一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$
$(a≠0)$的两个实数根为$x_1,x_2$，那么$x_1 + x_2 =$，$x_1x_2 =$。

1. $-\frac{b}{a}$
2. $\frac{c}{a}$

典例1 已知关于$x$的方程$x^2 -4x +m=0$的一个根是$-2$，则它的另一个根是________，$m$的值是________。

答案6 －12
解析（解法一）设原方程的两个根分别为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=m$，
令$x_1=-2$，则$x_2=4-x_1=6$，
$\therefore m=x_1x_2=-12$，即方程的另一个根是6，$m$的值为－12.
（解法二）把$x=-2$代入$x^2 -4x +m=0$，
得$4+8+m=0$，
$\therefore m=-12$.
解方程$x^2 -4x -12=0$，得$x_1=-2$，$x_2=6$，
即方程的另一个根是6，$m$的值为－12.

举一反三 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx - 6 = 0$的一个根是2，则方程的另一个根是。

-3

典例2 设 $ x_1, x_2 $ 是一元二次方程 $ 2x^2 +4x=3 $ 的两个根，利用根与系数的关系求下列代数式的值：
(1) $ (x_1+1)(x_2+1) $；
(2) $ x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 $；
(3) $ (x_1 - x_2)^2 $。

解 方程的一般形式为$2x^2 +4x -3=0$，
此时$a=2,b=4,c=-3$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=4^2 -4×2×(-3)=40＞0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\therefore x_1+x_2=-\frac{4}{2}=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$.
(1) $(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + (x_1+x_2)+1=-\frac{3}{2}+(-2)+1=-\frac{5}{2}$.
(2) $x_1^2x_2 +x_1x_2^2 =x_1x_2(x_1+x_2)=-\frac{3}{2}×(-2)=3$.
(3) $(x_1 -x_2)^2=(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2=(-2)^2 -4×(-\frac{3}{2})=10$.

举一反三 已知方程$x^2 + 3x -1=0$的两个实数根分别为$α,β$,不解方程求下列各式的值:
(1)$α^2 + β^2$;
(2)$α^3β + αβ^3$;
(3)$\frac{β}{α} + \frac{α}{β}$;
(4)$(α -1)(β -1)$.

解 $\because α,β$ 是方程 $x^2 +3x-1=0$ 的两个实数根，
$\therefore α+β=-3,αβ=-1$.
(1) $α^2 +β^2 =(α+β)^2 -2αβ=(-3)^2 -2×(-1)=11$.
(2) $α^3β + αβ^3 = αβ (α^2 +β^2 )=(-1)×11=-11$.
(3) $\frac{β}{α} + \frac{α}{β} =\frac{α^2 +β^2}{αβ} =\frac{11}{-1}=-11$.
(4) $(α -1)(β -1) =αβ -(α +β) +1=(-1)-(-3)+1=3$.