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5. (2025·兰州中考)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF交对角线BD于点P。若P为EF的中点,∠ADB=35°,则∠DPE=(
A.95°
B.100°
C.110°
D.145°
C
)。A.95°
B.100°
C.110°
D.145°
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手：首先矩形对边平行，可得∠ADB与∠DBC是内错角，大小相等；再观察△EBF是直角三角形，已知P是EF中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得PB=PF，从而得到△PBF是等腰三角形，算出顶角∠BPF的度数，最后利用对顶角相等即可求出∠DPE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠ADB=35°（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，P为EF的中点，
∴PB=PF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴△PBF为等腰三角形，∠PBF=∠PFB=35°，
∴∠BPF=180°-∠PBF-∠PFB=180°-35°-35°=110°。
∵∠DPE与∠BPF是对顶角，
∴∠DPE=∠BPF=110°。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，对顶角性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和特殊三角形的相关性质，解题的关键是抓住直角三角形斜边中线的特征，结合平行线、对顶角的角度关系完成计算，整体思路清晰，属于基础性质的综合应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的性质入手：首先矩形对边平行，可得∠ADB与∠DBC是内错角，大小相等；再观察△EBF是直角三角形，已知P是EF中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得PB=PF，从而得到△PBF是等腰三角形，算出顶角∠BPF的度数，最后利用对顶角相等即可求出∠DPE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠ADB=35°（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，P为EF的中点，
∴PB=PF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴△PBF为等腰三角形，∠PBF=∠PFB=35°，
∴∠BPF=180°-∠PBF-∠PFB=180°-35°-35°=110°。
∵∠DPE与∠BPF是对顶角，
∴∠DPE=∠BPF=110°。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，对顶角性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和特殊三角形的相关性质，解题的关键是抓住直角三角形斜边中线的特征，结合平行线、对顶角的角度关系完成计算，整体思路清晰，属于基础性质的综合应用题。
【难度系数】
0.7
6. (2025·陕西中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,延长CB至点E,延长AD至点F,连接AE,CF。若四边形AECF为菱形,则这个菱形的面积为(
A.9
B.$\frac{39}{8}$
C.$\frac{39}{4}$
D.$\frac{21}{2}$
C
)。A.9
B.$\frac{39}{8}$
C.$\frac{39}{4}$
D.$\frac{21}{2}$
答案
6. C
解析
【分析】
要求菱形AECF的面积，已知菱形的高等于矩形的边AB=3，因此只需要求出菱形的底EC的长度即可。首先设BE=x，结合菱形四条边相等的性质可得AE=EC=x+2，再利用矩形的内角为直角，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求出x的值，进而得到EC的长，最后用菱形面积公式（底×高）计算面积即可。
【解析】
设$BE=x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，$AB=3$，$BC=2$，
∴ $∠ ABE=90°$，$EC=EB+BC=x+2$，
∵ 四边形AECF是菱形，
∴ $AE=EC=x+2$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$AB^2+BE^2=AE^2$，
代入数值：$3^2+x^2=(x+2)^2$，
展开得：$9+x^2=x^2+4x+4$，
化简解得：$4x=5$，即$x=\frac{5}{4}$，
∴ $EC=2+\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$，
∵ 菱形AECF的高等于AB的长度3，
∴ 菱形面积$S=EC× AB=\frac{13}{4}×3=\frac{39}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是利用菱形边相等的性质结合勾股定理建立方程求出未知边长，熟练掌握特殊四边形的性质和勾股定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
要求菱形AECF的面积，已知菱形的高等于矩形的边AB=3，因此只需要求出菱形的底EC的长度即可。首先设BE=x，结合菱形四条边相等的性质可得AE=EC=x+2，再利用矩形的内角为直角，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求出x的值，进而得到EC的长，最后用菱形面积公式（底×高）计算面积即可。
【解析】
设$BE=x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，$AB=3$，$BC=2$，
∴ $∠ ABE=90°$，$EC=EB+BC=x+2$，
∵ 四边形AECF是菱形，
∴ $AE=EC=x+2$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$AB^2+BE^2=AE^2$，
代入数值：$3^2+x^2=(x+2)^2$，
展开得：$9+x^2=x^2+4x+4$，
化简解得：$4x=5$，即$x=\frac{5}{4}$，
∴ $EC=2+\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$，
∵ 菱形AECF的高等于AB的长度3，
∴ 菱形面积$S=EC× AB=\frac{13}{4}×3=\frac{39}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是利用菱形边相等的性质结合勾股定理建立方程求出未知边长，熟练掌握特殊四边形的性质和勾股定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
7. (2024·内蒙古中考)如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是边BC上一点,F是边BD上一点,连接DE,EF。若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是(
A.$2\sqrt{2}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$4-2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
A
)。A.$2\sqrt{2}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$4-2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
7. A
解析
【分析】
要求△BEF的周长，首先写出周长表达式为BE+EF+BF，需要借助已知条件转化未知线段：首先利用轴对称的性质，对称的两个三角形对应边相等，可得EF=EC、DF=DC；再结合正方形的边长和对角线长度，将BE+EF转化为BC的长度，BF转化为BD-DF，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为2，
∴BC=DC=2，对角线$BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴△DEF≌△DEC，
∴$EF=EC$，$DF=DC=2$。
△BEF的周长$=BE+EF+BF$
$=BE+EC + BF$
$=BC + (BD - DF)$
$=2 + (2\sqrt{2} - 2)$
$=2\sqrt{2}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，轴对称的性质，周长计算
【点评】
本题解题核心是利用轴对称的性质实现线段的等量转化，将分散的周长线段整合为已知的正方形边长和对角线长度，体现了几何计算中的转化思想，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求△BEF的周长，首先写出周长表达式为BE+EF+BF，需要借助已知条件转化未知线段：首先利用轴对称的性质，对称的两个三角形对应边相等，可得EF=EC、DF=DC；再结合正方形的边长和对角线长度，将BE+EF转化为BC的长度，BF转化为BD-DF，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为2，
∴BC=DC=2，对角线$BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴△DEF≌△DEC，
∴$EF=EC$，$DF=DC=2$。
△BEF的周长$=BE+EF+BF$
$=BE+EC + BF$
$=BC + (BD - DF)$
$=2 + (2\sqrt{2} - 2)$
$=2\sqrt{2}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，轴对称的性质，周长计算
【点评】
本题解题核心是利用轴对称的性质实现线段的等量转化，将分散的周长线段整合为已知的正方形边长和对角线长度，体现了几何计算中的转化思想，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图,正方形ABCD的边长为6,点E在边BC上,CE=2,M是对角线BD上的一个动点,则EM + CM的最小值是(
A.$6\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{13}$
D.$4\sqrt{13}$
C
)。A.$6\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{13}$
D.$4\sqrt{13}$
答案
8. C 提示:连接 AE,交 BD 于点 M,此时 EM + CM 的值最小
解析
【分析】
本题属于对角线动点求线段和最小值的几何最值问题，解题思路如下：①这类最值问题常用轴对称转化法求解，通过轴对称将两条同侧线段转化为异侧，结合两点之间线段最短求最小值；②正方形的对角线BD是它的一条对称轴，点C关于BD的对称点是点A，因此CM=AM，可将EM+CM转化为EM+AM；③当A、M、E三点共线时，EM+AM的和最小，即等于线段AE的长度，最后利用勾股定理计算AE的长度即可得到答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于对角线BD对称，
∴CM = AM，
∴EM + CM = EM + AM，
根据两点之间线段最短可知：当A、M、E三点共线时，EM + AM的值最小，最小值为线段AE的长度。
∵正方形边长为6，CE=2，
∴BE = BC - CE = 6 - 2 = 4，且∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE = √(AB² + BE²) = √(6² + 4²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13，
即EM + CM的最小值为2√13。
故选：C。
【答案】C
【知识点】
轴对称最短路径问题；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是常见的几何最值类题型，解题的核心是利用正方形的对称性完成线段的等价转化，将未知的最值问题转化为已知的线段长度计算问题，解题过程中要准确运用勾股定理进行计算，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题属于对角线动点求线段和最小值的几何最值问题，解题思路如下：①这类最值问题常用轴对称转化法求解，通过轴对称将两条同侧线段转化为异侧，结合两点之间线段最短求最小值；②正方形的对角线BD是它的一条对称轴，点C关于BD的对称点是点A，因此CM=AM，可将EM+CM转化为EM+AM；③当A、M、E三点共线时，EM+AM的和最小，即等于线段AE的长度，最后利用勾股定理计算AE的长度即可得到答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于对角线BD对称，
∴CM = AM，
∴EM + CM = EM + AM，
根据两点之间线段最短可知：当A、M、E三点共线时，EM + AM的值最小，最小值为线段AE的长度。
∵正方形边长为6，CE=2，
∴BE = BC - CE = 6 - 2 = 4，且∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE = √(AB² + BE²) = √(6² + 4²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13，
即EM + CM的最小值为2√13。
故选：C。
【答案】C
【知识点】
轴对称最短路径问题；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是常见的几何最值类题型，解题的核心是利用正方形的对称性完成线段的等价转化，将未知的最值问题转化为已知的线段长度计算问题，解题过程中要准确运用勾股定理进行计算，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
9. 如图,将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转$30°$,得到正方形$AB'C'D'$,则图中阴影部分的面积为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$1-\frac{\sqrt{3}}{4}$
C
)。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$1-\frac{\sqrt{3}}{4}$
答案
9. C
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分面积=原正方形ABCD的面积减去两个正方形重叠部分的面积。首先根据旋转的性质，明确正方形边长均为1，旋转角∠BAB'=30°，可推出∠DAB'=60°；接着设B'C'与CD的交点为E，连接AE，利用HL可证明Rt△ADE≌Rt△AB'E，得到∠DAE=∠B'AE=30°；再通过勾股定理求出DE的长度，进而计算出重叠部分的面积，最后用正方形面积减去重叠部分面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
设B'C'与CD交于点E，连接AE。
∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°得到正方形AB'C'D'，
∴AB'=AD=1，∠BAB'=30°，∠D=∠AB'E=90°，
∴∠DAB'=∠DAB - ∠BAB'=90°-30°=60°。
在Rt△ADE和Rt△AB'E中：
$\{\begin{array}{l}AE=AE\\AD=AB'\end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△AB'E（HL），
∴∠DAE=∠B'AE=$\frac{1}{2}$∠DAB'=30°。
在Rt△ADE中，设DE=x，则AE=2x，由勾股定理得：
$AD^2 + DE^2 = AE^2$，即$1^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值舍去）。
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}×AD×DE=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
重叠部分面积$S_{重叠}=2S_{△ADE}=2×\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∵正方形ABCD的面积为$1×1=1$，
∴阴影部分面积$S_{阴影}=1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1.旋转的性质
2.正方形的性质
3.勾股定理
【点评】
本题属于旋转背景下的面积计算类常考题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将不规则的重叠部分面积转化为两个直角三角形的面积之和，结合特殊直角三角形的性质或勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分面积=原正方形ABCD的面积减去两个正方形重叠部分的面积。首先根据旋转的性质，明确正方形边长均为1，旋转角∠BAB'=30°，可推出∠DAB'=60°；接着设B'C'与CD的交点为E，连接AE，利用HL可证明Rt△ADE≌Rt△AB'E，得到∠DAE=∠B'AE=30°；再通过勾股定理求出DE的长度，进而计算出重叠部分的面积，最后用正方形面积减去重叠部分面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
设B'C'与CD交于点E，连接AE。
∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°得到正方形AB'C'D'，
∴AB'=AD=1，∠BAB'=30°，∠D=∠AB'E=90°，
∴∠DAB'=∠DAB - ∠BAB'=90°-30°=60°。
在Rt△ADE和Rt△AB'E中：
$\{\begin{array}{l}AE=AE\\AD=AB'\end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△AB'E（HL），
∴∠DAE=∠B'AE=$\frac{1}{2}$∠DAB'=30°。
在Rt△ADE中，设DE=x，则AE=2x，由勾股定理得：
$AD^2 + DE^2 = AE^2$，即$1^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值舍去）。
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}×AD×DE=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
重叠部分面积$S_{重叠}=2S_{△ADE}=2×\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∵正方形ABCD的面积为$1×1=1$，
∴阴影部分面积$S_{阴影}=1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1.旋转的性质
2.正方形的性质
3.勾股定理
【点评】
本题属于旋转背景下的面积计算类常考题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将不规则的重叠部分面积转化为两个直角三角形的面积之和，结合特殊直角三角形的性质或勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.6
