登录
6. (多选题)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,半径为6的$\odot O$与$BC$交于点$D$,$OA⊥ AB$,连结$OC$,$OD$,$AD$。下列结论正确的是(
A.$CA$平分$∠ OCD$
B.$∠ ADB=∠ ADO$
C.若$∠ ACB=20°$,扇形$OAD$的面积为$\frac{2}{3}π$
D.若$∠ ACB=30°$,则$AC⊥ OD$
ABD
)。A.$CA$平分$∠ OCD$
B.$∠ ADB=∠ ADO$
C.若$∠ ACB=20°$,扇形$OAD$的面积为$\frac{2}{3}π$
D.若$∠ ACB=30°$,则$AC⊥ OD$
答案
6. ABD
解析
【分析】
首先从已知条件入手：①∠B=90°，OA⊥AB，可得OA//BC，能推出内错角相等；②⊙O半径均相等，即OA=OC=OD=6，可得多个等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质分析角的关系；再逐个验证选项：
1. 验证A选项：由OA//BC得∠OAC=∠ACB，结合OA=OC得∠OAC=∠OCA，即可推出角相等，判断CA是否为角平分线；
2. 验证B选项：由OA//BC得∠ADB=∠OAD，结合OA=OD得∠OAD=∠ADO，即可判断两角相等；
3. 验证C选项：先求出圆心角∠AOD的度数，再用扇形面积公式计算，和选项给出的面积对比即可判断；
4. 验证D选项：先推导△OCD的形状，再计算AC与OD的夹角是否为90°，即可判断是否垂直。
【解析】
已知∠B=90°，OA⊥AB，
∴∠OAB=∠B=90°，
∴OA//BC，且OA=OC=OD=6。
对选项A：
∵OA//BC，
∴∠OAC=∠ACB（内错角相等），
又
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠ACB，即CA平分∠OCD，A正确。
对选项B：
∵OA//BC，
∴∠ADB=∠OAD（内错角相等），
又
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠ADB=∠ADO，B正确。
对选项C：
若∠ACB=20°，则由A得∠OCA=∠ACB=20°，
∴∠OCD=40°，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=40°，
∴∠COD=180°-40°×2=100°，
∵OA//BC，
∴∠AOC+∠OCD=180°，
∴∠AOC=180°-40°=140°，
∴∠AOD=∠AOC - ∠COD=140°-100°=40°，
扇形OAD面积$S=\frac{nπr²}{360}=\frac{40π×6²}{360}=4π≠\frac{2}{3}π$，C错误。
对选项D：
若∠ACB=30°，则∠OCD=2×30°=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，∠COD=60°，
∵OA//BC，
∴∠AOC=180°-∠OCD=120°，
设AC与OD交于点E，在△OCE中，∠OCE=30°，∠COE=60°，
∴∠OEC=180°-30°-60°=90°，即AC⊥OD，D正确。
【答案】
ABD
【知识点】
圆的基本性质，扇形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查了圆的性质、平行线的性质、等腰及等边三角形的判定和性质、扇形面积公式，需要结合多个知识点逐个分析选项，几何推导中角的等量转换是解题的关键。
【难度系数】
0.65
首先从已知条件入手：①∠B=90°，OA⊥AB，可得OA//BC，能推出内错角相等；②⊙O半径均相等，即OA=OC=OD=6，可得多个等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质分析角的关系；再逐个验证选项：
1. 验证A选项：由OA//BC得∠OAC=∠ACB，结合OA=OC得∠OAC=∠OCA，即可推出角相等，判断CA是否为角平分线；
2. 验证B选项：由OA//BC得∠ADB=∠OAD，结合OA=OD得∠OAD=∠ADO，即可判断两角相等；
3. 验证C选项：先求出圆心角∠AOD的度数，再用扇形面积公式计算，和选项给出的面积对比即可判断；
4. 验证D选项：先推导△OCD的形状，再计算AC与OD的夹角是否为90°，即可判断是否垂直。
【解析】
已知∠B=90°，OA⊥AB，
∴∠OAB=∠B=90°，
∴OA//BC，且OA=OC=OD=6。
对选项A：
∵OA//BC，
∴∠OAC=∠ACB（内错角相等），
又
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠ACB，即CA平分∠OCD，A正确。
对选项B：
∵OA//BC，
∴∠ADB=∠OAD（内错角相等），
又
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠ADB=∠ADO，B正确。
对选项C：
若∠ACB=20°，则由A得∠OCA=∠ACB=20°，
∴∠OCD=40°，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=40°，
∴∠COD=180°-40°×2=100°，
∵OA//BC，
∴∠AOC+∠OCD=180°，
∴∠AOC=180°-40°=140°，
∴∠AOD=∠AOC - ∠COD=140°-100°=40°，
扇形OAD面积$S=\frac{nπr²}{360}=\frac{40π×6²}{360}=4π≠\frac{2}{3}π$，C错误。
对选项D：
若∠ACB=30°，则∠OCD=2×30°=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，∠COD=60°，
∵OA//BC，
∴∠AOC=180°-∠OCD=120°，
设AC与OD交于点E，在△OCE中，∠OCE=30°，∠COE=60°，
∴∠OEC=180°-30°-60°=90°，即AC⊥OD，D正确。
【答案】
ABD
【知识点】
圆的基本性质，扇形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查了圆的性质、平行线的性质、等腰及等边三角形的判定和性质、扇形面积公式，需要结合多个知识点逐个分析选项，几何推导中角的等量转换是解题的关键。
【难度系数】
0.65
7. 如图，分别以边长为4的正三角形ABC的三个顶点为圆心，2为半径画弧，形成一个曲边三角形(阴影部分)。求阴影部分的周长和面积。
答案
7. 周长为$2π$,面积为$4\sqrt{3}-2π$。
解析
【分析】
求解本题需先观察图形特征：正三角形ABC边长为4，以三个顶点为圆心的扇形半径均为2，每个扇形的圆心角等于正三角形的内角60°。计算阴影周长时，阴影的边是三条扇形弧，三个扇形圆心角总和为正三角形内角和180°，可将三条弧拼接为半径为2的半圆弧，直接用半圆弧长公式计算即可。计算阴影面积时，阴影面积等于正三角形面积减去三个扇形的面积之和，三个扇形拼接后为半径为2的半圆，因此只需用正三角形面积减去半圆面积就能得到结果，无需分别计算每个扇形的面积。
【解析】
阴影部分周长计算：
正三角形每个内角为$60°$，三个扇形的圆心角总和为$60° × 3 = 180°$，扇形半径$r=2$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，三条弧的总长度（即阴影周长）为：
$C=\frac{180π × 2}{180}=2π$
阴影部分面积计算：
1. 正三角形ABC的面积：
正三角形面积公式为$S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，代入边长$a=4$得：
$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 4^2=4\sqrt{3}$
2. 三个扇形的总面积：
三个扇形圆心角总和为$180°$，对应的是半径为2的半圆，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$得：
$S_{总扇形}=\frac{180π × 2^2}{360}=2π$
3. 阴影面积为正三角形面积减去三个扇形总面积：
$S_{阴影}=4\sqrt{3}-2π$
【答案】
阴影部分的周长为$2π$，面积为$4\sqrt{3}-2π$。
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，正三角形性质
【点评】
本题考查不规则图形的周长与面积求解，核心是运用转化思想，将分散的多个扇形拼接为规则的半圆简化计算，解题时要熟练掌握相关几何公式，避免因公式混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.7
求解本题需先观察图形特征：正三角形ABC边长为4，以三个顶点为圆心的扇形半径均为2，每个扇形的圆心角等于正三角形的内角60°。计算阴影周长时，阴影的边是三条扇形弧，三个扇形圆心角总和为正三角形内角和180°，可将三条弧拼接为半径为2的半圆弧，直接用半圆弧长公式计算即可。计算阴影面积时，阴影面积等于正三角形面积减去三个扇形的面积之和，三个扇形拼接后为半径为2的半圆，因此只需用正三角形面积减去半圆面积就能得到结果，无需分别计算每个扇形的面积。
【解析】
阴影部分周长计算：
正三角形每个内角为$60°$，三个扇形的圆心角总和为$60° × 3 = 180°$，扇形半径$r=2$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，三条弧的总长度（即阴影周长）为：
$C=\frac{180π × 2}{180}=2π$
阴影部分面积计算：
1. 正三角形ABC的面积：
正三角形面积公式为$S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，代入边长$a=4$得：
$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 4^2=4\sqrt{3}$
2. 三个扇形的总面积：
三个扇形圆心角总和为$180°$，对应的是半径为2的半圆，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$得：
$S_{总扇形}=\frac{180π × 2^2}{360}=2π$
3. 阴影面积为正三角形面积减去三个扇形总面积：
$S_{阴影}=4\sqrt{3}-2π$
【答案】
阴影部分的周长为$2π$，面积为$4\sqrt{3}-2π$。
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，正三角形性质
【点评】
本题考查不规则图形的周长与面积求解，核心是运用转化思想，将分散的多个扇形拼接为规则的半圆简化计算，解题时要熟练掌握相关几何公式，避免因公式混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.7
8. 如图，半圆O的直径AB＝10。将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P。
（1）求AP的长。
（2）求图中阴影部分的面积。（结果保留π）
（1）求AP的长。
（2）求图中阴影部分的面积。（结果保留π）
答案
8. (1) 连结$O'P$。由旋转$45°$,得$O'P=O'B=5$,则$BP=5\sqrt{2}$,所以$AP=10-5\sqrt{2}$。
(2) $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{半圆}}-S_{\mathrm{弓形}}$,阴影部分的面积为$\frac{25}{4}π+\frac{25}{2}$。
(2) $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{半圆}}-S_{\mathrm{弓形}}$,阴影部分的面积为$\frac{25}{4}π+\frac{25}{2}$。
解析
【分析】
（1）要求AP的长度，已知AB总长为10，只需要先求出BP的长度即可。根据旋转的性质，旋转后半圆的半径不变，连接O'P可得O'P、O'B均等于半圆半径，且旋转角∠PBO'=45°，可判定△O'PB为等腰直角三角形，用勾股定理求出BP后，用AB减去BP就能得到AP。
（2）阴影部分是不规则图形，可通过割补法转化为规则图形面积的差计算：阴影面积等于原半圆O的面积减去两段弧PB之间的空白弓形面积；空白弓形面积可通过圆心角为90°的扇形O'PB的面积减去△O'PB的面积求得，代入对应数值计算即可。
【解析】
解：（1）
∵半圆O的直径AB=10，
∴半圆的半径为$10÷2=5$。
连接$O'P$，由旋转的性质可知：$O'P=O'B=5$，$∠ O'BP=45°$。
∴$∠ O'PB=∠ O'BP=45°$，则$∠ BO'P=180°-45°-45°=90°$，即$△ BO'P$是等腰直角三角形。
在$Rt△ BO'P$中，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{O'B^2+O'P^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$
∴$AP=AB-BP=10-5\sqrt{2}$。
（2）设两段弧PB之间的空白弓形面积为$S_{\mathrm{弓形}}$：
$S_{\mathrm{弓形}}=S_{\mathrm{扇形}O'PB}-S_{△ O'PB}$
其中$S_{\mathrm{扇形}O'PB}=\frac{90°}{360°}×π×5^2=\frac{25π}{4}$，
$S_{△ O'PB}=\frac{1}{2}× O'B× O'P=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$，
原半圆O的面积$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}×π×5^2=\frac{25π}{2}$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{半圆}}-S_{\mathrm{弓形}}=\frac{25π}{2}-(\frac{25π}{4}-\frac{25}{2})=\frac{25π}{4}+\frac{25}{2}$。
【答案】
（1）$AP=10-5\sqrt{2}$；
（2）阴影部分面积为$\frac{25}{4}π+\frac{25}{2}$。
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题重点考查旋转性质的应用和不规则图形面积的求解，解题的核心是通过作辅助线将不规则面积转化为扇形、三角形、半圆等规则图形面积的和差，计算时注意旋转前后对应线段、对应角相等的性质的应用。
【难度系数】
0.7
（1）要求AP的长度，已知AB总长为10，只需要先求出BP的长度即可。根据旋转的性质，旋转后半圆的半径不变，连接O'P可得O'P、O'B均等于半圆半径，且旋转角∠PBO'=45°，可判定△O'PB为等腰直角三角形，用勾股定理求出BP后，用AB减去BP就能得到AP。
（2）阴影部分是不规则图形，可通过割补法转化为规则图形面积的差计算：阴影面积等于原半圆O的面积减去两段弧PB之间的空白弓形面积；空白弓形面积可通过圆心角为90°的扇形O'PB的面积减去△O'PB的面积求得，代入对应数值计算即可。
【解析】
解：（1）
∵半圆O的直径AB=10，
∴半圆的半径为$10÷2=5$。
连接$O'P$，由旋转的性质可知：$O'P=O'B=5$，$∠ O'BP=45°$。
∴$∠ O'PB=∠ O'BP=45°$，则$∠ BO'P=180°-45°-45°=90°$，即$△ BO'P$是等腰直角三角形。
在$Rt△ BO'P$中，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{O'B^2+O'P^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$
∴$AP=AB-BP=10-5\sqrt{2}$。
（2）设两段弧PB之间的空白弓形面积为$S_{\mathrm{弓形}}$：
$S_{\mathrm{弓形}}=S_{\mathrm{扇形}O'PB}-S_{△ O'PB}$
其中$S_{\mathrm{扇形}O'PB}=\frac{90°}{360°}×π×5^2=\frac{25π}{4}$，
$S_{△ O'PB}=\frac{1}{2}× O'B× O'P=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$，
原半圆O的面积$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}×π×5^2=\frac{25π}{2}$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{半圆}}-S_{\mathrm{弓形}}=\frac{25π}{2}-(\frac{25π}{4}-\frac{25}{2})=\frac{25π}{4}+\frac{25}{2}$。
【答案】
（1）$AP=10-5\sqrt{2}$；
（2）阴影部分面积为$\frac{25}{4}π+\frac{25}{2}$。
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题重点考查旋转性质的应用和不规则图形面积的求解，解题的核心是通过作辅助线将不规则面积转化为扇形、三角形、半圆等规则图形面积的和差，计算时注意旋转前后对应线段、对应角相等的性质的应用。
【难度系数】
0.7
