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5.(选做题)某图书馆向某山区学校的学生捐赠一批图书.如果每名学生分5本,还剩b本;如果每名学生分7本,还差(b+20)本.
(1)设该学校有学生x名,
①用两种不同的式子表示这批图书的本数;
②若$b=150$,求$x$的值.
(2)若再增加一些图书,恰好每名学生可分到6本,则增加的图书有几本?
(1)设该学校有学生x名,
①用两种不同的式子表示这批图书的本数;
②若$b=150$,求$x$的值.
(2)若再增加一些图书,恰好每名学生可分到6本,则增加的图书有几本?
答案
解 (1)①图书本数可表示为5x+b或7x−b−20。
②当b=150时，可得方程5x+150=7x−150−20，解得x=160。
(2)设该学校有学生x名，由(1)可知5x+b=7x−b−20，得x−b=10，
增加图书的数量为6x−(5x+b)=x−b=10。
答：增加的图书有10本。
②当b=150时，可得方程5x+150=7x−150−20，解得x=160。
(2)设该学校有学生x名，由(1)可知5x+b=7x−b−20，得x−b=10，
增加图书的数量为6x−(5x+b)=x−b=10。
答：增加的图书有10本。
解析
【分析】
(1)①要表示图书总数，抓住两种分配方式下图书总数不变的特点：第一种分配是“每人分5本剩b本”，总数=已分的本数+剩余的本数；第二种分配是“每人分7本还差(b+20)本”，总数=如果每人分7本需要的总本数-缺少的本数，据此列两个代数式即可。
②因为两个代数式都表示同一批图书的总数，所以二者相等，把b=150代入得到关于x的一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可求出x的值。
(2)首先根据(1)中两个代数式相等，先推导得出x和b的数量关系；增加的图书数=每人分6本的总本数-原来的图书总数，代入化简后结合x和b的关系即可算出结果。
【解析】
(1)①按第一种分配方式：x名学生每人分5本，共分了5x本，还剩b本，因此图书总数为$5x+b$；
按第二种分配方式：x名学生每人分7本，共需要7x本，还差$(b+20)$本，因此图书总数为$7x-(b+20)=7x-b-20$。
②由两种方式表示的图书总数相等，可得$5x+b=7x-b-20$。
当$b=150$时，代入方程得：
$5x+150=7x-150-20$
移项得：$5x-7x=-150-20-150$
合并同类项得：$-2x=-320$
系数化为1得：$x=160$。
(2)由(1)中$5x+b=7x-b-20$，移项整理得：
$2b+20=2x$，化简即$x-b=10$。
增加图书后恰好每人分6本，总图书数为$6x$，因此增加的图书数量为：
$6x-(5x+b)=x-b$，代入$x-b=10$，得增加的图书为10本。
【答案】
(1)①$5x+b$，$7x-b-20$；②$x=160$
(2)10本
【知识点】
列代数式；解一元一次方程；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际分配场景考查代数式书写与一元一次方程的应用，解题核心是抓住“原有图书总数不变”这一隐含等量关系，计算时注意移项要改变符号，避免出现符号类计算错误。
【难度系数】
0.75
(1)①要表示图书总数，抓住两种分配方式下图书总数不变的特点：第一种分配是“每人分5本剩b本”，总数=已分的本数+剩余的本数；第二种分配是“每人分7本还差(b+20)本”，总数=如果每人分7本需要的总本数-缺少的本数，据此列两个代数式即可。
②因为两个代数式都表示同一批图书的总数，所以二者相等，把b=150代入得到关于x的一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可求出x的值。
(2)首先根据(1)中两个代数式相等，先推导得出x和b的数量关系；增加的图书数=每人分6本的总本数-原来的图书总数，代入化简后结合x和b的关系即可算出结果。
【解析】
(1)①按第一种分配方式：x名学生每人分5本，共分了5x本，还剩b本，因此图书总数为$5x+b$；
按第二种分配方式：x名学生每人分7本，共需要7x本，还差$(b+20)$本，因此图书总数为$7x-(b+20)=7x-b-20$。
②由两种方式表示的图书总数相等，可得$5x+b=7x-b-20$。
当$b=150$时，代入方程得：
$5x+150=7x-150-20$
移项得：$5x-7x=-150-20-150$
合并同类项得：$-2x=-320$
系数化为1得：$x=160$。
(2)由(1)中$5x+b=7x-b-20$，移项整理得：
$2b+20=2x$，化简即$x-b=10$。
增加图书后恰好每人分6本，总图书数为$6x$，因此增加的图书数量为：
$6x-(5x+b)=x-b$，代入$x-b=10$，得增加的图书为10本。
【答案】
(1)①$5x+b$，$7x-b-20$；②$x=160$
(2)10本
【知识点】
列代数式；解一元一次方程；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际分配场景考查代数式书写与一元一次方程的应用，解题核心是抓住“原有图书总数不变”这一隐含等量关系，计算时注意移项要改变符号，避免出现符号类计算错误。
【难度系数】
0.75
含有括号的一元一次方程的解法
当方程中含有带括号的式子时，
是常用的化简步骤.
当方程中含有带括号的式子时，
去括号
是常用的化简步骤.
答案
去括号
解析
【分析】
我们解一元一次方程的最终目标是把方程化简为x=a的形式，如果方程中存在带括号的式子，括号会阻碍后续合并同类项、移项等操作，所以首先要考虑消除括号的影响，由此就能推出对应的常用化简步骤。
【解析】
当方程里有带括号的式子时，括号内的项和括号外的项无法直接合并运算，需要先按照去括号法则去掉括号：括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去括号后括号内各项都变号，若括号前有系数，要把系数乘到括号内的每一项。完成去括号后才能继续开展移项、合并同类项等后续化简操作，因此去括号是这类情况下常用的化简步骤。
【答案】
去括号
【知识点】
一元一次方程解法；去括号法则
【点评】
本题考查解一元一次方程的基础步骤，属于基础概念类题目，只要熟练掌握解一元一次方程各步骤的适用场景，就能快速作答。
【难度系数】
0.9
我们解一元一次方程的最终目标是把方程化简为x=a的形式，如果方程中存在带括号的式子，括号会阻碍后续合并同类项、移项等操作，所以首先要考虑消除括号的影响，由此就能推出对应的常用化简步骤。
【解析】
当方程里有带括号的式子时，括号内的项和括号外的项无法直接合并运算，需要先按照去括号法则去掉括号：括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去括号后括号内各项都变号，若括号前有系数，要把系数乘到括号内的每一项。完成去括号后才能继续开展移项、合并同类项等后续化简操作，因此去括号是这类情况下常用的化简步骤。
【答案】
去括号
【知识点】
一元一次方程解法；去括号法则
【点评】
本题考查解一元一次方程的基础步骤，属于基础概念类题目，只要熟练掌握解一元一次方程各步骤的适用场景，就能快速作答。
【难度系数】
0.9
典例1 解方程：
$3(x-2)+1=2x-(3x-4).$
$3(x-2)+1=2x-(3x-4).$
答案
解：
去括号，得
$3x - 6 + 1 = 2x - 3x + 4$
合并同类项，得
$3x - 5 = -x + 4$
移项，得
$3x + x = 4 + 5$
合并同类项，得
$4x = 9$
系数化为1，得
$x = \frac{9}{4}$
去括号，得
$3x - 6 + 1 = 2x - 3x + 4$
合并同类项，得
$3x - 5 = -x + 4$
移项，得
$3x + x = 4 + 5$
合并同类项，得
$4x = 9$
系数化为1，得
$x = \frac{9}{4}$
解析
【分析】
这是一道带括号的一元一次方程求解问题，按照解一元一次方程的常规步骤思考即可：第一步先去括号，去括号时要注意括号前的符号，若括号前是负号，去掉括号后括号内的每一项都要变号；第二步分别合并等号左右两边的同类项；第三步进行移项，把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，注意移项要变号；第四步再次合并同类项得到$ax=b(a≠0)$的形式；最后把未知数的系数化为1就能得到方程的解。
【解析】
解：
去括号，得
$3x - 6 + 1 = 2x - 3x + 4$
合并同类项，得
$3x - 5 = -x + 4$
移项，得
$3x + x = 4 + 5$
合并同类项，得
$4x = 9$
系数化为1，得
$x = \frac{9}{4}$
【答案】
$x=\frac{9}{4}$
【知识点】
去括号解一元一次方程；移项法则；合并同类项
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，易错点为去括号时符号处理错误、移项忘记变号，熟练掌握解一元一次方程的步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道带括号的一元一次方程求解问题，按照解一元一次方程的常规步骤思考即可：第一步先去括号，去括号时要注意括号前的符号，若括号前是负号，去掉括号后括号内的每一项都要变号；第二步分别合并等号左右两边的同类项；第三步进行移项，把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，注意移项要变号；第四步再次合并同类项得到$ax=b(a≠0)$的形式；最后把未知数的系数化为1就能得到方程的解。
【解析】
解：
去括号，得
$3x - 6 + 1 = 2x - 3x + 4$
合并同类项，得
$3x - 5 = -x + 4$
移项，得
$3x + x = 4 + 5$
合并同类项，得
$4x = 9$
系数化为1，得
$x = \frac{9}{4}$
【答案】
$x=\frac{9}{4}$
【知识点】
去括号解一元一次方程；移项法则；合并同类项
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，易错点为去括号时符号处理错误、移项忘记变号，熟练掌握解一元一次方程的步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
举一反三 解方程：
$x - 2(1 - 3x) = 3(x - 4) + 6$
$x - 2(1 - 3x) = 3(x - 4) + 6$
答案
解 去括号，得$x-2+6x=3x-12+6.$
移项，得$x+6x-3x=-12+6+2.$
合并同类项，得$4x=-4.$
系数化为1，得$x=-1.$
移项，得$x+6x-3x=-12+6+2.$
合并同类项，得$4x=-4.$
系数化为1，得$x=-1.$
解析
【分析】
这是一道带括号的一元一次方程求解问题，需按照解一元一次方程的标准步骤逐步计算：首先去括号，要注意括号前的系数和符号，括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号，同时不要漏乘括号内的每一项；其次移项，把含未知数的项统一移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要记得变号；接着合并同类项，将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式；最后系数化为1，即可求出未知数的值。
【解析】
解：去括号，得$x-2+6x=3x-12+6$
移项，得$x+6x-3x=-12+6+2$
合并同类项，得$4x=-4$
系数化为1，得$x=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
1.去括号法则 2.解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础常规题型，重点考察去括号、移项、合并同类项等基础运算能力，解题时需格外注意去括号的符号变化以及移项要变号的规则，避免因细节失误出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道带括号的一元一次方程求解问题，需按照解一元一次方程的标准步骤逐步计算：首先去括号，要注意括号前的系数和符号，括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号，同时不要漏乘括号内的每一项；其次移项，把含未知数的项统一移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要记得变号；接着合并同类项，将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式；最后系数化为1，即可求出未知数的值。
【解析】
解：去括号，得$x-2+6x=3x-12+6$
移项，得$x+6x-3x=-12+6+2$
合并同类项，得$4x=-4$
系数化为1，得$x=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
1.去括号法则 2.解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础常规题型，重点考察去括号、移项、合并同类项等基础运算能力，解题时需格外注意去括号的符号变化以及移项要变号的规则，避免因细节失误出现计算错误。
【难度系数】
0.8
典例2 一架飞机从A地到B地顺风航行需要2.8 h，沿相同的路线逆风返回时需要3.2 h，若航行时风的速度为28 km/h，求飞机无风航行时的速度。
答案
解：设飞机无风航行时的速度为$ x \, \mathrm{km/h} $，则顺风航行的速度为$ (x+28) \, \mathrm{km/h} $，逆风航行的速度为$ (x-28) \, \mathrm{km/h} $。
根据A、B两地路程相等，列方程得：
$ 2.8(x + 28) = 3.2(x - 28) $
去括号，得：
$ 2.8x + 78.4 = 3.2x - 89.6 $
移项，得：
$ 2.8x - 3.2x = -89.6 - 78.4 $
合并同类项，得：
$ -0.4x = -168 $
系数化为1，得：
$ x = 420 $
答：飞机无风航行时的速度为420 km/h。
根据A、B两地路程相等，列方程得：
$ 2.8(x + 28) = 3.2(x - 28) $
去括号，得：
$ 2.8x + 78.4 = 3.2x - 89.6 $
移项，得：
$ 2.8x - 3.2x = -89.6 - 78.4 $
合并同类项，得：
$ -0.4x = -168 $
系数化为1，得：
$ x = 420 $
答：飞机无风航行时的速度为420 km/h。
解析
【分析】
这是顺风逆风场景下的行程类一元一次方程应用题，解题核心是抓住往返路程相等这一不变的等量关系。首先设飞机无风航行的速度为未知数，根据“顺风速度=无风速度+风速、逆风速度=无风速度-风速”分别表示出往返的航行速度，再结合“路程=速度×时间”分别表示出A到B、B到A的路程，根据路程相等列方程，最后按去括号解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设飞机无风航行时的速度为$ x \, \mathrm{km/h} $，则顺风航行的速度为$ (x+28) \, \mathrm{km/h} $，逆风航行的速度为$ (x-28) \, \mathrm{km/h} $。
根据A、B两地路程相等，列方程得：
$ 2.8(x + 28) = 3.2(x - 28) $
去括号，得：
$ 2.8x + 78.4 = 3.2x - 89.6 $
移项，得：
$ 2.8x - 3.2x = -89.6 - 78.4 $
合并同类项，得：
$ -0.4x = -168 $
系数化为1，得：
$ x = 420 $
答：飞机无风航行时的速度为420 km/h。
【答案】
420 km/h
【知识点】
一元一次方程应用，去括号解方程，行程等量关系
【点评】
本题属于一元一次方程应用的基础题型，解题关键是明确顺风、逆风行驶的速度表达式，抓住往返路程不变的核心等量关系列方程，熟练掌握去括号解一元一次方程的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
这是顺风逆风场景下的行程类一元一次方程应用题，解题核心是抓住往返路程相等这一不变的等量关系。首先设飞机无风航行的速度为未知数，根据“顺风速度=无风速度+风速、逆风速度=无风速度-风速”分别表示出往返的航行速度，再结合“路程=速度×时间”分别表示出A到B、B到A的路程，根据路程相等列方程，最后按去括号解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设飞机无风航行时的速度为$ x \, \mathrm{km/h} $，则顺风航行的速度为$ (x+28) \, \mathrm{km/h} $，逆风航行的速度为$ (x-28) \, \mathrm{km/h} $。
根据A、B两地路程相等，列方程得：
$ 2.8(x + 28) = 3.2(x - 28) $
去括号，得：
$ 2.8x + 78.4 = 3.2x - 89.6 $
移项，得：
$ 2.8x - 3.2x = -89.6 - 78.4 $
合并同类项，得：
$ -0.4x = -168 $
系数化为1，得：
$ x = 420 $
答：飞机无风航行时的速度为420 km/h。
【答案】
420 km/h
【知识点】
一元一次方程应用，去括号解方程，行程等量关系
【点评】
本题属于一元一次方程应用的基础题型，解题关键是明确顺风、逆风行驶的速度表达式，抓住往返路程不变的核心等量关系列方程，熟练掌握去括号解一元一次方程的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
举一反三 一个长方形的周长为26 cm.若这个长方形的长减少1 cm,宽变为2倍后再增加3 cm,就变成一个正方形,则这个长方形的长为
10
cm,宽为3
cm.答案
10 3 解析 设这个长方形的长是$x$ cm，则宽是$(13-x)$cm.
根据正方形的边长相等，得$x-1=2(13-x)+3$，
方程右边去括号，得$x-1=26-2x+3$，
移项，得$x+2x=26+3+1$，
合并同类项，得$3x=30$，
系数化为1，得$x=10$，所以$13-x=3.$
故这个长方形的长为10 cm，宽为3 cm.
根据正方形的边长相等，得$x-1=2(13-x)+3$，
方程右边去括号，得$x-1=26-2x+3$，
移项，得$x+2x=26+3+1$，
合并同类项，得$3x=30$，
系数化为1，得$x=10$，所以$13-x=3.$
故这个长方形的长为10 cm，宽为3 cm.
解析
【分析】
首先根据长方形周长公式，周长=2×(长+宽)，已知周长为26cm，可先算出长与宽的和为13cm。我们可以设长方形的长为x cm，那么宽就可以用(13-x)cm表示。接下来找等量关系：题目中长减少1cm、宽变为2倍后加3cm得到正方形，正方形的四条边长相等，也就是变化后的长和变化后的宽相等，据此列出一元一次方程，再按照去括号解方程的步骤求解即可得到长宽的数值。
【解析】
设这个长方形的长是$x$ cm，由长方形周长公式可得宽为$(26÷2 -x)=(13-x)$cm。
根据正方形边长相等的性质，列方程：
$x-1=2(13-x)+3$
去括号，得：
$x-1=26-2x+3$
移项，得：
$x+2x=26+3+1$
合并同类项，得：
$3x=30$
系数化为1，得：
$x=10$
则宽为$13-x=13-10=3$（cm）
【答案】
10；3
【知识点】
长方形周长计算；一元一次方程的应用；去括号解一元一次方程
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，解题核心是准确抓住“变化后所得正方形的边长相等”这一等量关系建立方程，计算时要注意遵守去括号法则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
首先根据长方形周长公式，周长=2×(长+宽)，已知周长为26cm，可先算出长与宽的和为13cm。我们可以设长方形的长为x cm，那么宽就可以用(13-x)cm表示。接下来找等量关系：题目中长减少1cm、宽变为2倍后加3cm得到正方形，正方形的四条边长相等，也就是变化后的长和变化后的宽相等，据此列出一元一次方程，再按照去括号解方程的步骤求解即可得到长宽的数值。
【解析】
设这个长方形的长是$x$ cm，由长方形周长公式可得宽为$(26÷2 -x)=(13-x)$cm。
根据正方形边长相等的性质，列方程：
$x-1=2(13-x)+3$
去括号，得：
$x-1=26-2x+3$
移项，得：
$x+2x=26+3+1$
合并同类项，得：
$3x=30$
系数化为1，得：
$x=10$
则宽为$13-x=13-10=3$（cm）
【答案】
10；3
【知识点】
长方形周长计算；一元一次方程的应用；去括号解一元一次方程
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，解题核心是准确抓住“变化后所得正方形的边长相等”这一等量关系建立方程，计算时要注意遵守去括号法则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
