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1. （2025·聊城模拟）如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D是圆上的两点，连结AC，BC，AD，过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E，且CE为$\odot O$的切线.
(1)求证:点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点；
(2)若$AD=2,CE=1$,求圆的半径.
(1)求证:点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点；
(2)若$AD=2,CE=1$,求圆的半径.
答案
(1) 连结 OC,
∵ CE 是圆的切线,
∴ OC ⊥ CE.
∵ CE ⊥ AE,
∴ OC//AE,
∴ ∠CAE = ∠OCA. 又
∵ OA = OC,
∴ ∠OAC= ∠OCA,
∴ ∠OAC= ∠CAE,
∴ 点 C 是$\overset{\frown}{BD}$的中点.
(2) 连结 BD 交 OC 于点 G.
∵ OC 为半径,点 C 是$\overset{\frown}{BD}$的中点,
∴ OC ⊥ BD, DG = BG.
∵ ∠CEA = ∠GCE = ∠DGC = 90°,
∴ 四边形CEDG 为矩形,
∴ DG = CE = 1,
∴ BD = 2.
∵ AB 是 ⊙O 的直径,
∴ ∠ADB=90°.在 Rt△ADB 中,$AB = \sqrt{AD^2+BD^2}=2\sqrt{2}$,
∴ 圆的半径为$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，只需证$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$，根据圆周角定理，等价于证明∠BAC=∠CAE。已知CE是圆的切线，结合切线性质优先连接OC得OC⊥CE，再由CE⊥AE推出OC//AE，得到角的等量关系，结合OA=OC的等腰三角形性质即可证得两角相等，进而得到弧相等的结论。
(2) 求圆的半径只需先求出直径AB的长度。已知AB是直径，由直径所对圆周角为直角可得△ADB是直角三角形，已知AD=2，只需求出BD长度即可用勾股定理计算AB。结合(1)的结论，根据垂径定理连接BD交OC于G，可得OC垂直平分BD；再判定四边形CEDG为矩形，利用矩形对边相等得到DG=CE=1，进而求出BD长度，最终计算出直径和半径。
【解析】
(1) 证明：连结OC，
∵ CE是$\odot O$的切线，
∴ OC ⊥ CE，
∵ CE ⊥ AE，
∴ OC//AE，
∴ ∠CAE = ∠OCA，
又
∵ OA = OC，
∴ ∠OAC= ∠OCA，
∴ ∠OAC= ∠CAE，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$，即点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点。
(2) 解：连结BD交OC于点G，
∵ OC为$\odot O$的半径，点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ OC ⊥ BD，DG = BG，
∵ ∠CEA = ∠GCE = ∠DGC = 90°，
∴ 四边形CEDG为矩形，
∴ DG = CE = 1，
∴ BD = 2DG = 2，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，$AB = \sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ 圆的半径为$\frac{AB}{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明成立，点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点；
(2) 圆的半径为$\sqrt{2}$。
【知识点】
切线的性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的常规综合题，核心考查圆的基础性质和特殊四边形的判定，解题关键是熟练掌握圆中连接半径、构造直径所对圆周角这类常用辅助线的作法，能快速建立已知量和未知量的联系。
【难度系数】
0.6
(1) 要证点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，只需证$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$，根据圆周角定理，等价于证明∠BAC=∠CAE。已知CE是圆的切线，结合切线性质优先连接OC得OC⊥CE，再由CE⊥AE推出OC//AE，得到角的等量关系，结合OA=OC的等腰三角形性质即可证得两角相等，进而得到弧相等的结论。
(2) 求圆的半径只需先求出直径AB的长度。已知AB是直径，由直径所对圆周角为直角可得△ADB是直角三角形，已知AD=2，只需求出BD长度即可用勾股定理计算AB。结合(1)的结论，根据垂径定理连接BD交OC于G，可得OC垂直平分BD；再判定四边形CEDG为矩形，利用矩形对边相等得到DG=CE=1，进而求出BD长度，最终计算出直径和半径。
【解析】
(1) 证明：连结OC，
∵ CE是$\odot O$的切线，
∴ OC ⊥ CE，
∵ CE ⊥ AE，
∴ OC//AE，
∴ ∠CAE = ∠OCA，
又
∵ OA = OC，
∴ ∠OAC= ∠OCA，
∴ ∠OAC= ∠CAE，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$，即点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点。
(2) 解：连结BD交OC于点G，
∵ OC为$\odot O$的半径，点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ OC ⊥ BD，DG = BG，
∵ ∠CEA = ∠GCE = ∠DGC = 90°，
∴ 四边形CEDG为矩形，
∴ DG = CE = 1，
∴ BD = 2DG = 2，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，$AB = \sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ 圆的半径为$\frac{AB}{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明成立，点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点；
(2) 圆的半径为$\sqrt{2}$。
【知识点】
切线的性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的常规综合题，核心考查圆的基础性质和特殊四边形的判定，解题关键是熟练掌握圆中连接半径、构造直径所对圆周角这类常用辅助线的作法，能快速建立已知量和未知量的联系。
【难度系数】
0.6
2. （2025·丽水模拟）如图，AB为$\odot O$的直径，P为AB延长线上一点，过点P作$\odot O$的切线PD，切点为M。过点A作$AC ⊥ PD$于点C，交$\odot O$于点N，连结AM。
（1）求证：AM平分$∠ CAB$；
（2）若$\odot O$的直径为10，$AN=6$，求CM的长。
（1）求证：AM平分$∠ CAB$；
（2）若$\odot O$的直径为10，$AN=6$，求CM的长。
答案
(1) 连结 OM,则 AO=MO,∠OAM=∠OMA.
∵ 过点 P 作⊙O 的切线 PD,切点为 M,
∴ OM ⊥ CP.
∵ AC ⊥ PD,
∴ OM//AC,
∴ ∠CAM=∠OMA,
∴ ∠CAM=∠OAM,即 AM 平分∠CAB.
(2) 过点 O 作 OE⊥AN 于点 E,连结 ON,则∠OEC=90°.
∵ 过点 P 作⊙O 的切线 PD,切点为 M,
∴ OM ⊥ CP,即∠OMC=90°.
∵ AC⊥PD,
∴ ∠ACM=90°,
∴ 四边形 OMCE 为矩形,
∴ CM = EO.
∵ OA=ON,AN=6,
∴ $AE=\frac{1}{2}AN=3$.
∵ ⊙O 的直径为 10,
∴ OA=5,
∴ $OE=\sqrt{AO^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴ CM=4.
解析
【分析】
（1）要证明AM平分∠CAB，即证∠CAM=∠OAM。遇到圆的切线时，通常连接切点和圆心得到半径，利用切线性质可得OM⊥PD；结合AC⊥PD可推出OM//AC，得到内错角∠CAM=∠OMA；再结合OA=OM的等腰三角形性质，∠OAM=∠OMA，等量代换即可得证。
（2）要求CM的长，可通过构造辅助线转化线段：过O作OE⊥AN，由垂径定理可求出AE的长，再结合已知的∠OMC、∠ACM、∠OEC都是直角，可证四边形OMCE是矩形，得到CM=OE；最后在Rt△AOE中用勾股定理算出OE的长，即为CM的长。
【解析】
（1）证明：连结OM，
∵ OA、OM都是$\odot O$的半径，
∴ $AO=MO$，
∴ $∠OAM=∠OMA$，
∵ PD是$\odot O$的切线，切点为M，
∴ $OM⊥PD$，
又
∵ $AC⊥PD$，
∴ $OM// AC$，
∴ $∠CAM=∠OMA$，
∴ $∠CAM=∠OAM$，即AM平分$∠CAB$。
（2）解：过点O作$OE⊥AN$于点E，连结ON，
∵ $OA=ON$，$OE⊥AN$，
∴ 由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}×6=3$，
∵ PD是$\odot O$的切线，切点为M，
∴ $OM⊥PD$，即$∠OMC=90°$，
∵ $AC⊥PD$，
∴ $∠ACM=90°$，
又
∵ $OE⊥AN$，
∴ $∠OEC=90°$，
∴ 四边形OMCE是矩形，
∴ $CM=EO$，
∵ $\odot O$直径为10，
∴ 半径$OA=5$，
在$Rt△AOE$中，由勾股定理得：$OE=\sqrt{AO^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$，
∴ $CM=4$。
【答案】
（1）AM平分$∠CAB$，证明成立；
（2）CM的长为4。
【知识点】
切线的性质；垂径定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是掌握圆中常见辅助线的作法：遇切线连切点与圆心，遇弦作垂线用垂径定理，再结合平行线、等腰三角形、矩形的性质进行角和线段的转化即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AM平分∠CAB，即证∠CAM=∠OAM。遇到圆的切线时，通常连接切点和圆心得到半径，利用切线性质可得OM⊥PD；结合AC⊥PD可推出OM//AC，得到内错角∠CAM=∠OMA；再结合OA=OM的等腰三角形性质，∠OAM=∠OMA，等量代换即可得证。
（2）要求CM的长，可通过构造辅助线转化线段：过O作OE⊥AN，由垂径定理可求出AE的长，再结合已知的∠OMC、∠ACM、∠OEC都是直角，可证四边形OMCE是矩形，得到CM=OE；最后在Rt△AOE中用勾股定理算出OE的长，即为CM的长。
【解析】
（1）证明：连结OM，
∵ OA、OM都是$\odot O$的半径，
∴ $AO=MO$，
∴ $∠OAM=∠OMA$，
∵ PD是$\odot O$的切线，切点为M，
∴ $OM⊥PD$，
又
∵ $AC⊥PD$，
∴ $OM// AC$，
∴ $∠CAM=∠OMA$，
∴ $∠CAM=∠OAM$，即AM平分$∠CAB$。
（2）解：过点O作$OE⊥AN$于点E，连结ON，
∵ $OA=ON$，$OE⊥AN$，
∴ 由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}×6=3$，
∵ PD是$\odot O$的切线，切点为M，
∴ $OM⊥PD$，即$∠OMC=90°$，
∵ $AC⊥PD$，
∴ $∠ACM=90°$，
又
∵ $OE⊥AN$，
∴ $∠OEC=90°$，
∴ 四边形OMCE是矩形，
∴ $CM=EO$，
∵ $\odot O$直径为10，
∴ 半径$OA=5$，
在$Rt△AOE$中，由勾股定理得：$OE=\sqrt{AO^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$，
∴ $CM=4$。
【答案】
（1）AM平分$∠CAB$，证明成立；
（2）CM的长为4。
【知识点】
切线的性质；垂径定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是掌握圆中常见辅助线的作法：遇切线连切点与圆心，遇弦作垂线用垂径定理，再结合平行线、等腰三角形、矩形的性质进行角和线段的转化即可求解。
【难度系数】
0.7
