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6. 为了安全方便,某自助加油站只提供两种自助加油方式:“每次定额只加200元”与“每次定量只加40升”.自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式,那么哪种加油方式更合算呢?请以两种加油方式各加油两次予以说明.“更合算”指的是两次加油后平均油价更低.假设第一次加油时油价为8.6元/升,第二次加油时油价为9.2元/升.(只列出式子不要求计算结果)
①两次加油,每次加200元的,平均油价为
②两次加油,每次加40升,平均油价为
①两次加油,每次加200元的,平均油价为
$400÷(200÷8.6+200÷9.2)$
元/升;②两次加油,每次加40升,平均油价为
$(8.6×40+9.2×40)÷80$
元/升.答案
6. ①$400÷(200÷8.6+200÷9.2)$
②$(8.6×40+9.2×40)÷80$
②$(8.6×40+9.2×40)÷80$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“平均油价”的定义：平均油价=两次加油的总费用÷两次加油的总升数。分两种加油方式分别计算：①每次加200元时，先算总费用，再算每次的加油升数，求和得到总升数，最后用总费用除以总升数得到平均油价；②每次加40升时，先算总升数，再算两次的总费用，最后用总费用除以总升数得到平均油价。
【解析】
① 每次加200元，两次总加油费用为$200+200=400$元；第一次加油升数为$\frac{200}{8.6}$升，第二次加油升数为$\frac{200}{9.2}$升，总加油升数为$\frac{200}{8.6}+\frac{200}{9.2}$升。根据平均油价公式，可得平均油价为$400÷(200÷8.6+200÷9.2)$元/升。
② 每次加40升，两次总加油升数为$40+40=80$升；第一次加油费用为$8.6×40$元，第二次加油费用为$9.2×40$元，总加油费用为$8.6×40+9.2×40$元。根据平均油价公式，可得平均油价为$(8.6×40+9.2×40)÷80$元/升。
【答案】
①$400÷(200÷8.6+200÷9.2)$；②$(8.6×40+9.2×40)÷80$
【知识点】
平均价格计算、代数式的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查平均油价的计算，核心是理解平均油价需用总费用除以总油量，而非直接对两次油价求平均，属于基础的实际应用题型，能帮助学生体会数学与生活的联系。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确“平均油价”的定义：平均油价=两次加油的总费用÷两次加油的总升数。分两种加油方式分别计算：①每次加200元时，先算总费用，再算每次的加油升数，求和得到总升数，最后用总费用除以总升数得到平均油价；②每次加40升时，先算总升数，再算两次的总费用，最后用总费用除以总升数得到平均油价。
【解析】
① 每次加200元，两次总加油费用为$200+200=400$元；第一次加油升数为$\frac{200}{8.6}$升，第二次加油升数为$\frac{200}{9.2}$升，总加油升数为$\frac{200}{8.6}+\frac{200}{9.2}$升。根据平均油价公式，可得平均油价为$400÷(200÷8.6+200÷9.2)$元/升。
② 每次加40升，两次总加油升数为$40+40=80$升；第一次加油费用为$8.6×40$元，第二次加油费用为$9.2×40$元，总加油费用为$8.6×40+9.2×40$元。根据平均油价公式，可得平均油价为$(8.6×40+9.2×40)÷80$元/升。
【答案】
①$400÷(200÷8.6+200÷9.2)$；②$(8.6×40+9.2×40)÷80$
【知识点】
平均价格计算、代数式的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查平均油价的计算，核心是理解平均油价需用总费用除以总油量，而非直接对两次油价求平均，属于基础的实际应用题型，能帮助学生体会数学与生活的联系。
【难度系数】
0.6
7. 我们知道图形是一种重要的数学语言,它直观形象,能有效地表现代数中一些重要的数量关系.
(1)认真观察如图①②的两个拼图,列出等量关系式表示阴影部分的面积. 用两种不同的方法求图①中阴影部分的面积可得等式
(2)在长方形 $ABCD$ 中,放入8个长为8,宽为2的小长方形,位置和尺寸如图③所示,则阴影部分的面积是
(1)认真观察如图①②的两个拼图,列出等量关系式表示阴影部分的面积. 用两种不同的方法求图①中阴影部分的面积可得等式
$(5+2)×(5+2)-2×5×2=5×5+2×2$
;用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积可得等式$(3+1)×(3+1)-4×3×1=(3-1)×(3-1)$
;(2)在长方形 $ABCD$ 中,放入8个长为8,宽为2的小长方形,位置和尺寸如图③所示,则阴影部分的面积是
32
.答案
7.(1)$(5+2)×(5+2)-2×5×2=5×5+2×2$
$(3+1)×(3+1)-4×3×1=(3-1)×(3-1)$
(答案不唯一,思路正确即可)
(2)32
$(3+1)×(3+1)-4×3×1=(3-1)×(3-1)$
(答案不唯一,思路正确即可)
(2)32
解析
【分析】
第(1)问：对图①，阴影面积可通过“大正方形面积减两个空白长方形面积”和“两个阴影正方形面积和”两种方法计算，结果相等即可得到等式；对图②，阴影面积可通过“大正方形面积减四个空白小长方形面积”和“阴影正方形面积”两种方法计算，进而得到等式。第(2)问：先结合图形尺寸和小长方形的长、宽，求出大长方形ABCD的长和宽，再用大长方形面积减去8个小长方形的总面积，得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 图①：
方法1：大正方形边长为$5+2=7$，面积为$7×7$，两个空白长方形面积和为$2×5×2$，故阴影面积为$7×7 - 2×5×2$；
方法2：阴影是边长为5和2的两个正方形，面积和为$5^2 + 2^2$；
因此等式为：$(5+2)^2 - 2×5×2 = 5^2 + 2^2$。
图②：
方法1：大正方形边长为$3+1=4$，面积为$4×4$，四个空白小长方形面积和为$4×3×1$，故阴影面积为$4×4 - 4×3×1$；
方法2：阴影是边长为$3-1=2$的正方形，面积为$(3-1)^2$；
因此等式为：$(3+1)^2 - 4×3×1 = (3-1)^2$。
(2) 已知小长方形长为8、宽为2，大长方形ABCD的长$BC=16$，大长方形的宽为$4 + 3×2=10$；
大长方形面积：$16×10=160$；
8个小长方形总面积：$8×8×2=128$；
阴影部分面积：$160 - 128=32$。
【答案】
(1) $(5+2)^2 - 2×5×2 = 5^2 + 2^2$；$(3+1)^2 - 4×3×1 = (3-1)^2$（答案不唯一）
(2) $32$
【知识点】
整式的混合运算、长方形面积、正方形面积
【点评】
本题考查数形结合思想，通过图形面积推导代数等式，第(2)问需结合图形尺寸计算，整体难度适中，能较好考查学生的几何直观和计算能力。
【难度系数】
0.5
第(1)问：对图①，阴影面积可通过“大正方形面积减两个空白长方形面积”和“两个阴影正方形面积和”两种方法计算，结果相等即可得到等式；对图②，阴影面积可通过“大正方形面积减四个空白小长方形面积”和“阴影正方形面积”两种方法计算，进而得到等式。第(2)问：先结合图形尺寸和小长方形的长、宽，求出大长方形ABCD的长和宽，再用大长方形面积减去8个小长方形的总面积，得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 图①：
方法1：大正方形边长为$5+2=7$，面积为$7×7$，两个空白长方形面积和为$2×5×2$，故阴影面积为$7×7 - 2×5×2$；
方法2：阴影是边长为5和2的两个正方形，面积和为$5^2 + 2^2$；
因此等式为：$(5+2)^2 - 2×5×2 = 5^2 + 2^2$。
图②：
方法1：大正方形边长为$3+1=4$，面积为$4×4$，四个空白小长方形面积和为$4×3×1$，故阴影面积为$4×4 - 4×3×1$；
方法2：阴影是边长为$3-1=2$的正方形，面积为$(3-1)^2$；
因此等式为：$(3+1)^2 - 4×3×1 = (3-1)^2$。
(2) 已知小长方形长为8、宽为2，大长方形ABCD的长$BC=16$，大长方形的宽为$4 + 3×2=10$；
大长方形面积：$16×10=160$；
8个小长方形总面积：$8×8×2=128$；
阴影部分面积：$160 - 128=32$。
【答案】
(1) $(5+2)^2 - 2×5×2 = 5^2 + 2^2$；$(3+1)^2 - 4×3×1 = (3-1)^2$（答案不唯一）
(2) $32$
【知识点】
整式的混合运算、长方形面积、正方形面积
【点评】
本题考查数形结合思想，通过图形面积推导代数等式，第(2)问需结合图形尺寸计算，整体难度适中，能较好考查学生的几何直观和计算能力。
【难度系数】
0.5
8. 图形是研究数学的重要工具，有一些复杂的运算若用图形表示出来，一看便知其结果. 例如，计算:$1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}$，结果表示为如图所示的阴影部分，显然为$\dfrac{1}{16}$. 你能设计一个图形来描述$1+3+5+7+9$的结果吗？利用画出的图形你能得出$1+3+5+\dots+365$的结果吗？
答案
8.解:如答图,利用正方形的面积公式即可表示 1+3+5+7+9 的结果. 同理可得 $1+3+5+\dots+365=1+3+5+\dots+(2×183-1)=183×183=33489.$
第8题答图
解析
【分析】本题通过图形示例展示了分数运算的直观表示，解题时需迁移数形结合思想，观察从1开始的连续奇数求和规律：1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，即n个连续奇数相加的和为n²。首先确定1+3+5+7+9的项数，再通过奇数通项公式求出1+3+…+365的项数，最后利用规律计算结果。
【解析】1. 设计图形：用边长为5的正方形，分割为1个、3个、5个、7个、9个小正方形，总数为1+3+5+7+9=25，对应5²，图形如答图（）。
2. 计算1+3+5+…+365：设该式有k个连续奇数，第k个奇数为2k-1，令2k-1=365，解得k=(365+1)÷2=183。根据规律，和为k²，因此1+3+5+…+365=183²=183×183=33489。
【答案】1+3+5+7+9的结果为25，1+3+5+…+365的结果为33489，答图如所示。
【知识点】找规律、有理数加法、平方运算
【点评】本题运用数形结合思想，将抽象的奇数求和转化为直观的正方形面积问题，帮助学生发现连续奇数求和的规律，培养观察归纳能力，体现图形在数学学习中的辅助作用。
【难度系数】0.5
【解析】1. 设计图形：用边长为5的正方形，分割为1个、3个、5个、7个、9个小正方形，总数为1+3+5+7+9=25，对应5²，图形如答图（
）。2. 计算1+3+5+…+365：设该式有k个连续奇数，第k个奇数为2k-1，令2k-1=365，解得k=(365+1)÷2=183。根据规律，和为k²，因此1+3+5+…+365=183²=183×183=33489。
【答案】1+3+5+7+9的结果为25，1+3+5+…+365的结果为33489，答图如
所示。【知识点】找规律、有理数加法、平方运算
【点评】本题运用数形结合思想，将抽象的奇数求和转化为直观的正方形面积问题，帮助学生发现连续奇数求和的规律，培养观察归纳能力，体现图形在数学学习中的辅助作用。
【难度系数】0.5
