2.【教材 P162 例题变式】如图 30－3－6，有一圆内接正八边形 ABCDEFGH，若△ADE 的面积为 10，则正八边形 ABCDEFGH 的面积为()


A.40
B.50
C.60
D.80

2.A 点拨:设圆心为$O$,分别连接$O$与正八边形的顶点,则可得八个全等的三角形,即$S_{\mathrm{正八边形}ABCDEFGH}=8S_{△ ODE}=4S_{△ ADE}=40$.

【分析】
遇到圆内接正多边形的面积计算问题，首先考虑连接正多边形的中心与各个顶点，将正多边形分割为若干个全等的等腰三角形，把正多边形面积转化为这些等腰三角形的面积和求解。本题先结合正八边形的性质判断AE为圆的直径，得出圆心O是AE的中点，再推导△ADE与分割得到的中心三角形△ODE的面积关系，最终求出正八边形的总面积。
【解析】
设正八边形外接圆的圆心为O，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG、OH。
∵正八边形ABCDEFGH内接于圆O，
∴每个中心角的度数为$\frac{360°}{8}=45°$，
∴∠AOE=4×45°=180°，即A、O、E三点共线，AE为圆O的直径，O是AE的中点。
设点D到AE的距离为h，
则$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} · AE · h = 10$，
$S_{△ ODE}=\frac{1}{2} · OE · h$，
又
∵AE=2OE，
∴$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × 10 = 5$。
∵正八边形可分割为8个全等的等腰三角形（即△OAB、△OBC、…、△OHA），
∴$S_{\mathrm{正八边形}ABCDEFGH}=8S_{△ ODE}=8 × 5 = 40$。
【答案】
A
【知识点】
1.正多边形与圆的性质
2.三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用正多边形和圆的关系，将正八边形分割为全等的中心三角形，通过建立已知三角形与中心三角形的面积关联求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6

3.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O,图30－3－7中阴影部分的面积为$12\sqrt{3}$,则⊙O的半径为.

3.4

【分析】
解题时首先回忆正六边形内接于圆的性质：正六边形的边长等于外接圆半径，相邻两个顶点与圆心连接后形成的三角形是等边三角形。接下来可以将阴影部分的面积转化为若干个边长等于半径的等边三角形的面积和，再结合已知的阴影面积列方程求解半径即可。
【解析】
设$ \odot O $的半径为$ R $。
∵正六边形ABCDEF内接于$ \odot O $，
∴正六边形的中心角为$ \frac{360°}{6}=60° $，圆心与相邻两个顶点构成的三角形是边长为$ R $的等边三角形，单个等边三角形的面积为$ \frac{\sqrt{3}}{4}R^2 $。
观察图形可知阴影部分由3个这样的等边三角形组成，因此阴影面积为：
$ 3×\frac{\sqrt{3}}{4}R^2=12\sqrt{3} $
化简方程：
两边同时除以$ \sqrt{3} $得：$ \frac{3}{4}R^2=12 $
解得$ R^2=16 $，
∵半径为正数，
∴$ R=4 $。
【答案】
4
【知识点】
正多边形与圆的性质，等边三角形面积计算
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关计算，解题的关键是掌握正六边形的边长等于其外接圆半径，能将不规则阴影的面积转化为规则图形的面积和求解，是正多边形相关计算中的典型题型。
【难度系数】
0.7

4. 如图30－3－8，正三角形的边长为2a.
(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？
(3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能分别得出怎样的结论？
(4)已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.

图30－3－8

4.解:(1)正三角形的内切圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$,外接圆半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$,则圆环的面积为$π a^2$.
(2)由(1)可知,圆环面积只与$a$有关,因此只需测量正三角形的边长即可.
(3)若改为正方形,则正方形的内切圆半径为$a$,外接圆半径为$\sqrt{2}a$,圆环面积为$π a^2$;若改为正六边形,则正六边形的内切圆半径为$\sqrt{3}a$,外接圆半径为$2a$,圆环面积为$π a^2$.由此得出结论:边长为$2a$的正三角形、正方形、正六边形的内切圆与外接圆组成的圆环面积为$π a^2$.
(4)正$n$边形的边长为$2a$时,它的内切圆与外接圆组成的圆环面积均为$π a^2$.

【分析】
要解决这道题，首先明确圆环面积公式为$S=π R^2-π r^2$（$R$为外接圆半径，$r$为内切圆半径），核心是求$R^2-r^2$的值。对于正多边形，外接圆半径、内切圆半径（边心距）、边长的一半构成直角三角形，符合勾股定理，因此可借助勾股定理简化计算，再从正三角形、正方形、正六边形这些特殊情况推广到任意正$n$边形的一般规律。
(1) 计算正三角形的圆环面积：可先求出正三角形的外接圆、内切圆半径，代入圆环公式计算，也可直接用勾股定理得到$R^2-r^2$的值。
(2) 根据第一问的计算结果，找到决定圆环面积的量，对应需要测量的弦即可。
(3) 沿用第一问的方法，分别计算正方形、正六边形的圆环面积，总结共同规律。
(4) 利用正$n$边形的通用性质，结合勾股定理推导一般结论。
【解析】
(1) 已知正三角形边长为$2a$，其高为$\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
正三角形外接圆半径$R$为高的$\frac{2}{3}$，即$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$；内切圆半径$r$为高的$\frac{1}{3}$，即$r=\frac{\sqrt{3}}{3}a$。
圆环面积$S=π R^2-π r^2=π((\frac{2\sqrt{3}}{3}a)^2-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2)=π(\frac{4}{3}a^2-\frac{1}{3}a^2)=π a^2$。
(2) 由(1)可知圆环面积仅和边长的一半$a$有关，因此只需测量正三角形的边长（外接圆的弦）即可计算圆环面积。
(3) ① 若为边长$2a$的正方形：内切圆半径$r=a$，外接圆半径$R=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，圆环面积$S=π(\sqrt{2}a)^2-π a^2=2π a^2-π a^2=π a^2$。
② 若为边长$2a$的正六边形：外接圆半径$R=2a$，内切圆半径$r=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$，圆环面积$S=π(2a)^2-π(\sqrt{3}a)^2=4π a^2-3π a^2=π a^2$。
结论：边长为$2a$的正三角形、正方形、正六边形的内切圆与外接圆组成的圆环面积均为$π a^2$。
(4) 对于边长为$2a$的任意正$n$边形，外接圆半径$R$、内切圆半径$r$、边长的一半$a$构成直角三角形，由勾股定理得$R^2-r^2=a^2$，因此圆环面积$S=π R^2-π r^2=π(R^2-r^2)=π a^2$。
【答案】
(1) $\boxed{π a^2}$
(2) 只需测量正三角形的边长即可算出圆环的面积。
(3) 边长为$2a$的正方形、正六边形的内切圆与外接圆组成的圆环面积均为$π a^2$。
(4) $\boxed{π a^2}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆环面积计算，勾股定理
【点评】
本题通过特殊正多边形的圆环面积计算，推导得到任意正$n$边形的圆环面积通用规律，体现了从特殊到一般的数学思想，解题的关键是利用正多边形中外接圆半径、边心距、边长一半的直角三角形关系简化计算，降低了运算难度。
【难度系数】
0.7