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1.如图,一个游戏转盘中扇形1,2,4的圆心角分别是$60°,70°,80°$。任意转动转盘,当转盘停止时,指针落在扇形3区域的概率是()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{9}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{9}$
答案
B
解析
【分析】
要计算指针落在扇形3区域的概率，需运用几何概率的计算规则：某事件发生的概率等于对应区域的圆心角除以整个转盘的总圆心角（周角为360°）。因此先求出扇形3的圆心角，再计算其与总圆心角的比值，即可得到所求概率。
【解析】
整个转盘为周角，总圆心角是360°。已知扇形1、2、4的圆心角分别为60°、70°、80°，则扇形3的圆心角为：
$360° - 60° - 70° - 80° = 150°$
根据几何概率公式，指针落在扇形3区域的概率为：
$\frac{150°}{360°} = \frac{5}{12}$
【答案】
B
【知识点】
几何概率，圆心角计算
【点评】
本题考查几何概率的基础应用，核心是利用周角的度数求出对应区域的圆心角，再计算概率，属于简单的基础题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.6
要计算指针落在扇形3区域的概率，需运用几何概率的计算规则：某事件发生的概率等于对应区域的圆心角除以整个转盘的总圆心角（周角为360°）。因此先求出扇形3的圆心角，再计算其与总圆心角的比值，即可得到所求概率。
【解析】
整个转盘为周角，总圆心角是360°。已知扇形1、2、4的圆心角分别为60°、70°、80°，则扇形3的圆心角为：
$360° - 60° - 70° - 80° = 150°$
根据几何概率公式，指针落在扇形3区域的概率为：
$\frac{150°}{360°} = \frac{5}{12}$
【答案】
B
【知识点】
几何概率，圆心角计算
【点评】
本题考查几何概率的基础应用，核心是利用周角的度数求出对应区域的圆心角，再计算概率，属于简单的基础题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在$3×4$的小正方形网格中有5个阴影小正方形,现从其余空白小正方形中随机选取1个涂上阴影,此时6个阴影小正方形恰好能构成正方体展开图的概率为()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{4}{7}$
C.$\frac{5}{7}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{4}{7}$
C.$\frac{5}{7}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】首先，计算空白小正方形的数量：$3×4$的网格共有12个小正方形，已有5个阴影，因此空白小正方形有$12-5=7$个，即总共有7种等可能的选取情况。接下来，需明确正方体展开图的结构特征：现有阴影为第一行第1个、第二行全部4个，要使新增1个阴影后构成正方体展开图，需符合“一四一”型（中间4个，上下各1个），且不能出现“田”字形结构。若在第三行选取空白，可形成中间4个、上下各1个的“一四一”型，符合要求；若在第一行选取，会导致第一行有2个、第二行有4个，无法构成正方体展开图（且选第一行第2个会形成“田”字形），不符合要求。因此符合条件的选取情况是第三行的4个空白。
【解析】总空白小正方形数量：$3×4 -5=7$，即基本事件总数$n=7$。现有阴影位置：$(1,1)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$、$(2,4)$，空白位置为$(1,2)$、$(1,3)$、$(1,4)$、$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$、$(3,4)$。要使新增1个阴影后构成正方体展开图，需满足结构为“一四一”型（中间4个，上下各1个），因此需在第三行选取空白，共4种情况；在第一行选取的情况均不符合正方体展开图的结构，故符合条件的事件数$m=4$。根据概率公式，概率$P=\frac{m}{n}=\frac{4}{7}$。
【答案】B
【知识点】概率计算，正方体展开图
【点评】本题将概率计算与正方体展开图的知识点结合，需要先确定总情况数，再根据正方体展开图的特征筛选符合条件的情况，考查学生对几何图形展开图的理解和概率的基本计算能力。
【难度系数】0.4
【解析】总空白小正方形数量：$3×4 -5=7$，即基本事件总数$n=7$。现有阴影位置：$(1,1)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$、$(2,4)$，空白位置为$(1,2)$、$(1,3)$、$(1,4)$、$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$、$(3,4)$。要使新增1个阴影后构成正方体展开图，需满足结构为“一四一”型（中间4个，上下各1个），因此需在第三行选取空白，共4种情况；在第一行选取的情况均不符合正方体展开图的结构，故符合条件的事件数$m=4$。根据概率公式，概率$P=\frac{m}{n}=\frac{4}{7}$。
【答案】B
【知识点】概率计算，正方体展开图
【点评】本题将概率计算与正方体展开图的知识点结合，需要先确定总情况数，再根据正方体展开图的特征筛选符合条件的情况，考查学生对几何图形展开图的理解和概率的基本计算能力。
【难度系数】0.4
3. 甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.1,0.8,1。对其中一个事件的描述是（第2题）
“发生的可能性很大，但不一定发生”，该事件是（填“甲”“乙”或“丙”）。
“发生的可能性很大，但不一定发生”，该事件是（填“甲”“乙”或“丙”）。
答案
乙
解析
【分析】要解决这个问题，需先明确概率的意义：概率是衡量事件发生可能性大小的量，必然事件（一定发生）的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0到1之间；概率越接近1，事件发生的可能性越大，越接近0，发生的可能性越小。题目中描述的事件是“发生的可能性很大，但不一定发生”，说明该事件的概率接近1但小于1，据此匹配对应事件。
【解析】根据概率的意义逐一分析：
1. 甲事件概率为0.1，说明发生的可能性很小，不符合“可能性很大”的描述；
2. 乙事件概率为0.8，接近1，发生的可能性很大，但不是1，因此不一定发生，符合题目描述；
3. 丙事件概率为1，属于必然发生的事件，不符合“不一定发生”的描述。
综上，符合描述的事件是乙。
【答案】乙
【知识点】概率的意义
【点评】本题直接考查概率的基本概念，属于基础概念理解题，只要掌握概率与事件发生可能性的对应关系即可解答，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据概率的意义逐一分析：
1. 甲事件概率为0.1，说明发生的可能性很小，不符合“可能性很大”的描述；
2. 乙事件概率为0.8，接近1，发生的可能性很大，但不是1，因此不一定发生，符合题目描述；
3. 丙事件概率为1，属于必然发生的事件，不符合“不一定发生”的描述。
综上，符合描述的事件是乙。
【答案】乙
【知识点】概率的意义
【点评】本题直接考查概率的基本概念，属于基础概念理解题，只要掌握概率与事件发生可能性的对应关系即可解答，难度较低。
【难度系数】0.8
4.某校为了解学生对AI赋能数学课堂的喜爱程度,在全校进行了抽样调查,结果如下表所示。根据调查结果,估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为(结果精确到0.1)。
答案
0.8
解析
【分析】
这道题考查用频率估计概率的知识点，解题思路是：当试验次数（抽取的学生数n）足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为该事件发生概率的估计值。观察表格中随着抽取学生数n增大，喜爱AI赋能数学课堂的频率变化，找到稳定的频率值即可估计概率。
【解析】
根据频率与概率的关系：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生概率的估计值。观察表格数据，当抽取的学生数n逐渐增大时，喜爱AI赋能数学课堂的频率依次为0.75、0.80、0.83、0.80、0.79、0.80、0.81、0.81、0.82、0.80，这些频率逐渐稳定在0.8附近，因此估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为0.8（结果精确到0.1）。
【答案】
0.8
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题为基础题，考查频率估计概率的核心概念，只要理解大量重复试验下频率稳定于概率的原理，即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这道题考查用频率估计概率的知识点，解题思路是：当试验次数（抽取的学生数n）足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为该事件发生概率的估计值。观察表格中随着抽取学生数n增大，喜爱AI赋能数学课堂的频率变化，找到稳定的频率值即可估计概率。
【解析】
根据频率与概率的关系：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生概率的估计值。观察表格数据，当抽取的学生数n逐渐增大时，喜爱AI赋能数学课堂的频率依次为0.75、0.80、0.83、0.80、0.79、0.80、0.81、0.81、0.82、0.80，这些频率逐渐稳定在0.8附近，因此估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为0.8（结果精确到0.1）。
【答案】
0.8
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题为基础题，考查频率估计概率的核心概念，只要理解大量重复试验下频率稳定于概率的原理，即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
5.如图,将一个封闭的圆形装置内部划分为三个区域,其中 B,C 两个区域为圆环,A 区域为小圆。现向装置内随机扔黄豆(黄豆的大小忽略不计)。
(1)求出 A,B,C 三个区域的面积。
(2)若随机往装置内扔一粒黄豆,求黄豆落在 B 区域的概率。
(3)随机往装置内扔 150 粒黄豆,大约有多少粒黄豆落在 C 区域?
(1)求出 A,B,C 三个区域的面积。
(2)若随机往装置内扔一粒黄豆,求黄豆落在 B 区域的概率。
(3)随机往装置内扔 150 粒黄豆,大约有多少粒黄豆落在 C 区域?
答案
(1) $S_A=4π \ \mathrm{cm}^2$，$S_B=5π \ \mathrm{cm}^2$，$S_C=55π \ \mathrm{cm}^2$
(2) 黄豆落在B区域的概率为$\frac{5}{64}$
(3) 大约有129粒黄豆落在C区域
(2) 黄豆落在B区域的概率为$\frac{5}{64}$
(3) 大约有129粒黄豆落在C区域
解析
【分析】
本题是关于同心圆的面积计算及几何概率的应用问题。首先明确三个区域对应的半径：A是半径为2cm的小圆，B是内半径2cm、外半径3cm的圆环，C是内半径3cm、外半径8cm的圆环；解题时，先利用圆的面积公式计算各区域面积，再根据概率的定义（所求区域面积与总面积的比值）求解概率，最后通过比例估算黄豆落在C区域的数量。
【解析】
(1) 计算三个区域的面积：
A区域：为半径$ r_A=2\ \mathrm{cm} $的小圆，根据圆的面积公式$ S=π r^2 $，得$ S_A=π × 2^2=4π\ (\mathrm{cm}^2) $；
B区域：为内半径$ r_1=2\ \mathrm{cm} $、外半径$ r_2=3\ \mathrm{cm} $的圆环，面积为外圆面积减内圆面积，即$ S_B=π × 3^2 - π × 2^2=9π -4π=5π\ (\mathrm{cm}^2) $；
C区域：为内半径$ r_2=3\ \mathrm{cm} $、外半径$ R=8\ \mathrm{cm} $的圆环，面积为最大圆面积减中间圆面积，即$ S_C=π × 8^2 - π × 3^2=64π -9π=55π\ (\mathrm{cm}^2) $；
(2) 计算黄豆落在B区域的概率：
整个装置的总面积为最大圆面积$ S_{\mathrm{总}}=π × 8^2=64π\ (\mathrm{cm}^2) $，根据几何概率定义，黄豆落在B区域的概率为$ P=\frac{S_B}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{5π}{64π}=\frac{5}{64} $；
(3) 估算落在C区域的黄豆数量：
C区域面积占总面积的比例为$ \frac{S_C}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{55π}{64π}=\frac{55}{64} $，则150粒黄豆中落在C区域的大约数量为$ 150 × \frac{55}{64} \approx 129 $（粒）。
【答案】
(1) $ S_A=4π\ \mathrm{cm}^2 $，$ S_B=5π\ \mathrm{cm}^2 $，$ S_C=55π\ \mathrm{cm}^2 $；
(2) 黄豆落在B区域的概率为$ \frac{5}{64} $；
(3) 大约有129粒黄豆落在C区域。
【知识点】
圆的面积、几何概率、用比例估算数量
【点评】
本题结合同心圆的面积计算考查几何概率的基础应用，核心是掌握圆的面积公式和概率的定义，步骤清晰，属于常规的概率应用题，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.3
本题是关于同心圆的面积计算及几何概率的应用问题。首先明确三个区域对应的半径：A是半径为2cm的小圆，B是内半径2cm、外半径3cm的圆环，C是内半径3cm、外半径8cm的圆环；解题时，先利用圆的面积公式计算各区域面积，再根据概率的定义（所求区域面积与总面积的比值）求解概率，最后通过比例估算黄豆落在C区域的数量。
【解析】
(1) 计算三个区域的面积：
A区域：为半径$ r_A=2\ \mathrm{cm} $的小圆，根据圆的面积公式$ S=π r^2 $，得$ S_A=π × 2^2=4π\ (\mathrm{cm}^2) $；
B区域：为内半径$ r_1=2\ \mathrm{cm} $、外半径$ r_2=3\ \mathrm{cm} $的圆环，面积为外圆面积减内圆面积，即$ S_B=π × 3^2 - π × 2^2=9π -4π=5π\ (\mathrm{cm}^2) $；
C区域：为内半径$ r_2=3\ \mathrm{cm} $、外半径$ R=8\ \mathrm{cm} $的圆环，面积为最大圆面积减中间圆面积，即$ S_C=π × 8^2 - π × 3^2=64π -9π=55π\ (\mathrm{cm}^2) $；
(2) 计算黄豆落在B区域的概率：
整个装置的总面积为最大圆面积$ S_{\mathrm{总}}=π × 8^2=64π\ (\mathrm{cm}^2) $，根据几何概率定义，黄豆落在B区域的概率为$ P=\frac{S_B}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{5π}{64π}=\frac{5}{64} $；
(3) 估算落在C区域的黄豆数量：
C区域面积占总面积的比例为$ \frac{S_C}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{55π}{64π}=\frac{55}{64} $，则150粒黄豆中落在C区域的大约数量为$ 150 × \frac{55}{64} \approx 129 $（粒）。
【答案】
(1) $ S_A=4π\ \mathrm{cm}^2 $，$ S_B=5π\ \mathrm{cm}^2 $，$ S_C=55π\ \mathrm{cm}^2 $；
(2) 黄豆落在B区域的概率为$ \frac{5}{64} $；
(3) 大约有129粒黄豆落在C区域。
【知识点】
圆的面积、几何概率、用比例估算数量
【点评】
本题结合同心圆的面积计算考查几何概率的基础应用，核心是掌握圆的面积公式和概率的定义，步骤清晰，属于常规的概率应用题，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.3
6.一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同。将袋子中的球充分摇匀后，从中随机摸出1个球。
(1)求摸出的球是红球的概率。
(2)为了使摸出两种球的概率相同，往袋中再放进7个同样的球(红球或黄球)，求需放入红球的数量。
(1)求摸出的球是红球的概率。
(2)为了使摸出两种球的概率相同，往袋中再放进7个同样的球(红球或黄球)，求需放入红球的数量。
答案
(1) $\frac{3}{5}$；(2) 2个
解析
【分析】
第(1)问：求摸出红球的概率，需运用概率公式“所求事件的可能数÷总事件的可能数”，先计算袋子中球的总数量，再用红球数量除以总数量即可。第(2)问：要使摸出两种球的概率相同，根据概率的意义，此时红球和黄球的数量需相等，设放入红球的数量为x个，则放入黄球的数量为(7-x)个，根据放入后红球总数等于黄球总数列方程求解。
【解析】
(1) 袋子中球的总数量为：$9 + 6 = 15$（个）
摸出红球的概率 = 红球数量÷总球数 = $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$。
(2) 设需放入红球$x$个，则放入黄球的数量为$(7 - x)$个。
放入球后，红球总数为$(9 + x)$个，黄球总数为$[6 + (7 - x)] = (13 - x)$个。
因为摸出两种球的概率相同，所以红球和黄球数量相等，列方程：
$9 + x = 13 - x$
移项得：$x + x = 13 - 9$
$2x = 4$
解得：$x = 2$。
【答案】
(1) $\frac{3}{5}$；(2) 2个
【知识点】
概率的计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题考查概率的基本计算及利用方程解决概率调整问题，属于基础题型，关键是掌握概率公式和“概率相同则对应球的数量相等”的关系，难度较低。
【难度系数】
0.8
第(1)问：求摸出红球的概率，需运用概率公式“所求事件的可能数÷总事件的可能数”，先计算袋子中球的总数量，再用红球数量除以总数量即可。第(2)问：要使摸出两种球的概率相同，根据概率的意义，此时红球和黄球的数量需相等，设放入红球的数量为x个，则放入黄球的数量为(7-x)个，根据放入后红球总数等于黄球总数列方程求解。
【解析】
(1) 袋子中球的总数量为：$9 + 6 = 15$（个）
摸出红球的概率 = 红球数量÷总球数 = $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$。
(2) 设需放入红球$x$个，则放入黄球的数量为$(7 - x)$个。
放入球后，红球总数为$(9 + x)$个，黄球总数为$[6 + (7 - x)] = (13 - x)$个。
因为摸出两种球的概率相同，所以红球和黄球数量相等，列方程：
$9 + x = 13 - x$
移项得：$x + x = 13 - 9$
$2x = 4$
解得：$x = 2$。
【答案】
(1) $\frac{3}{5}$；(2) 2个
【知识点】
概率的计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题考查概率的基本计算及利用方程解决概率调整问题，属于基础题型，关键是掌握概率公式和“概率相同则对应球的数量相等”的关系，难度较低。
【难度系数】
0.8
