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1. （2025·安阳期末）在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字-1,0,$\frac{1}{3}$,这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球,记下数字m,放回后搅匀再摸出一个小球,记下数字n,则使得二次函数$y=x^2+mx+n$的图象不经过第四象限的概率为（
A.$\frac{5}{9}$
B.$\frac{3}{9}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{2}{9}$
A
）A.$\frac{5}{9}$
B.$\frac{3}{9}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{2}{9}$
答案
1. A
解析
【分析】
这是概率与二次函数性质结合的综合题，解题思路如下：第一步，明确两次摸球为放回试验，先列举出所有等可能的(m,n)组合，总共有3×3=9种结果；第二步，推导二次函数y=x²+mx+n图象不经过第四象限的条件：该函数开口向上（a=1＞0），要不过第四象限，需保证x＞0时y恒≥0，首先x=0时y=n≥0，若判别式Δ=m²-4n≤0则函数值恒≥0，若Δ＞0则函数的两个零点都需为非正数，避免x＞0时出现y＜0的情况；第三步，筛选出所有符合条件的(m,n)组合，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
【解析】
∵摸球为放回试验，
∴所有等可能的(m,n)组合共3×3=9种，分别为：
$(-1,-1),(-1,0),(-1,\frac{1}{3}),(0,-1),(0,0),(0,\frac{1}{3}),(\frac{1}{3},-1),(\frac{1}{3},0),(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$
二次函数$y=x^2+mx+n$开口向上，若图象不经过第四象限，需满足x＞0时y≥0恒成立：
①若$n＜0$，则x=0时$y=n＜0$，图象必过第四象限，排除$n=-1$的3种结果；
②对剩余6种结果逐一判断：
$(-1,0)$：$y=x^2-x$，$\Delta=1＞0$，零点为0和1，$0＜x＜1$时$y＜0$，不符合；
$(-1,\frac{1}{3})$：$\Delta=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}＜0$，函数值恒大于0，符合；
$(0,0)$：$y=x^2$，函数值恒≥0，符合；
$(0,\frac{1}{3})$：$\Delta=-\frac{4}{3}＜0$，函数值恒大于0，符合；
$(\frac{1}{3},0)$：$y=x^2+\frac{1}{3}x$，$\Delta=\frac{1}{9}＞0$，零点为0和$-\frac{1}{3}$，x＞0时y＞0，符合；
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$：$\Delta=\frac{1}{9}-\frac{4}{3}=-\frac{11}{9}＜0$，函数值恒大于0，符合。
符合条件的结果共5种，所求概率为$\frac{5}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 二次函数图象性质
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题融合了概率计算和二次函数的性质，既需要掌握等可能事件概率的求解方法，也要求熟练运用二次函数系数、判别式和图象位置的关系，解题时要注意分类验证，避免漏判或错判符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
这是概率与二次函数性质结合的综合题，解题思路如下：第一步，明确两次摸球为放回试验，先列举出所有等可能的(m,n)组合，总共有3×3=9种结果；第二步，推导二次函数y=x²+mx+n图象不经过第四象限的条件：该函数开口向上（a=1＞0），要不过第四象限，需保证x＞0时y恒≥0，首先x=0时y=n≥0，若判别式Δ=m²-4n≤0则函数值恒≥0，若Δ＞0则函数的两个零点都需为非正数，避免x＞0时出现y＜0的情况；第三步，筛选出所有符合条件的(m,n)组合，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
【解析】
∵摸球为放回试验，
∴所有等可能的(m,n)组合共3×3=9种，分别为：
$(-1,-1),(-1,0),(-1,\frac{1}{3}),(0,-1),(0,0),(0,\frac{1}{3}),(\frac{1}{3},-1),(\frac{1}{3},0),(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$
二次函数$y=x^2+mx+n$开口向上，若图象不经过第四象限，需满足x＞0时y≥0恒成立：
①若$n＜0$，则x=0时$y=n＜0$，图象必过第四象限，排除$n=-1$的3种结果；
②对剩余6种结果逐一判断：
$(-1,0)$：$y=x^2-x$，$\Delta=1＞0$，零点为0和1，$0＜x＜1$时$y＜0$，不符合；
$(-1,\frac{1}{3})$：$\Delta=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}＜0$，函数值恒大于0，符合；
$(0,0)$：$y=x^2$，函数值恒≥0，符合；
$(0,\frac{1}{3})$：$\Delta=-\frac{4}{3}＜0$，函数值恒大于0，符合；
$(\frac{1}{3},0)$：$y=x^2+\frac{1}{3}x$，$\Delta=\frac{1}{9}＞0$，零点为0和$-\frac{1}{3}$，x＞0时y＞0，符合；
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$：$\Delta=\frac{1}{9}-\frac{4}{3}=-\frac{11}{9}＜0$，函数值恒大于0，符合。
符合条件的结果共5种，所求概率为$\frac{5}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 二次函数图象性质
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题融合了概率计算和二次函数的性质，既需要掌握等可能事件概率的求解方法，也要求熟练运用二次函数系数、判别式和图象位置的关系，解题时要注意分类验证，避免漏判或错判符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
2. （2024·泰安中考）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动.小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是
$\frac{2}{9}$
.答案
2. $\frac{2}{9}$
解析
【分析】
要计算两人恰好选中相同书名的概率，核心思路是先求出所有等可能的总结果数，再求出符合“书名相同”要求的结果数，最后根据概率公式计算即可。首先小明和小颖各有3种选书的可能，我们可以通过列举法（列表或树状图）列出所有组合，避免遗漏或重复计数，再筛选出书名相同的组合数代入公式。
【解析】
我们对书名做简化标记：《西游记》记为A，《骆驼祥子》记为B，《水浒传》记为C，《朝花夕拾》记为D。
1. 确定总结果数：小明可选A、B、C共3种等可能结果，小颖可选A、B、D共3种等可能结果，所有组合为：(A,A)、(A,B)、(A,D)、(B,A)、(B,B)、(B,D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)，共9种等可能的总结果。
2. 确定符合条件的结果数：两人选中书名相同的组合为(A,A)、(B,B)，共2种结果。
3. 代入概率公式计算：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题结合读书日的生活化情境考查概率基础计算，解题关键是准确列举所有等可能的结果，再筛选符合要求的结果代入公式，是典型的概率基础应用题。
【难度系数】
0.7
要计算两人恰好选中相同书名的概率，核心思路是先求出所有等可能的总结果数，再求出符合“书名相同”要求的结果数，最后根据概率公式计算即可。首先小明和小颖各有3种选书的可能，我们可以通过列举法（列表或树状图）列出所有组合，避免遗漏或重复计数，再筛选出书名相同的组合数代入公式。
【解析】
我们对书名做简化标记：《西游记》记为A，《骆驼祥子》记为B，《水浒传》记为C，《朝花夕拾》记为D。
1. 确定总结果数：小明可选A、B、C共3种等可能结果，小颖可选A、B、D共3种等可能结果，所有组合为：(A,A)、(A,B)、(A,D)、(B,A)、(B,B)、(B,D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)，共9种等可能的总结果。
2. 确定符合条件的结果数：两人选中书名相同的组合为(A,A)、(B,B)，共2种结果。
3. 代入概率公式计算：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题结合读书日的生活化情境考查概率基础计算，解题关键是准确列举所有等可能的结果，再筛选符合要求的结果代入公式，是典型的概率基础应用题。
【难度系数】
0.7
3. 从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a,c,则二次函数$y=ax^2+4x+c$与x轴有两个不同交点的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
3. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是二次函数性质与概率计算的综合题，解题思路如下：1. 先确定所有等可能的选取结果：从4个数中选两个不同的数分别作为a和c，二者位置不同属于不同结果，先计算总共有多少种等可能情况；2. 再推导二次函数与x轴有两个不同交点的条件：根据二次函数和x轴交点的判断方法，判别式Δ=b²-4ac＞0，代入b=4化简得到a和c的数量关系；3. 找出所有满足该数量关系的(a,c)组合，最后用概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算得到结果。
【解析】
解：①计算总等可能结果数：
从1,2,3,4中随机选取两个不同的数分别记为a、c，a有4种选择，选完a后c有3种选择，总共有$4×3=12$种等可能的结果。
②推导满足交点条件的a、c关系：
二次函数$y=ax^2+4x+c$与x轴有两个不同交点，需满足判别式$\Delta＞0$，且$a≠0$（本题a均为1~4的正整数，自动满足$a≠0$）。
$\Delta=b^2-4ac=4^2-4ac=16-4ac＞0$，
化简得：$ac＜4$。
③列举满足$ac＜4$的$(a,c)$组合：
逐个验证：
当$a=1$时，c可取2、3（$1×2=2＜4$，$1×3=3＜4$，$1×4=4$不满足），共2种；
当$a=2$时，c可取1（$2×1=2＜4$，其余c=3、4时乘积均≥6＞4），共1种；
当$a=3$时，c可取1（$3×1=3＜4$，其余c=2、4时乘积均≥6＞4），共1种；
当$a=4$时，c取1、2、3时乘积均≥4，没有符合条件的c，共0种。
符合条件的结果总数为$2+1+1=4$种。
④计算概率：
$P(\mathrm{与x轴有两个不同交点})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式、二次函数与x轴交点判定、一元二次方程判别式
【点评】
本题属于代数综合基础题，将二次函数的图象性质和概率计算结合考查，解题的关键是正确掌握判别式判断交点的方法，同时列举情况时不要出现漏算或重复计算的问题。
【难度系数】
0.65
本题是二次函数性质与概率计算的综合题，解题思路如下：1. 先确定所有等可能的选取结果：从4个数中选两个不同的数分别作为a和c，二者位置不同属于不同结果，先计算总共有多少种等可能情况；2. 再推导二次函数与x轴有两个不同交点的条件：根据二次函数和x轴交点的判断方法，判别式Δ=b²-4ac＞0，代入b=4化简得到a和c的数量关系；3. 找出所有满足该数量关系的(a,c)组合，最后用概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算得到结果。
【解析】
解：①计算总等可能结果数：
从1,2,3,4中随机选取两个不同的数分别记为a、c，a有4种选择，选完a后c有3种选择，总共有$4×3=12$种等可能的结果。
②推导满足交点条件的a、c关系：
二次函数$y=ax^2+4x+c$与x轴有两个不同交点，需满足判别式$\Delta＞0$，且$a≠0$（本题a均为1~4的正整数，自动满足$a≠0$）。
$\Delta=b^2-4ac=4^2-4ac=16-4ac＞0$，
化简得：$ac＜4$。
③列举满足$ac＜4$的$(a,c)$组合：
逐个验证：
当$a=1$时，c可取2、3（$1×2=2＜4$，$1×3=3＜4$，$1×4=4$不满足），共2种；
当$a=2$时，c可取1（$2×1=2＜4$，其余c=3、4时乘积均≥6＞4），共1种；
当$a=3$时，c可取1（$3×1=3＜4$，其余c=2、4时乘积均≥6＞4），共1种；
当$a=4$时，c取1、2、3时乘积均≥4，没有符合条件的c，共0种。
符合条件的结果总数为$2+1+1=4$种。
④计算概率：
$P(\mathrm{与x轴有两个不同交点})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式、二次函数与x轴交点判定、一元二次方程判别式
【点评】
本题属于代数综合基础题，将二次函数的图象性质和概率计算结合考查，解题的关键是正确掌握判别式判断交点的方法，同时列举情况时不要出现漏算或重复计算的问题。
【难度系数】
0.65
4. |教材变式（2025·杭州期中）一个不透明的箱子里装有1个红球和2个黑球，这3个球除颜色外，其余均相同.从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.求下列事件发生的概率:(1)事件A:摸出1个红球，1个黑球.(2)事件B:摸出2个黑球.
答案
4. 列表如下：
| | 红 | 黑 | 黑 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黑) | (红,黑) |
| 黑 | (黑,红) | (黑,黑) | (黑,黑) |
| 黑 | (黑,红) | (黑,黑) | (黑,黑) |
(1)由表格可知,共有9种等可能的结果,其中摸出1个红球,1个黑球的结果有4种,
∴ 摸出1个红球,1个黑球的概率为$\frac{4}{9}$.
(2)由表格可知,共有9种等可能的结果,其中摸出2个黑球的结果有4种,
∴ 摸出2个黑球的概率为$\frac{4}{9}$.
| | 红 | 黑 | 黑 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黑) | (红,黑) |
| 黑 | (黑,红) | (黑,黑) | (黑,黑) |
| 黑 | (黑,红) | (黑,黑) | (黑,黑) |
(1)由表格可知,共有9种等可能的结果,其中摸出1个红球,1个黑球的结果有4种,
∴ 摸出1个红球,1个黑球的概率为$\frac{4}{9}$.
(2)由表格可知,共有9种等可能的结果,其中摸出2个黑球的结果有4种,
∴ 摸出2个黑球的概率为$\frac{4}{9}$.
解析
【分析】
这是放回型的摸球概率问题，两次摸球相互独立，所有出现的结果都是等可能的，适合用列表法枚举所有等可能的结果。解题思路为：①先列出第一次、第二次摸球的所有可能情况，得到总等可能结果数；②分别数出符合事件A、事件B的结果数；③根据概率公式“P(事件)=符合条件的结果数/总等可能结果数”计算对应概率。
【解析】
通过列表法列举两次摸球的所有等可能结果：
| | 红 | 黑 | 黑 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黑) | (红,黑) |
| 黑 | (黑,红) | (黑,黑) | (黑,黑) |
| 黑 | (黑,红) | (黑,黑) | (黑,黑) |
由表格可知，两次摸球共有9种等可能的结果。
(1) 事件A为摸出1个红球、1个黑球，符合的结果有4种，因此$P(A)=\frac{4}{9}$。
(2) 事件B为摸出2个黑球，符合的结果有4种，因此$P(B)=\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) $\frac{4}{9}$；(2) $\frac{4}{9}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式，等可能事件概率
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的关键是明确放回摸球的试验规则，准确枚举所有等可能的结果，计数时注意不要混淆相同颜色的球对应的不同结果，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
这是放回型的摸球概率问题，两次摸球相互独立，所有出现的结果都是等可能的，适合用列表法枚举所有等可能的结果。解题思路为：①先列出第一次、第二次摸球的所有可能情况，得到总等可能结果数；②分别数出符合事件A、事件B的结果数；③根据概率公式“P(事件)=符合条件的结果数/总等可能结果数”计算对应概率。
【解析】
通过列表法列举两次摸球的所有等可能结果：
| | 红 | 黑 | 黑 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黑) | (红,黑) |
| 黑 | (黑,红) | (黑,黑) | (黑,黑) |
| 黑 | (黑,红) | (黑,黑) | (黑,黑) |
由表格可知，两次摸球共有9种等可能的结果。
(1) 事件A为摸出1个红球、1个黑球，符合的结果有4种，因此$P(A)=\frac{4}{9}$。
(2) 事件B为摸出2个黑球，符合的结果有4种，因此$P(B)=\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) $\frac{4}{9}$；(2) $\frac{4}{9}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式，等可能事件概率
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的关键是明确放回摸球的试验规则，准确枚举所有等可能的结果，计数时注意不要混淆相同颜色的球对应的不同结果，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
5. ||开放性试题 小明和小东在玩转盘游戏,如图,把转盘A平均分成3份,分别标上数字1,2,3.把转盘B上$\frac{1}{2}$的区域标上数字4,两个$\frac{1}{4}$的区域分别标上5和-5.小明对小东说:“同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所在区域的数之积为奇数时,你获胜;当积为偶数时,我获胜;如果指针恰好在分割线上时,那么需重新转动转盘.
(1)请你利用列表的方法,求小东获胜的概率.
(2)这个游戏规则对小明和小东双方公平吗?若公平,请说明理由;若不公平,请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平.
(1)请你利用列表的方法,求小东获胜的概率.
(2)这个游戏规则对小明和小东双方公平吗?若公平,请说明理由;若不公平,请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平.
答案
5. (1)列表如下：
| 转盘A \ 转盘B | 5 | -5 | 4 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 5 | -5 | 4 | 4 |
| 2 | 10 | -10 | 8 | 8 |
| 3 | 15 | -15 | 12 | 12 |
从表格中可以看出,一共有12种等可能的结果,其中指针所在区域的数之积为奇数的共有4种结果,
∴ P(小东获胜)=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$.
(2)这个游戏规则对小明和小东双方不公平;理由如下：
由(1)可知,P(小东获胜)=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$,P(小明获胜)=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$,
∵ $\frac{1}{3}$≠$\frac{2}{3}$,
∴ 这个游戏规则对小明和小东双方不公平.把转盘A上的数字2改为数字3,游戏就公平了(答案不唯一,只要把数字2改为任意一个奇数即可).
| 转盘A \ 转盘B | 5 | -5 | 4 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 5 | -5 | 4 | 4 |
| 2 | 10 | -10 | 8 | 8 |
| 3 | 15 | -15 | 12 | 12 |
从表格中可以看出,一共有12种等可能的结果,其中指针所在区域的数之积为奇数的共有4种结果,
∴ P(小东获胜)=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$.
(2)这个游戏规则对小明和小东双方不公平;理由如下：
由(1)可知,P(小东获胜)=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$,P(小明获胜)=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$,
∵ $\frac{1}{3}$≠$\frac{2}{3}$,
∴ 这个游戏规则对小明和小东双方不公平.把转盘A上的数字2改为数字3,游戏就公平了(答案不唯一,只要把数字2改为任意一个奇数即可).
解析
【分析】
(1)要计算小东获胜的概率，首先需明确两个转盘转动后所有等可能的结果：转盘A有3个等可能的数字1、2、3，转盘B中数字4占$\frac{1}{2}$区域，5和-5各占$\frac{1}{4}$区域，可将转盘B等价为4个等可能结果：5、-5、4、4，总共有$3×4=12$种等可能的组合。我们通过列表法列出所有组合的乘积，从中找出乘积为奇数的结果数，再根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可求出小东获胜的概率。
(2)判断游戏是否公平，只需比较小东和小明获胜的概率是否相等：若相等则公平，否则不公平。要修改规则使游戏公平，只需调整后两人获胜的概率相等即可，本题可通过修改转盘A的数字，改变乘积为奇数、偶数的结果占比来实现。
【解析】
(1)根据题意列表如下：
| 转盘A \ 转盘B | 5 | -5 | 4 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 5 | -5 | 4 | 4 |
| 2 | 10 | -10 | 8 | 8 |
| 3 | 15 | -15 | 12 | 12 |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中指针所在区域的数之积为奇数的结果有4种，
所以$P(\mathrm{小东获胜})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
(2)这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
由(1)可得，$P(\mathrm{小明获胜})=\frac{12-4}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，
因为$\frac{1}{3}≠\frac{2}{3}$，所以双方获胜概率不相等，游戏规则不公平。
修改方法：将转盘A上的数字2改为任意一个奇数（如改为3），此时转盘A的数字均为奇数，乘积为奇数的情况有$3×2=6$种，总情况12种，两人获胜概率均为$\frac{1}{2}$，游戏公平（答案不唯一）。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 不公平，将转盘A上的数字2改为奇数即可（答案不唯一）
【知识点】
列表法求概率，游戏公平性判断，有理数乘法性质
【点评】
本题以转盘游戏为背景，考查概率的计算与游戏公平性的判断，解题的关键是准确列举所有等可能的结果，理解游戏公平的本质是双方获胜的概率相等，开放性的修改设问能较好地考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要计算小东获胜的概率，首先需明确两个转盘转动后所有等可能的结果：转盘A有3个等可能的数字1、2、3，转盘B中数字4占$\frac{1}{2}$区域，5和-5各占$\frac{1}{4}$区域，可将转盘B等价为4个等可能结果：5、-5、4、4，总共有$3×4=12$种等可能的组合。我们通过列表法列出所有组合的乘积，从中找出乘积为奇数的结果数，再根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可求出小东获胜的概率。
(2)判断游戏是否公平，只需比较小东和小明获胜的概率是否相等：若相等则公平，否则不公平。要修改规则使游戏公平，只需调整后两人获胜的概率相等即可，本题可通过修改转盘A的数字，改变乘积为奇数、偶数的结果占比来实现。
【解析】
(1)根据题意列表如下：
| 转盘A \ 转盘B | 5 | -5 | 4 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 5 | -5 | 4 | 4 |
| 2 | 10 | -10 | 8 | 8 |
| 3 | 15 | -15 | 12 | 12 |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中指针所在区域的数之积为奇数的结果有4种，
所以$P(\mathrm{小东获胜})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
(2)这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
由(1)可得，$P(\mathrm{小明获胜})=\frac{12-4}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，
因为$\frac{1}{3}≠\frac{2}{3}$，所以双方获胜概率不相等，游戏规则不公平。
修改方法：将转盘A上的数字2改为任意一个奇数（如改为3），此时转盘A的数字均为奇数，乘积为奇数的情况有$3×2=6$种，总情况12种，两人获胜概率均为$\frac{1}{2}$，游戏公平（答案不唯一）。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 不公平，将转盘A上的数字2改为奇数即可（答案不唯一）
【知识点】
列表法求概率，游戏公平性判断，有理数乘法性质
【点评】
本题以转盘游戏为背景，考查概率的计算与游戏公平性的判断，解题的关键是准确列举所有等可能的结果，理解游戏公平的本质是双方获胜的概率相等，开放性的修改设问能较好地考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
