性质、全等三角形判定、反比例函数的几何意义逐步推导：①利用平行四边形对边平行且相等，构造y轴的垂线得到全等三角形，推导OM与ON的关系；②根据反比例函数中k的几何意义，结合OM=ON，推导AM与CN的比值；③计算阴影部分面积时需注意k的符号；④若为菱形，利用菱形性质和全等三角形推导k₁与k₂的绝对值关系，进而判断曲线对称性。
【解析】
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC，OA//BC，
∴∠AOB=∠CBO。
过点A作AF⊥y轴于F，过点C作CE⊥y轴于E，
则∠AFO=∠CEB=90°，
∴△AOF≌△CBE（AAS），
∴AF=CE。
又
∵AM⊥x轴，CN⊥x轴，
∴四边形AFOM、CEON均为矩形，
∴AF=OM，CE=ON，
∴OM=ON，故①正确。
对于反比例函数y=k₁/x，点A在第三象限，
∴S△AMO=1/2·OM·AM=1/2|k₁|；
点C在第四象限，同理S△CNO=1/2·ON·CN=1/2|k₂|。
∵OM=ON，
∴S△AMO/S△CNO=(1/2|k₁|)/(1/2|k₂|)=|k₁/k₂|，
又S△AMO/S△CNO=(1/2·OM·AM)/(1/2·ON·CN)=AM/CN，
∴AM/CN=|k₁/k₂|，故②正确。
阴影部分面积=S△AMO + S△CNO=1/2|k₁| +1/2|k₂|，
∵k₁＜0，k₂＞0，
∴|k₁|=-k₁，|k₂|=k₂，
∴面积=1/2(-k₁ +k₂)≠1/2(k₁ +k₂)，故③错误。
若四边形OABC是菱形，则OA=OC，∠AOB=∠COB，
又
∵∠AMO=∠CNO=90°，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM=CN，
∴OM·AM=ON·CN，即|k₁|=|k₂|，
∴反比例函数y=k₁/x与y=k₂/x的图象关于y轴对称，故④正确。
综上，正确结论为①②④，对应选项D。
【答案】D
【知识点】反比例函数性质、平行四边形性质、全等三角形判定
【点评】本题是几何与反比例函数的综合题，核心是利用平行四边形、菱形的性质构造全等三角形，结合反比例函数中k的几何意义分析线段和面积关系，需注意k的符号对面积计算的影响，考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】0.5
要判断各结论是否正确，需结合平行四边形性质、全等三角形判定、反比例函数的几何意义逐步推导：①利用平行四边形对边平行且相等，构造y轴的垂线得到全等三角形，推导OM与ON的关系；②根据反比例函数中k的几何意义，结合OM=ON，推导AM与CN的比值；③计算阴影部分面积时需注意k的符号；④若为菱形，利用菱形性质和全等三角形推导k₁与k₂的绝对值关系，进而判断曲线对称性。
【解析】
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC，OA//BC，
∴∠AOB=∠CBO。
过点A作AF⊥y轴于F，过点C作CE⊥y轴于E，
则∠AFO=∠CEB=90°，
∴△AOF≌△CBE（AAS），
∴AF=CE。
又
∵AM⊥x轴，CN⊥x轴，
∴四边形AFOM、CEON均为矩形，
∴AF=OM，CE=ON，
∴OM=ON，故①正确。
对于反比例函数y=k₁/x，点A在第三象限，
∴S△AMO=1/2·OM·AM=1/2|k₁|；
点C在第四象限，同理S△CNO=1/2·ON·CN=1/2|k₂|。
∵OM=ON，
∴S△AMO/S△CNO=(1/2|k₁|)/(1/2|k₂|)=|k₁/k₂|，
又S△AMO/S△CNO=(1/2·OM·AM)/(1/2·ON·CN)=AM/CN，
∴AM/CN=|k₁/k₂|，故②正确。
阴影部分面积=S△AMO + S△CNO=1/2|k₁| +1/2|k₂|，
∵k₁＜0，k₂＞0，
∴|k₁|=-k₁，|k₂|=k₂，
∴面积=1/2(-k₁ +k₂)≠1/2(k₁ +k₂)，故③错误。
若四边形OABC是菱形，则OA=OC，∠AOB=∠COB，
又
∵∠AMO=∠CNO=90°，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM=CN，
∴OM·AM=ON·CN，即|k₁|=|k₂|，
∴反比例函数y=k₁/x与y=k₂/x的图象关于y轴对称，故④正确。
综上，正确结论为①②④，对应选项D。
【答案】D
【知识点】反比例函数性质、平行四边形性质、全等三角形判定
【点评】本题是几何与反比例函数的综合题，核心是利用平行四边形、菱形的性质构造全等三角形，结合反比例函数中k的几何意义分析线段和面积关系，需注意k的符号对面积计算的影响，考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】0.5
3. 如图,点 A 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 B 在反比例函数 $y=-\dfrac{2}{x}(x＜0)$ 的图象上,且 $AB// x$ 轴,$AC⊥$ $AB$,垂足为 $A$,交 $x$ 轴于点 $C$,则 $△ ABC$ 的面积为
3
.答案
3. 3 提示:如图,过点B作$BE⊥ x$轴于点E,设AB与y轴相交于点D,则$∠ BEO=90°$,因为$AB// x$轴,所以$∠ BDO=∠ ADO=90°$,又因为$AC⊥ AB$,所以$∠ ACO=90°$,易知$∠ BEO=∠ EOD=∠ BDO=90°$,$∠ ACO=∠ COD=∠ ADO=90°$,所以四边形BEOD,ACOD和ACEB都是矩形,因为点B在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}(x＜0)$的图象上,点A在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上,所以根据反比例函数比例系数的几何意义得$S_{\mathrm{矩形}BEOD}=|-2|=2$,$S_{\mathrm{矩形}ACOD}=4$,所以$S_{\mathrm{矩形}ACEB}=S_{\mathrm{矩形}BEOD}+S_{\mathrm{矩形}ACOD}=6$,所以$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ACEB}=3$.
解析
【分析】
要解决本题，需利用AB平行x轴的条件，构造与坐标轴垂直的辅助线，结合反比例函数比例系数的几何意义，将三角形面积转化为矩形面积的一半。核心思路是：反比例函数上的点向坐标轴作垂线形成的矩形面积等于|k|，再根据AB、AC的垂直关系，确定三角形与矩形的面积关系，进而计算结果。
【解析】
解：过点B作BE⊥x轴于点E，设AB与y轴交于点D。
∵ AB//x轴，AC⊥AB，
∴ BE⊥x轴，AC⊥x轴，
∴ 四边形BEOD、ACOD、ACEB均为矩形。
∵ 点B在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}(x＜0)$的图象上，根据反比例函数比例系数的几何意义，矩形BEOD的面积为$|-2|=2$；
∵ 点A在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上，同理，矩形ACOD的面积为$|4|=4$；
∴ 矩形ACEB的面积为$2+4=6$；
又
∵ AC⊥AB，AB是矩形ACEB的水平边，
∴ $△ ABC$的面积为矩形ACEB面积的一半，即$\dfrac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数k的几何意义、矩形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数的核心性质，通过构造矩形将三角形面积与反比例函数的比例系数关联，体现了数形结合的思想，关键是利用AB、AC的垂直关系转化面积。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用AB平行x轴的条件，构造与坐标轴垂直的辅助线，结合反比例函数比例系数的几何意义，将三角形面积转化为矩形面积的一半。核心思路是：反比例函数上的点向坐标轴作垂线形成的矩形面积等于|k|，再根据AB、AC的垂直关系，确定三角形与矩形的面积关系，进而计算结果。
【解析】
解：过点B作BE⊥x轴于点E，设AB与y轴交于点D。
∵ AB//x轴，AC⊥AB，
∴ BE⊥x轴，AC⊥x轴，
∴ 四边形BEOD、ACOD、ACEB均为矩形。
∵ 点B在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}(x＜0)$的图象上，根据反比例函数比例系数的几何意义，矩形BEOD的面积为$|-2|=2$；
∵ 点A在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上，同理，矩形ACOD的面积为$|4|=4$；
∴ 矩形ACEB的面积为$2+4=6$；
又
∵ AC⊥AB，AB是矩形ACEB的水平边，
∴ $△ ABC$的面积为矩形ACEB面积的一半，即$\dfrac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数k的几何意义、矩形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数的核心性质，通过构造矩形将三角形面积与反比例函数的比例系数关联，体现了数形结合的思想，关键是利用AB、AC的垂直关系转化面积。
【难度系数】
0.5
4. 如图,在$x$轴的正半轴依次截取$OA_{1}=$$A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}$,过点$A_{1},A_{2},A_{3}$分别作$x$轴的垂线与反比例函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象分别交于点$P_{1},P_{2},P_{3}$,得$△ OP_{1}A_{1}$,$△ A_{1}P_{2}A_{2},△ A_{2}P_{3}A_{3}$,并设其面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$,以此类推,则$S_{n}$的值为
$\dfrac{3}{2n}$
.答案
4. $\dfrac{3}{2n}$ 提示:如图,因为$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$,所以$xy=3$,连接$OP_2,OP_3,OP_4,\dots,OP_n$,根据反比例函数中k的几何意义可知$S_{△ OA_1P_1}=\dfrac{1}{2}OA_1× A_1P_1=\dfrac{1}{2}x_{P_1}× y_{P_1}=\dfrac{1}{2}×3=\dfrac{3}{2}$,同理可得$S_{△ OA_2P_2}=\dfrac{1}{2}x_{P_2}y_{P_2}=\dfrac{3}{2}$,$S_{△ OA_3P_3}=\dfrac{1}{2}x_{P_3}y_{P_3}=\dfrac{3}{2}$,$\dots$,$S_{△ OA_nP_n}=\dfrac{1}{2}x_{P_n}y_{P_n}=\dfrac{3}{2}$,所以$S_{△ OA_1P_1}=S_{△ OA_2P_2}=S_{△ OA_3P_3}=\dots=S_{△ OA_nP_n}=\dfrac{3}{2}$,因为$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_{n-1}A_n$,所以$S_{△ A_1P_2A_2}=\dfrac{1}{2}× S_{△ OA_2P_2}=\dfrac{3}{4}$,$S_{△ A_2P_3A_3}=\dfrac{1}{3}× S_{△ OA_3P_3}=\dfrac{3}{6}$,$S_{△ A_3P_4A_4}=\dfrac{1}{4}× S_{△ OA_4P_4}=\dfrac{3}{8}\dots$,所以$S_n=S_{△ A_{n-1}P_nA_n}=\dfrac{1}{n}× S_{△ OA_nP_n}=\dfrac{3}{2n}$.
解析
【分析】
要解决该问题，需结合反比例函数的性质与三角形面积的比例关系：首先，反比例函数$y=\frac{k}{x}$上任意一点的横、纵坐标乘积为$k$，过该点作$x$轴垂线形成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$；其次，根据线段等分的条件，利用“同高三角形面积比等于底的比”推导$S_n$的表达式。具体思路：1. 对反比例函数$y=\frac{3}{x}$，任一点$P_n(x_n,y_n)$满足$x_n y_n=3$，可得$△ OA_nP_n$的面积为$\frac{3}{2}$；2. 由$OA_1=A_1A_2=\dots=A_{n-1}A_n$，可知$△ A_{n-1}P_nA_n$与$△ OA_nP_n$同高，底的比为$1:n$，进而得到$S_n$的表达式。
【解析】
设点$P_n$的坐标为$(x_n,y_n)$，因$P_n$在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，故$x_n y_n=3$。
对于$△ OA_nP_n$，其面积为：
$S_{△ OA_nP_n}=\frac{1}{2} × OA_n × y_n$，又$OA_n=x_n$，因此$S_{△ OA_nP_n}=\frac{1}{2}x_n y_n=\frac{1}{2} × 3=\frac{3}{2}$。
由于$△ A_{n-1}P_nA_n$与$△ OA_nP_n$同高，底分别为$A_{n-1}A_n$和$OA_n$，且$OA_n = n · A_{n-1}A_n$，根据“同高三角形面积比等于底的比”，可得：
$S_n = S_{△ A_{n-1}P_nA_n} = \frac{1}{n} × S_{△ OA_nP_n} = \frac{1}{n} × \frac{3}{2} = \frac{3}{2n}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2n}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数性质与三角形面积规律，考查学生对反比例函数核心性质的理解，以及利用线段比例推导面积关系的能力，需掌握同高三角形面积比与底的关系，属于中等难度的规律探究题。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需结合反比例函数的性质与三角形面积的比例关系：首先，反比例函数$y=\frac{k}{x}$上任意一点的横、纵坐标乘积为$k$，过该点作$x$轴垂线形成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$；其次，根据线段等分的条件，利用“同高三角形面积比等于底的比”推导$S_n$的表达式。具体思路：1. 对反比例函数$y=\frac{3}{x}$，任一点$P_n(x_n,y_n)$满足$x_n y_n=3$，可得$△ OA_nP_n$的面积为$\frac{3}{2}$；2. 由$OA_1=A_1A_2=\dots=A_{n-1}A_n$，可知$△ A_{n-1}P_nA_n$与$△ OA_nP_n$同高，底的比为$1:n$，进而得到$S_n$的表达式。
【解析】
设点$P_n$的坐标为$(x_n,y_n)$，因$P_n$在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，故$x_n y_n=3$。
对于$△ OA_nP_n$，其面积为：
$S_{△ OA_nP_n}=\frac{1}{2} × OA_n × y_n$，又$OA_n=x_n$，因此$S_{△ OA_nP_n}=\frac{1}{2}x_n y_n=\frac{1}{2} × 3=\frac{3}{2}$。
由于$△ A_{n-1}P_nA_n$与$△ OA_nP_n$同高，底分别为$A_{n-1}A_n$和$OA_n$，且$OA_n = n · A_{n-1}A_n$，根据“同高三角形面积比等于底的比”，可得：
$S_n = S_{△ A_{n-1}P_nA_n} = \frac{1}{n} × S_{△ OA_nP_n} = \frac{1}{n} × \frac{3}{2} = \frac{3}{2n}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2n}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数性质与三角形面积规律，考查学生对反比例函数核心性质的理解，以及利用线段比例推导面积关系的能力，需掌握同高三角形面积比与底的关系，属于中等难度的规律探究题。
【难度系数】
0.5
5. 如图,菱形$OABC$的边长为3,面积为$3\sqrt{5}$,边$OA$与$y$轴重合,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$经过点$C$,与直线$AB$相交于$D,F$两点,其中$D$为线段$AB$的中点,连接$DC$.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)求四边形$OADC$的面积.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)求四边形$OADC$的面积.
答案
5. 解:(1)如图,延长BC与x轴相交于点E,因为菱形的边长为3,$OA⊥ x$轴,所以$OA=BC=3$且$BC⊥ x$轴.因为$S_{\mathrm{菱形}OABC}=OE· BC=3\sqrt{5}$,所以$3OE=3\sqrt{5}$,所以$OE=\sqrt{5}$.在$\mathrm{Rt}△ OCE$中,根据勾股定理,得$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=2$.所以点C的坐标为$(\sqrt{5},2)$.因为点C在反比例函数图象上,所以$k=2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$.所以反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2\sqrt{5}}{x}$.
(2)如图,过点D作x轴的平行线交y轴于点M,交线段BC于点N,则$∠ NMA=90°$,点M与点D的纵坐标相同.由(1)得$BC⊥ x$轴,所以$∠ OEN=90°$,又因为$∠ MOE=90°$,所以四边形OMNE是矩形.易得点B的坐标为$(\sqrt{5},5)$,点E的坐标为$(\sqrt{5},0)$.因为D是线段AB的中点,点A的坐标为$(0,3)$,所以点$D(\dfrac{\sqrt{5}}{2},4)$,所以点$M(0,4)$,$N(\sqrt{5},4)$,所以$OM=4$,$DM=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$,$DN=\sqrt{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$,因为$BC=3$,所以$S_{△ DBC}=\dfrac{1}{2}BC× DN=\dfrac{1}{2}×3×\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}$,所以$S_{\mathrm{四边形}OADC}=S_{\mathrm{菱形}OABC}-S_{△ DBC}=3\sqrt{5}-\dfrac{3\sqrt{5}}{4}=\dfrac{9\sqrt{5}}{4}$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质、面积公式和反比例函数的特点逐步推导：首先利用菱形面积求出点C的坐标，进而得到反比例函数的表达式；再根据D是AB中点，求出D点坐标，最后通过菱形面积减去三角形DBC的面积得到四边形OADC的面积。具体思路：1. 菱形OABC中，OA在y轴，BC平行OA，故BC⊥x轴，利用菱形面积=底×高算出OE，结合勾股定理得CE，确定C点坐标，代入反比例函数求k；2. 确定A、B点坐标，用中点坐标公式得D点坐标，计算△DBC面积，用菱形面积减去该面积得到四边形OADC的面积。
【解析】
(1) 因为菱形OABC的边长为3，OA与y轴重合，所以OA=BC=3，且BC//OA，故BC⊥x轴。设BC与x轴交于点E，菱形面积为$3\sqrt{5}$，根据菱形面积公式：$S=OE·BC$，代入得$3OE=3\sqrt{5}$，解得$OE=\sqrt{5}$。在$Rt△OCE$中，$OC=3$，由勾股定理得$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{9-5}=2$，故点C的坐标为$(\sqrt{5},2)$。将C代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=\sqrt{5}×2=2\sqrt{5}$，因此反比例函数表达式为$y=\frac{2\sqrt{5}}{x}$。
(2) 由菱形性质，A点坐标为$(0,3)$，B点坐标为$(\sqrt{5},5)$（AB平行OC，斜率与OC一致，代入x=√5得y=5）。因为D是AB中点，根据中点坐标公式，D点坐标为$(\frac{0+\sqrt{5}}{2},\frac{3+5}{2})=(\frac{\sqrt{5}}{2},4)$。△DBC中，BC=3，D到BC的水平距离$DN=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，故$S_{△DBC}=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{4}$。四边形OADC的面积=菱形面积 - $S_{△DBC}=3\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{4}=\frac{9\sqrt{5}}{4}$。
【答案】
(1) $y=\frac{2\sqrt{5}}{x}$；(2) $\frac{9\sqrt{5}}{4}$
【知识点】
反比例函数表达式、菱形性质、中点坐标公式
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题，需利用菱形性质求点坐标，结合反比例函数和中点坐标计算面积，考查学生综合运用知识的能力，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合菱形的性质、面积公式和反比例函数的特点逐步推导：首先利用菱形面积求出点C的坐标，进而得到反比例函数的表达式；再根据D是AB中点，求出D点坐标，最后通过菱形面积减去三角形DBC的面积得到四边形OADC的面积。具体思路：1. 菱形OABC中，OA在y轴，BC平行OA，故BC⊥x轴，利用菱形面积=底×高算出OE，结合勾股定理得CE，确定C点坐标，代入反比例函数求k；2. 确定A、B点坐标，用中点坐标公式得D点坐标，计算△DBC面积，用菱形面积减去该面积得到四边形OADC的面积。
【解析】
(1) 因为菱形OABC的边长为3，OA与y轴重合，所以OA=BC=3，且BC//OA，故BC⊥x轴。设BC与x轴交于点E，菱形面积为$3\sqrt{5}$，根据菱形面积公式：$S=OE·BC$，代入得$3OE=3\sqrt{5}$，解得$OE=\sqrt{5}$。在$Rt△OCE$中，$OC=3$，由勾股定理得$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{9-5}=2$，故点C的坐标为$(\sqrt{5},2)$。将C代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=\sqrt{5}×2=2\sqrt{5}$，因此反比例函数表达式为$y=\frac{2\sqrt{5}}{x}$。
(2) 由菱形性质，A点坐标为$(0,3)$，B点坐标为$(\sqrt{5},5)$（AB平行OC，斜率与OC一致，代入x=√5得y=5）。因为D是AB中点，根据中点坐标公式，D点坐标为$(\frac{0+\sqrt{5}}{2},\frac{3+5}{2})=(\frac{\sqrt{5}}{2},4)$。△DBC中，BC=3，D到BC的水平距离$DN=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，故$S_{△DBC}=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{4}$。四边形OADC的面积=菱形面积 - $S_{△DBC}=3\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{4}=\frac{9\sqrt{5}}{4}$。
【答案】
(1) $y=\frac{2\sqrt{5}}{x}$；(2) $\frac{9\sqrt{5}}{4}$
【知识点】
反比例函数表达式、菱形性质、中点坐标公式
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题，需利用菱形性质求点坐标，结合反比例函数和中点坐标计算面积，考查学生综合运用知识的能力，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
