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11. (★★)已知$a+b=1$,则代数式$a^{2}-b^{2}+2b+9$的值为 【 】
A.13
B.12
C.11
D.10
A.13
B.12
C.11
D.10
答案
D
12. (★★)已知a,b,c是$△ ABC$的三条边的长,且满足$a^{2}-b^{2}=c(a-b)$,则$△ ABC$是【 】
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
答案
C
13. (★★)把下列各式因式分解:
(1)$(3x-2)^{2}-(2x+7)^{2};$
(2)$x^{2}(x-2)-16(x-2);$
(3)$(p-4)(p+1)+3p$。
(1)$(3x-2)^{2}-(2x+7)^{2};$
(2)$x^{2}(x-2)-16(x-2);$
(3)$(p-4)(p+1)+3p$。
答案
(1)原式$=[(3x-2)+(2x+7)]·[(3x-2)-(2x+7)]=(5x+5)(x-9)=5(x+1)·(x-9)$；
(2)原式$=(x-2)(x^{2}-16)=(x-2)(x-4)(x+4)$；
(3)原式$=p^{2}-3p-4+3p=p^{2}-4=(p-2)(p+2)$
(2)原式$=(x-2)(x^{2}-16)=(x-2)(x-4)(x+4)$；
(3)原式$=p^{2}-3p-4+3p=p^{2}-4=(p-2)(p+2)$
14. (★★)当n为正整数时,$(4n+3)^{2}-(2n+3)^{2}$能否被24整除?试说明理由。
答案
能。理由如下:$(4n+3)^{2}-(2n+3)^{2}$
$=(4n+3+2n+3)(4n+3-2n-3)$
$=(6n+6)×2n$
$=6(n+1)×2n$
$=12n(n+1)$。
$12n(n+1)÷24=\dfrac{1}{2}n(n+1)$。
因为n为正整数,
所以$n,n+1$必有一个数是偶数。
所以$n(n+1)$能被2整除。
所以$\dfrac{1}{2}n(n+1)$一定是整数。
所以$12n(n+1)$一定能被24整除。
所以当n为正整数时,$(4n+3)^{2}-(2n+3)^{2}$能被24整除。
$=(4n+3+2n+3)(4n+3-2n-3)$
$=(6n+6)×2n$
$=6(n+1)×2n$
$=12n(n+1)$。
$12n(n+1)÷24=\dfrac{1}{2}n(n+1)$。
因为n为正整数,
所以$n,n+1$必有一个数是偶数。
所以$n(n+1)$能被2整除。
所以$\dfrac{1}{2}n(n+1)$一定是整数。
所以$12n(n+1)$一定能被24整除。
所以当n为正整数时,$(4n+3)^{2}-(2n+3)^{2}$能被24整除。
15. (★★★)如图①,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,图②是由图①中的阴影部分剪拼成的一个长方形。
(1)用图①、图②可以验证因式分解中的哪个公式?
(2)若图①中的阴影部分的面积是12,$a-b=3$,求$a+b$的值。
(3)试利用这个公式计算:
$(1-\dfrac{1}{4})(1-\dfrac{1}{9})(1-\dfrac{1}{16})(1-\dfrac{1}{25})···(1-\dfrac{1}{10\;000})$。
(1)用图①、图②可以验证因式分解中的哪个公式?
(2)若图①中的阴影部分的面积是12,$a-b=3$,求$a+b$的值。
(3)试利用这个公式计算:
$(1-\dfrac{1}{4})(1-\dfrac{1}{9})(1-\dfrac{1}{16})(1-\dfrac{1}{25})···(1-\dfrac{1}{10\;000})$。
答案
(1)用这两个图可以验证因式分解中的平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$；
(2)$a+b=4$；
(3)$\dfrac{101}{200}$
(2)$a+b=4$；
(3)$\dfrac{101}{200}$
