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【学以致用3】$\tan 240° - \dfrac{1+\tan 75°}{1-\tan 75°} = (\quad)$
A.0
B.$2\sqrt{3}$
C.2
D.$-2\sqrt{3}$
A.0
B.$2\sqrt{3}$
C.2
D.$-2\sqrt{3}$
答案
因为$\tan 240° = \tan(180° + 60°) = \tan 60° = \sqrt{3}$，
$\frac{1+\tan 75°}{1-\tan 75°} = \frac{\tan 45° + \tan 75°}{1-\tan 45° \tan 75°} = \tan(45° + 75°) = \tan 120° = -\sqrt{3}$，
所以原式$=\sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$。
$\frac{1+\tan 75°}{1-\tan 75°} = \frac{\tan 45° + \tan 75°}{1-\tan 45° \tan 75°} = \tan(45° + 75°) = \tan 120° = -\sqrt{3}$，
所以原式$=\sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$。
【学以致用4】(1)已知$\sinθ=\frac{3}{5}$，且$θ$是第二象限角，则$\frac{\sin2θ}{\cos2θ +1}=$（
A.$\frac{3}{4}$
B.$-\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$-\frac{4}{3}$
(2)有三个式子：①$\sin15°\cos15°=\frac{1}{4}$；
②$\cos^222.5°-\sin^222.5°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
③$\frac{\tan22.5°}{1-\tan^222.5°}=\frac{1}{2}$。
其中正确的个数为（
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）A.$\frac{3}{4}$
B.$-\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$-\frac{4}{3}$
(2)有三个式子：①$\sin15°\cos15°=\frac{1}{4}$；
②$\cos^222.5°-\sin^222.5°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
③$\frac{\tan22.5°}{1-\tan^222.5°}=\frac{1}{2}$。
其中正确的个数为（
D
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
(1)因为$\sin θ = \frac{3}{5}$，且$θ$是第二象限角，所以$\cos θ = -\frac{4}{5}$，$\tan θ = -\frac{3}{4}$，
所以$\frac{\sin 2θ}{\cos 2θ + 1} = \frac{2\sin θ \cos θ}{2\cos^2 θ - 1 + 1} = \tan θ = -\frac{3}{4}$。
(2)$\sin 15° \cos 15° = \frac{1}{2}\sin 30° = \frac{1}{4}$，①正确。
$\cos^2 22.5° - \sin^2 22.5° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，②正确。
因为$\frac{2\tan 22.5°}{1-\tan^2 22.5°} = \tan 45° = 1$，
所以$\frac{\tan 22.5°}{1-\tan^2 22.5°} = \frac{1}{2}$，③正确。
故正确的个数为3。
所以$\frac{\sin 2θ}{\cos 2θ + 1} = \frac{2\sin θ \cos θ}{2\cos^2 θ - 1 + 1} = \tan θ = -\frac{3}{4}$。
(2)$\sin 15° \cos 15° = \frac{1}{2}\sin 30° = \frac{1}{4}$，①正确。
$\cos^2 22.5° - \sin^2 22.5° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，②正确。
因为$\frac{2\tan 22.5°}{1-\tan^2 22.5°} = \tan 45° = 1$，
所以$\frac{\tan 22.5°}{1-\tan^2 22.5°} = \frac{1}{2}$，③正确。
故正确的个数为3。
【典例1】(1)(多选)下列等式正确的是（）
A.$\tan 25°=\dfrac{\sin 25°}{\sin 65°}$
B.$\sin 53°\cos 7°-\cos 53°\sin 7°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\cos 38°\cos 22°-\cos 52°\sin 22°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\tan 88°-\tan 28°-\sqrt{3}\tan 88°\tan 28°=\sqrt{3}$
(2)计算$\dfrac{\sin 5°+2\cos 35°}{\cos 5°}$的值为.
解题指导 (1)根据三角函数两角和与差的公式,结合诱导公式、商数公式,对选项逐一判断即可.
(2)运用两角和的余弦公式,结合特殊角的三角函数值进行求解即可.
解析 (1)$\dfrac{\sin 25°}{\sin 65°}=\dfrac{\sin 25°}{\sin(90°-25°)}=\dfrac{\sin 25°}{\cos 25°}=\tan 25°$,A正确.
$\sin 53°\cos 7°-\cos 53°\sin 7°=\sin(53°-7°)=\sin 46°≠\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,B错误.
$\cos 38°\cos 22°-\cos 52°\sin 22°=\cos 38°\cos 22°-\sin 38°\sin 22°=\cos(38°+22°)=\cos 60°=\dfrac{1}{2}$,C错误.
因为$\tan 60°=\tan(88°-28°)=\dfrac{\tan 88°-\tan 28°}{1+\tan 88°\tan 28°}=\sqrt{3}$,
所以$\tan 88°-\tan 28°=\sqrt{3}+\sqrt{3}\tan 88°\tan 28°$,
所以$\tan 88°-\tan 28°-\sqrt{3}\tan 88°\tan 28°=\sqrt{3}$,D正确.
(2)$\dfrac{\sin 5°+2\cos 35°}{\cos 5°}$
$=\dfrac{\sin 5°+2\cos(30°+5°)}{\cos 5°}$
$=\dfrac{\sin 5°+2\cos 30°\cos 5°-2\sin 30°\sin 5°}{\cos 5°}$
$=\dfrac{\sin 5°+2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 5°-2×\dfrac{1}{2}\sin 5°}{\cos 5°}$
$=\dfrac{\sqrt{3}\cos 5°}{\cos 5°}$
$=\sqrt{3}$.
答案 (1)AD (2)$\sqrt{3}$
A.$\tan 25°=\dfrac{\sin 25°}{\sin 65°}$
B.$\sin 53°\cos 7°-\cos 53°\sin 7°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\cos 38°\cos 22°-\cos 52°\sin 22°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\tan 88°-\tan 28°-\sqrt{3}\tan 88°\tan 28°=\sqrt{3}$
(2)计算$\dfrac{\sin 5°+2\cos 35°}{\cos 5°}$的值为.
解题指导 (1)根据三角函数两角和与差的公式,结合诱导公式、商数公式,对选项逐一判断即可.
(2)运用两角和的余弦公式,结合特殊角的三角函数值进行求解即可.
解析 (1)$\dfrac{\sin 25°}{\sin 65°}=\dfrac{\sin 25°}{\sin(90°-25°)}=\dfrac{\sin 25°}{\cos 25°}=\tan 25°$,A正确.
$\sin 53°\cos 7°-\cos 53°\sin 7°=\sin(53°-7°)=\sin 46°≠\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,B错误.
$\cos 38°\cos 22°-\cos 52°\sin 22°=\cos 38°\cos 22°-\sin 38°\sin 22°=\cos(38°+22°)=\cos 60°=\dfrac{1}{2}$,C错误.
因为$\tan 60°=\tan(88°-28°)=\dfrac{\tan 88°-\tan 28°}{1+\tan 88°\tan 28°}=\sqrt{3}$,
所以$\tan 88°-\tan 28°=\sqrt{3}+\sqrt{3}\tan 88°\tan 28°$,
所以$\tan 88°-\tan 28°-\sqrt{3}\tan 88°\tan 28°=\sqrt{3}$,D正确.
(2)$\dfrac{\sin 5°+2\cos 35°}{\cos 5°}$
$=\dfrac{\sin 5°+2\cos(30°+5°)}{\cos 5°}$
$=\dfrac{\sin 5°+2\cos 30°\cos 5°-2\sin 30°\sin 5°}{\cos 5°}$
$=\dfrac{\sin 5°+2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 5°-2×\dfrac{1}{2}\sin 5°}{\cos 5°}$
$=\dfrac{\sqrt{3}\cos 5°}{\cos 5°}$
$=\sqrt{3}$.
答案 (1)AD (2)$\sqrt{3}$
答案
(1) $\boldsymbol{AD}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{3}}$
解析
解：
(1) 逐一判断各选项：
选项A：
由诱导公式$\sin65°=\sin(90°-25°)=\cos25°$，因此
$\frac{\sin25°}{\sin65°}=\frac{\sin25°}{\cos25°}=\tan25°$
A正确。
选项B：
由两角差的正弦公式：
$\sin53°\cos7°-\cos53°\sin7°=\sin(53°-7°)=\sin46°≠\frac{\sqrt{3}}{2}$
B错误。
选项C：
由诱导公式$\cos52°=\cos(90°-38°)=\sin38°$，代入后由两角和的余弦公式：
$\cos38°\cos22°-\cos52°\sin22°=\cos38°\cos22°-\sin38°\sin22°=\cos(38°+22°)=\cos60°=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$
C错误。
选项D：
由两角差的正切公式：
$\tan(88°-28°)=\frac{\tan88°-\tan28°}{1+\tan88°\tan28°}=\tan60°=\sqrt{3}$
整理得$\tan88°-\tan28°=\sqrt{3}+\sqrt{3}\tan88°\tan28°$，移项可得
$\tan88°-\tan28°-\sqrt{3}\tan88°\tan28°=\sqrt{3}$
D正确。
因此正确答案为AD。
(2) 对原式变形计算：
$\begin{aligned}\frac{\sin5°+2\cos35°}{\cos5°}&=\frac{\sin5°+2\cos(30°+5°)}{\cos5°}\\&=\frac{\sin5°+2(\cos30°\cos5°-\sin30°\sin5°)}{\cos5°}\\&=\frac{\sin5°+2×\frac{\sqrt{3}}{2}\cos5°-2×\frac{1}{2}\sin5°}{\cos5°}\\&=\frac{\sin5°+\sqrt{3}\cos5°-\sin5°}{\cos5°}\\&=\frac{\sqrt{3}\cos5°}{\cos5°}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
(1) 逐一判断各选项：
选项A：
由诱导公式$\sin65°=\sin(90°-25°)=\cos25°$，因此
$\frac{\sin25°}{\sin65°}=\frac{\sin25°}{\cos25°}=\tan25°$
A正确。
选项B：
由两角差的正弦公式：
$\sin53°\cos7°-\cos53°\sin7°=\sin(53°-7°)=\sin46°≠\frac{\sqrt{3}}{2}$
B错误。
选项C：
由诱导公式$\cos52°=\cos(90°-38°)=\sin38°$，代入后由两角和的余弦公式：
$\cos38°\cos22°-\cos52°\sin22°=\cos38°\cos22°-\sin38°\sin22°=\cos(38°+22°)=\cos60°=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$
C错误。
选项D：
由两角差的正切公式：
$\tan(88°-28°)=\frac{\tan88°-\tan28°}{1+\tan88°\tan28°}=\tan60°=\sqrt{3}$
整理得$\tan88°-\tan28°=\sqrt{3}+\sqrt{3}\tan88°\tan28°$，移项可得
$\tan88°-\tan28°-\sqrt{3}\tan88°\tan28°=\sqrt{3}$
D正确。
因此正确答案为AD。
(2) 对原式变形计算：
$\begin{aligned}\frac{\sin5°+2\cos35°}{\cos5°}&=\frac{\sin5°+2\cos(30°+5°)}{\cos5°}\\&=\frac{\sin5°+2(\cos30°\cos5°-\sin30°\sin5°)}{\cos5°}\\&=\frac{\sin5°+2×\frac{\sqrt{3}}{2}\cos5°-2×\frac{1}{2}\sin5°}{\cos5°}\\&=\frac{\sin5°+\sqrt{3}\cos5°-\sin5°}{\cos5°}\\&=\frac{\sqrt{3}\cos5°}{\cos5°}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
