典例2 如果$x^m=5$，$x^n=25$，求$x^{5m-2n}$的值。

解：
根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，可得：
$x^{5m-2n}=x^{5m}÷ x^{2n}=(x^m)^5÷ (x^n)^2$
将$x^m=5$，$x^n=25$代入上式：
原式$=5^5÷ 25^2$
$=3125÷ 625$
$=5$

【分析】
要求$x^{5m-2n}$的值，首先观察所求式子的指数是差的形式，联想到同底数幂的除法法则的逆用：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可先将原式拆分为$x^{5m}÷ x^{2n}$；再观察指数的倍数特征，联想到幂的乘方法则的逆用：$a^{mn}=(a^m)^n$，进一步将式子变形为$(x^m)^5÷ (x^n)^2$，最后把已知的$x^m=5$、$x^n=25$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则的逆用，对所求式子变形：
$x^{5m-2n}=x^{5m}÷ x^{2n}=(x^m)^5÷ (x^n)^2$
将$x^m=5$，$x^n=25$代入上式：
原式$=5^5÷ 25^2$
$=3125÷ 625$
$=5$
【答案】
5
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方；整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算部分的典型题型，核心考查幂的运算法则的逆应用，解题关键是熟练掌握幂的相关运算公式，能灵活将所求代数式变形为含已知条件的形式，通过整体代入即可快速求解。
【难度系数】
0.7

举一反三 若$x^a=2,x^b=3$，则$x^{3a - b}$的值是().

A.1
B.-1
C.$\frac{8}{3}$
D.6

C

【分析】
本题要求$x^{3a - b}$的值，可通过逆用幂的相关运算法则，将所求式子转化为含已知条件$x^a$、$x^b$的形式再代入计算。首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，逆用该法则可将指数的差转化为两个幂相除，即$x^{3a - b}=x^{3a}÷ x^b$；再回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，逆用该法则可将$x^{3a}$变形为$(x^a)^3$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
根据幂的运算法则逆用变形：
1. 逆用同底数幂的除法法则：$x^{3a - b}=x^{3a}÷ x^{b}$
2. 逆用幂的乘方法则：$x^{3a}=(x^a)^3$
将$x^a=2$，$x^b=3$代入得：
原式$=(x^a)^3÷ x^b=2^3÷ 3=8÷ 3=\frac{8}{3}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的除法、代数式求值
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算法则的灵活逆用，解题关键是掌握幂的相关运算公式，能根据所求式子的指数特征对式子进行合理变形，再代入已知条件计算即可。
【难度系数】
0.8

典例3 若$(2x-1)^0$有意义，则$x$的取值范围是().

A.$x=-2$
B.$x≠0$
C.$x≠\frac{1}{2}$
D.$x=\frac{1}{2}$
举一反三 计算：$(-2)^3 - (π - 3.14)^0 =$.

-9

【分析】
要计算该式，需分步计算有理数乘方和零指数幂两部分，再做差求解：首先回忆负数奇次幂的符号规则算出$(-2)^3$的结果；再根据零指数幂的性质，判断底数$π-3.14$是否为0，进而求出$(π-3.14)^0$的值；最后将两部分结果相减即可得到最终答案。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算乘方：负数的奇次幂为负，因此$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
2. 计算零指数幂：根据零指数幂的性质，非零数的0次幂等于1，
因为$π\approx3.14159＞3.14$，所以$π-3.14≠0$，因此$(π-3.14)^0=1$
3. 计算原式结果：$(-2)^3 - (π - 3.14)^0=-8-1=-9$
【答案】
$-9$
【知识点】
零指数幂运算,有理数乘方,有理数减法
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是牢记零指数幂的底数不能为0的前提条件，计算乘方时注意区分正负号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8

典例4 计算:
(1)$(14x^4y^3)÷(7x^3y)$；
(2)$(-3a^5b^3c)÷(9a^4b^2)$；
(3)$(2x^2y)^3·(-7xy^2)÷(14x^4y^3)$。
规律方法 (1)在解此类题目时,要注意运算顺序,有乘方的要先算乘方,有括号的先算括号里面的,同级运算按从左到右的顺序进行。
(2)计算结果是否正确,可由单项式乘法来验证。

解：
(1) 原式$=(14÷7)· x^{4-3}· y^{3-1}$
$=2xy^2$
(2) 原式$=(-3÷9)· a^{5-4}· b^{3-2}· c$
$=-\frac{1}{3}abc$
(3) 原式$=8x^6y^3· (-7xy^2)÷(14x^4y^3)$
$=-56x^7y^5÷(14x^4y^3)$
$=(-56÷14)· x^{7-4}· y^{5-3}$
$=-4x^3y^2$

【分析】
这三道题均属于整式乘除运算类题目，解题可按以下思路推导：①首先明确相关运算法则：单项式除以单项式时，将系数、同底数幂分别相除，仅在被除式中含有的字母连同它的指数一起作为商的因式；②运算时遵循优先级规则：有乘方先算乘方，再按从左到右的顺序计算同级的乘除运算；③计算过程中重点关注系数的符号处理、指数的加减规则，避免低级错误。
【解析】
(1) 直接套用单项式除以单项式法则计算：
原式$=(14÷7)· x^{4-3}· y^{3-1}$
$=2xy^2$
(2) 注意仅在被除式中存在的字母$c$直接保留，按法则计算：
原式$=(-3÷9)· a^{5-4}· b^{3-2}· c$
$=-\frac{1}{3}abc$
(3) 先算乘方，再依次计算乘法、除法：
首先根据积的乘方法则计算$(2x^2y)^3=8x^6y^3$，代入原式得：
原式$=8x^6y^3· (-7xy^2)÷(14x^4y^3)$
先按单项式乘法法则计算得：$=-56x^7y^5÷(14x^4y^3)$
再按单项式除法法则计算得：$=(-56÷14)· x^{7-4}· y^{5-3}$
$=-4x^3y^2$
【答案】
(1)$2xy^2$；(2)$-\frac{1}{3}abc$；(3)$-4x^3y^2$
【知识点】
单项式除以单项式；积的乘方运算；同底数幂的乘除
【点评】
本题考查整式乘除混合运算的掌握情况，解题核心是严格遵循运算顺序，熟练运用各运算法则，计算时要注意系数符号和指数运算规则，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8

举一反三 计算：
(1)$(8a^{3})÷(2a)$；
(2)$(6x^{3}y)÷(3xy)$；
(3)$(12a^{3}b^{2}x^{3})÷(3ab^{2})$.

解 (1)$(8a^{3})÷(2a)=(8÷2)a^{3-1}=4a^2$.
(2)$(6x^{3}y)÷(3xy)=(6÷3)x^{3-1}y^{1-1}=2x^2$.
(3)$(12a^{3}b^{2}x^{3})÷(3ab^{2})=(12÷3)a^{3-1}b^{2-2}x^3=4a^2x^3$.

【分析】
这三道题是单项式除以单项式的基础计算题，解题思路可分为三步：第一步计算系数的商，即将被除式的系数除以除式的系数，得到商的系数；第二步计算同底数幂的商，相同字母分别按照同底数幂除法法则（底数不变，指数相减）运算；第三步处理仅在被除式中出现的字母，直接连同它的指数作为商的一个因式，若相同字母的指数相减得0，该字母的结果为1，可省略不写。
【解析】
(1) $(8a^{3})÷(2a)=(8÷2)a^{3-1}=4a^2$
(2) $(6x^{3}y)÷(3xy)=(6÷3)x^{3-1}y^{1-1}=2x^2$
(3) $(12a^{3}b^{2}x^{3})÷(3ab^{2})=(12÷3)a^{3-1}b^{2-2}x^3=4a^2x^3$
【答案】
(1) $4a^2$；(2) $2x^2$；(3) $4a^2x^3$
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础题型，主要考查单项式除以单项式运算法则的应用，计算时需注意系数的运算、同底数幂的指数运算规则，不要遗漏仅在被除式中存在的字母，熟练掌握该类运算可以为后续更复杂的整式运算打下基础。
【难度系数】
0.9

典例5 计算：
(1)$( \dfrac{2}{5}y^3 -7xy^2 + \dfrac{2}{3}y^5 ) ÷ ( \dfrac{2}{3}y^2 )$；
(2)$(-15x^3y +12xy^2 -xy) ÷ (-xy)$。
规律方法 (1)多项式除以单项式实质是转化为单项式除以单项式，在计算时多项式里的各项包括它前面的符号；
(2)多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项；
(3)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验。
举一反三 计算：
(1)$(6a^3b -9a^2c) ÷ (3a^2)$；
(2)$(4a^3 -6a^2 +9a) ÷ (-2a)$；
(3)$(-4m^2 +20m^3n -m^2n^2) ÷ (-4m^2)$；
(4)$( x^2y - \dfrac{1}{2}xy^2 -2xy ) ÷ ( \dfrac{1}{2}xy )$。

解 (1)$(6a^3b -9a^2c)÷(3a^2)=2ab-3c$.
(2)$(4a^3 -6a^2 +9a) ÷ (-2a) =-2a^2+3a-\frac{9}{2}$.
(3)$(-4m^2 +20m^3n -m^2n^2) ÷ (-4m^2)=1-5mn+\frac{1}{4}n^2$.
(4)$(x^2y-\frac{1}{2}xy^2-2xy)÷(\frac{1}{2}xy)=2x-y-4$.

【分析】
解决多项式除以单项式的题目，核心是运用转化思想，将多项式除法转化为多个单项式除以单项式的运算，再把所得的商相加。思考时按以下步骤进行：①先观察被除式的项数，确保运算后商的项数和被除式一致，避免漏项；②运算时要带着每一项前面的符号除以除式，注意符号变化；③计算单个单项式除法时，分别计算系数的商、同底数幂的商，仅在被除式中出现的字母连同指数直接作为商的因式；④完成计算后可通过“商×除式=被除式”的逆运算检验结果是否正确。
【解析】
(1) 先将多项式拆分为两项分别除以$3a^2$，再求和：
$\begin{aligned}(6a^3b -9a^2c) ÷ (3a^2)&=6a^3b÷3a^2 + (-9a^2c)÷3a^2\\&=(6÷3)a^{3-2}b + (-9÷3)a^{2-2}c\\&=2ab -3c\end{aligned}$
(2) 拆分为三项分别除以$-2a$，再求和：
$\begin{aligned}(4a^3 -6a^2 +9a) ÷ (-2a)&=4a^3÷(-2a) + (-6a^2)÷(-2a) +9a÷(-2a)\\&=(4÷(-2))a^{3-1} + (-6÷(-2))a^{2-1} + (9÷(-2))a^{1-1}\\&=-2a^2 +3a -\frac{9}{2}\end{aligned}$
(3) 拆分为三项分别除以$-4m^2$，再求和：
$\begin{aligned}(-4m^2 +20m^3n -m^2n^2) ÷ (-4m^2)&=(-4m^2)÷(-4m^2) +20m^3n÷(-4m^2) + (-m^2n^2)÷(-4m^2)\\&=(-4÷(-4))m^{2-2} + (20÷(-4))m^{3-2}n + (-1÷(-4))m^{2-2}n^2\\&=1 -5mn +\frac{1}{4}n^2\end{aligned}$
(4) 拆分为三项分别除以$\frac{1}{2}xy$，再求和：
$\begin{aligned}( x^2y - \dfrac{1}{2}xy^2 -2xy ) ÷ ( \dfrac{1}{2}xy )&=x^2y÷\frac{1}{2}xy + (-\frac{1}{2}xy^2)÷\frac{1}{2}xy + (-2xy)÷\frac{1}{2}xy\\&=(1÷\frac{1}{2})x^{2-1}y^{1-1} + (-\frac{1}{2}÷\frac{1}{2})x^{1-1}y^{2-1} + (-2÷\frac{1}{2})x^{1-1}y^{1-1}\\&=2x -y -4\end{aligned}$
【答案】
(1)$2ab-3c$
(2)$-2a^2+3a-\frac{9}{2}$
(3)$1-5mn+\frac{1}{4}n^2$
(4)$2x-y-4$
【知识点】
多项式除以单项式，单项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，重点考查对多项式除以单项式法则的掌握和运用，易错点是运算时忽略项的符号、漏项，或者系数、同底数幂的计算出错，解题时要细心运算，养成用逆运算检验的习惯可有效提高正确率。
【难度系数】
0.75