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典例1 如图，点B，C，E，F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF.求证AB//DE.
答案
典例1 证明 $\because AC⊥ BC$ 于点 $C$，$DF⊥ EF$ 于点 $F$，$\therefore ∠ ACB=∠ DFE=90°$，在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中，$\begin{cases} BC=EF, \\ ∠ ACB=∠ DFE, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ DEF$，$\therefore AB// DE$.
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ DEF$，$\therefore AB// DE$.
解析
【分析】
要证明$AB// DE$，根据平行线的判定定理，只需证明同位角$∠ B=∠ DEF$即可。观察这两个角分别属于$△ ABC$和$△ DEF$，因此可通过证明两个三角形全等来得到对应角相等。已知条件给出$BC=EF$、$AC=DF$，再结合$AC⊥ BC$、$DF⊥ EF$可得两个三角形的夹角均为直角，满足全等三角形SAS的判定条件，即可推出三角形全等，进而得到对应角相等，最终证明两直线平行。
【解析】
证明：$\because AC⊥ BC$于点$C$，$DF⊥ EF$于点$F$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE=90°$，
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} BC=EF, \\ ∠ ACB=∠ DFE, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ DEF$，
$\therefore AB// DE$。
【答案】
证明：$\because AC⊥ BC$于点$C$，$DF⊥ EF$于点$F$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE=90°$，
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} BC=EF, \\ ∠ ACB=∠ DFE, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ DEF$，
$\therefore AB// DE$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的判定，垂直的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，将三角形全等和平行线判定两个知识点结合考查，解题的核心是将证明平行的目标转化为证明对应角相等，再通过全等三角形实现角的等量转化，能够帮助学生梳理几何证明的逻辑思路，巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
要证明$AB// DE$，根据平行线的判定定理，只需证明同位角$∠ B=∠ DEF$即可。观察这两个角分别属于$△ ABC$和$△ DEF$，因此可通过证明两个三角形全等来得到对应角相等。已知条件给出$BC=EF$、$AC=DF$，再结合$AC⊥ BC$、$DF⊥ EF$可得两个三角形的夹角均为直角，满足全等三角形SAS的判定条件，即可推出三角形全等，进而得到对应角相等，最终证明两直线平行。
【解析】
证明：$\because AC⊥ BC$于点$C$，$DF⊥ EF$于点$F$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE=90°$，
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} BC=EF, \\ ∠ ACB=∠ DFE, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ DEF$，
$\therefore AB// DE$。
【答案】
证明：$\because AC⊥ BC$于点$C$，$DF⊥ EF$于点$F$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE=90°$，
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} BC=EF, \\ ∠ ACB=∠ DFE, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ DEF$，
$\therefore AB// DE$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的判定，垂直的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，将三角形全等和平行线判定两个知识点结合考查，解题的核心是将证明平行的目标转化为证明对应角相等，再通过全等三角形实现角的等量转化，能够帮助学生梳理几何证明的逻辑思路，巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
典例2 如图，小明站在堤岸的点A处，正对他的点S处停有一艘游艇。他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿着堤岸走到电线杆点B，接着再往前走相同的距离，达到点C，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于点D，测得点C到点D的距离是35 m。那么，在点A处小明与游艇的距离是多少米？请说明理由。
答案
典例2 解 在点 $A$ 处小明与游艇的距离为 $35\ \mathrm{m}$，
理由：由题意知，$∠ A=∠ C=90°$，在 $△ ABS$ 与 $△ CBD$ 中，$\begin{cases} ∠ A=∠ C, \\ AB=CB, \\ ∠ ABS=∠ CBD, \end{cases}$
$\therefore △ ABS≌△ CBD(\mathrm{ASA})$，$\therefore AS=CD$，
$\because CD=35\ \mathrm{m}$，$\therefore AS=35\ \mathrm{m}$.
理由：由题意知，$∠ A=∠ C=90°$，在 $△ ABS$ 与 $△ CBD$ 中，$\begin{cases} ∠ A=∠ C, \\ AB=CB, \\ ∠ ABS=∠ CBD, \end{cases}$
$\therefore △ ABS≌△ CBD(\mathrm{ASA})$，$\therefore AS=CD$，
$\because CD=35\ \mathrm{m}$，$\therefore AS=35\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的已知条件：①小明从A走到B再走相同距离到C，因此AB=CB；②S在A的正对面，D是向左直行到的点，因此SA⊥AC、CD⊥AC，可得∠A=∠C=90°；③当D、B、S共线时，∠ABS和∠CBD是对顶角，二者相等。要计算无法直接测量的AS的长度，可通过证明△ABS和△CBD全等，利用全等三角形对应边相等的性质，把AS转化为已知长度的CD求解即可。
【解析】
在点A处小明与游艇的距离为35m，理由如下：
由题意得：$∠ A=∠ C=90°$，$AB=CB$，
在$△ ABS$与$△ CBD$中，
$\begin{cases}∠A=∠C, \\AB=CB, \\∠ABS=∠CBD,\end{cases}$
$\therefore △ ABS≌△ CBD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AS=CD$（全等三角形对应边相等），
$\because CD=35\ \mathrm{m}$，
$\therefore AS=35\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{35\ \mathrm{m}}$
【知识点】
全等三角形的ASA判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际距离测量中的典型应用，解题核心是从实际场景中提取几何条件，将不可直接测量的距离转化为可测量的线段长度，很好地体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题目中的已知条件：①小明从A走到B再走相同距离到C，因此AB=CB；②S在A的正对面，D是向左直行到的点，因此SA⊥AC、CD⊥AC，可得∠A=∠C=90°；③当D、B、S共线时，∠ABS和∠CBD是对顶角，二者相等。要计算无法直接测量的AS的长度，可通过证明△ABS和△CBD全等，利用全等三角形对应边相等的性质，把AS转化为已知长度的CD求解即可。
【解析】
在点A处小明与游艇的距离为35m，理由如下：
由题意得：$∠ A=∠ C=90°$，$AB=CB$，
在$△ ABS$与$△ CBD$中，
$\begin{cases}∠A=∠C, \\AB=CB, \\∠ABS=∠CBD,\end{cases}$
$\therefore △ ABS≌△ CBD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AS=CD$（全等三角形对应边相等），
$\because CD=35\ \mathrm{m}$，
$\therefore AS=35\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{35\ \mathrm{m}}$
【知识点】
全等三角形的ASA判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际距离测量中的典型应用，解题核心是从实际场景中提取几何条件，将不可直接测量的距离转化为可测量的线段长度，很好地体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
