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5.（汕头期中）如图，在$△ ABC$中，角平分线AD与中线BE相交于点O，则下列结论错误的是（
A.$AE=CE$
B.$S_{△ ABE}=S_{△ BCE}$
C.$BO$是$△ ABD$的中线
D.$AO$是$△ ABE$的角平分线
C
）。A.$AE=CE$
B.$S_{△ ABE}=S_{△ BCE}$
C.$BO$是$△ ABD$的中线
D.$AO$是$△ ABE$的角平分线
答案
5. C
解析
【分析】
解题需结合三角形中线、角平分线的定义和性质，先提取题干已知条件：AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的中线，再逐个分析选项：①中线的性质：平分对边，且将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）；②角平分线的性质：平分对应内角，据此逐一判断选项正误即可。
【解析】
解：逐一分析各选项：
1. 因为BE是△ABC的中线，所以E为AC的中点，可得$AE=CE$，故A选项结论正确，不符合题意；
2. $△ ABE$和$△ BCE$的底$AE=CE$，且两个三角形以B为顶点、AC为底的高是同一条线段，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABE}=S_{△ BCE}$，故B选项结论正确，不符合题意；
3. 要使$BO$是$△ ABD$的中线，需要O为AD的中点，但题干仅说明BE是△ABC的中线，仅能得到E是AC中点，无法推出O是AD中点，因此BO不是$△ ABD$的中线，故C选项结论错误，符合题意；
4. 因为AD是△ABC的角平分线，所以AD平分$∠ BAC$，即$∠ BAD=∠ CAD$，线段AO在AD上，因此AO平分$∠ BAE$，即AO是$△ ABE$的角平分线，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形的中线，三角形的角平分线，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对三角形中线、角平分线定义的理解和应用，解题时要注意线段所属的三角形，避免混淆不同三角形的中线、角平分线的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题需结合三角形中线、角平分线的定义和性质，先提取题干已知条件：AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的中线，再逐个分析选项：①中线的性质：平分对边，且将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）；②角平分线的性质：平分对应内角，据此逐一判断选项正误即可。
【解析】
解：逐一分析各选项：
1. 因为BE是△ABC的中线，所以E为AC的中点，可得$AE=CE$，故A选项结论正确，不符合题意；
2. $△ ABE$和$△ BCE$的底$AE=CE$，且两个三角形以B为顶点、AC为底的高是同一条线段，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABE}=S_{△ BCE}$，故B选项结论正确，不符合题意；
3. 要使$BO$是$△ ABD$的中线，需要O为AD的中点，但题干仅说明BE是△ABC的中线，仅能得到E是AC中点，无法推出O是AD中点，因此BO不是$△ ABD$的中线，故C选项结论错误，符合题意；
4. 因为AD是△ABC的角平分线，所以AD平分$∠ BAC$，即$∠ BAD=∠ CAD$，线段AO在AD上，因此AO平分$∠ BAE$，即AO是$△ ABE$的角平分线，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形的中线，三角形的角平分线，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对三角形中线、角平分线定义的理解和应用，解题时要注意线段所属的三角形，避免混淆不同三角形的中线、角平分线的对应关系。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$是边$BC$上的三点.
(1)若$∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$，则以$AE$为角平分线的三角形有哪几个？
(2)若$AE$平分$∠ BAC$，且$∠ 1=∠ 2=∠ 4=15°$，求$∠ 3$的度数，并说明$AE$是$△ DAF$的角平分线.
(1)若$∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$，则以$AE$为角平分线的三角形有哪几个？
(2)若$AE$平分$∠ BAC$，且$∠ 1=∠ 2=∠ 4=15°$，求$∠ 3$的度数，并说明$AE$是$△ DAF$的角平分线.
答案
6. 解:(1)由题意可知，以 $AE$ 为角平分线的三角形有 $△ ABC$，$△ ADF$.
(2) $\because AE$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$. $\because ∠ 1=∠ 2=15°$，$\therefore ∠ BAE=∠ 1+∠ 2=30°$. $\therefore ∠ CAE=∠ BAE=30°$. $\therefore ∠ 3+∠ 4=30°$. $\because ∠ 4=15°$，$\therefore ∠ 3=15°$. $\therefore ∠ 2=∠ 3=15°$. $\therefore AE$ 是 $△ DAF$ 的角平分线.
(2) $\because AE$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$. $\because ∠ 1=∠ 2=15°$，$\therefore ∠ BAE=∠ 1+∠ 2=30°$. $\therefore ∠ CAE=∠ BAE=30°$. $\therefore ∠ 3+∠ 4=30°$. $\because ∠ 4=15°$，$\therefore ∠ 3=15°$. $\therefore ∠ 2=∠ 3=15°$. $\therefore AE$ 是 $△ DAF$ 的角平分线.
解析
【分析】
(1) 解决第一问需紧扣三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段就是三角形的角平分线，核心是该线段要把三角形的一个内角分成两个相等的角。已知∠1=∠2=∠3=∠4，先观察AE分割的角：对于△ABC，∠BAE=∠1+∠2，∠CAE=∠3+∠4，二者相等，符合角平分线要求；对于△ADF，∠DAE=∠2，∠FAE=∠3，二者也相等，同样符合要求。
(2) 解决第二问先利用AE平分∠BAC得到∠BAE=∠CAE，通过已知的∠1、∠2的度数求出∠BAE的大小，即可得到∠CAE的大小，再结合∠4的度数，用∠CAE减去∠4就能求出∠3的度数，最后验证∠2和∠3相等，即可证明AE是△DAF的角平分线。
【解析】
(1) 已知$∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$，
则$∠ BAE=∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠ 4=∠ CAE$，因此AE平分$△ ABC$的内角$∠ BAC$，是$△ ABC$的角平分线；
同时$∠ DAE=∠ 2=∠ 3=∠ FAE$，因此AE平分$△ ADF$的内角$∠ DAF$，是$△ ADF$的角平分线。
(2) $\because AE$平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义可得$∠ BAE=∠ CAE$。
$\because ∠ 1=∠ 2=15°$，$\therefore ∠ BAE=∠ 1+∠ 2=15°+15°=30°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ BAE=30°$，即$∠ 3+∠ 4=30°$。
又$\because ∠ 4=15°$，$\therefore ∠ 3=30°-∠ 4=30°-15°=15°$。
由此可得$∠ 2=∠ 3=15°$，即AE平分$∠ DAF$，因此AE是$△ DAF$的角平分线。
【答案】
(1) $△ ABC$，$△ ADF$
(2) $∠ 3$的度数为$15°$，$AE$是$△ DAF$的角平分线
【知识点】
1. 三角形角平分线定义
2. 角的和差计算
【点评】
本题属于角平分线定义的基础应用题，解题核心是准确理解三角形角平分线的概念，结合已知角的等量关系推导或计算即可，解题时注意不要遗漏符合条件的三角形。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问需紧扣三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段就是三角形的角平分线，核心是该线段要把三角形的一个内角分成两个相等的角。已知∠1=∠2=∠3=∠4，先观察AE分割的角：对于△ABC，∠BAE=∠1+∠2，∠CAE=∠3+∠4，二者相等，符合角平分线要求；对于△ADF，∠DAE=∠2，∠FAE=∠3，二者也相等，同样符合要求。
(2) 解决第二问先利用AE平分∠BAC得到∠BAE=∠CAE，通过已知的∠1、∠2的度数求出∠BAE的大小，即可得到∠CAE的大小，再结合∠4的度数，用∠CAE减去∠4就能求出∠3的度数，最后验证∠2和∠3相等，即可证明AE是△DAF的角平分线。
【解析】
(1) 已知$∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$，
则$∠ BAE=∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠ 4=∠ CAE$，因此AE平分$△ ABC$的内角$∠ BAC$，是$△ ABC$的角平分线；
同时$∠ DAE=∠ 2=∠ 3=∠ FAE$，因此AE平分$△ ADF$的内角$∠ DAF$，是$△ ADF$的角平分线。
(2) $\because AE$平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义可得$∠ BAE=∠ CAE$。
$\because ∠ 1=∠ 2=15°$，$\therefore ∠ BAE=∠ 1+∠ 2=15°+15°=30°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ BAE=30°$，即$∠ 3+∠ 4=30°$。
又$\because ∠ 4=15°$，$\therefore ∠ 3=30°-∠ 4=30°-15°=15°$。
由此可得$∠ 2=∠ 3=15°$，即AE平分$∠ DAF$，因此AE是$△ DAF$的角平分线。
【答案】
(1) $△ ABC$，$△ ADF$
(2) $∠ 3$的度数为$15°$，$AE$是$△ DAF$的角平分线
【知识点】
1. 三角形角平分线定义
2. 角的和差计算
【点评】
本题属于角平分线定义的基础应用题，解题核心是准确理解三角形角平分线的概念，结合已知角的等量关系推导或计算即可，解题时注意不要遗漏符合条件的三角形。
【难度系数】
0.8
7.（教材改编）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，DE // AC交AB于点E，DF // AB交AC于点F.
(1)若AD是△ABC的角平分线，求证：∠1=∠2；
(2)若∠1=∠2，求证：AD是△ABC的角平分线.
(1)若AD是△ABC的角平分线，求证：∠1=∠2；
(2)若∠1=∠2，求证：AD是△ABC的角平分线.
答案
7. 证明：(1) $\because DE// AC$，$DF// AB$，$\therefore ∠ 1=∠ DAC$，$∠ 2 = ∠ DAB$. $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，$\therefore ∠ DAC=∠ DAB$. $\therefore ∠ 1=∠ 2$.
(2)由(1)可知，$∠ 1 = ∠ DAC$，$∠ 2 = ∠ DAB$. 又 $∠ 1 = ∠ 2$，$\therefore ∠ DAC=∠ DAB$. $\therefore AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线.
(2)由(1)可知，$∠ 1 = ∠ DAC$，$∠ 2 = ∠ DAB$. 又 $∠ 1 = ∠ 2$，$\therefore ∠ DAC=∠ DAB$. $\therefore AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线.
解析
【分析】
(1) 要证∠1=∠2，先结合已知的两组平行关系，利用平行线内错角相等的性质，可得到∠1和∠DAC相等、∠2和∠DAB相等；再结合AD是角平分线的条件，可知∠DAC=∠DAB，通过等量代换即可推出∠1=∠2。
(2) 要证AD是△ABC的角平分线，本质是要证∠DAC=∠DAB。同样先通过平行线性质得到∠1=∠DAC、∠2=∠DAB，结合已知∠1=∠2，等量代换后可得∠DAC=∠DAB，即可根据角平分线的定义完成证明。
【解析】
(1) 证明：$\because DE// AC$，$DF// AB$，
$\therefore ∠ 1=∠ DAC$，$∠ 2 = ∠ DAB$。
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore ∠ DAC=∠ DAB$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
(2) 证明：由(1)可知，$∠ 1 = ∠ DAC$，$∠ 2 = ∠ DAB$。
又 $\because ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore ∠ DAC=∠ DAB$，
$\therefore AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 证明见上述解析。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，设置了正反双向的推导逻辑，帮助学生理解线的位置关系和角的数量关系之间的转化思路，是几何证明的入门题型，需要熟练掌握这类等量代换的证明方法。
【难度系数】
0.8
(1) 要证∠1=∠2，先结合已知的两组平行关系，利用平行线内错角相等的性质，可得到∠1和∠DAC相等、∠2和∠DAB相等；再结合AD是角平分线的条件，可知∠DAC=∠DAB，通过等量代换即可推出∠1=∠2。
(2) 要证AD是△ABC的角平分线，本质是要证∠DAC=∠DAB。同样先通过平行线性质得到∠1=∠DAC、∠2=∠DAB，结合已知∠1=∠2，等量代换后可得∠DAC=∠DAB，即可根据角平分线的定义完成证明。
【解析】
(1) 证明：$\because DE// AC$，$DF// AB$，
$\therefore ∠ 1=∠ DAC$，$∠ 2 = ∠ DAB$。
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore ∠ DAC=∠ DAB$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
(2) 证明：由(1)可知，$∠ 1 = ∠ DAC$，$∠ 2 = ∠ DAB$。
又 $\because ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore ∠ DAC=∠ DAB$，
$\therefore AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 证明见上述解析。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，设置了正反双向的推导逻辑，帮助学生理解线的位置关系和角的数量关系之间的转化思路，是几何证明的入门题型，需要熟练掌握这类等量代换的证明方法。
【难度系数】
0.8
8. 如图，G为$△ ABC$三边中线AD，BE，CF的交点，$S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积为(
A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$5\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\ \mathrm{cm}^2$
A
).A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$5\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\ \mathrm{cm}^2$
答案
8. A
解析
【分析】
解题时首先明确G是三角形三条中线的交点即重心，先回忆三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分；再结合重心的性质，三条中线会把原三角形分成6个面积相等的小三角形，先求出单个小三角形的面积，再统计阴影部分包含的小三角形数量，即可求出阴影面积。
【解析】
解：
∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，交点G是△ABC的重心，
根据三角形中线和重心的性质可知：三条中线将△ABC分割为6个面积相等的小三角形。
∴每个小三角形的面积为：$S_{\mathrm{小}} = \frac{S_{△ ABC}}{6} = \frac{12}{6} = 2\ \mathrm{cm}^2$，
观察图形可得，阴影部分共包含2个面积相等的小三角形，
∴$S_{\mathrm{阴影}} = 2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线性质；三角形重心性质；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查三角形中线与重心相关性质的应用，熟记三条中线将三角形分为6个面积相等的小三角形这一结论，即可快速计算出结果，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确G是三角形三条中线的交点即重心，先回忆三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分；再结合重心的性质，三条中线会把原三角形分成6个面积相等的小三角形，先求出单个小三角形的面积，再统计阴影部分包含的小三角形数量，即可求出阴影面积。
【解析】
解：
∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，交点G是△ABC的重心，
根据三角形中线和重心的性质可知：三条中线将△ABC分割为6个面积相等的小三角形。
∴每个小三角形的面积为：$S_{\mathrm{小}} = \frac{S_{△ ABC}}{6} = \frac{12}{6} = 2\ \mathrm{cm}^2$，
观察图形可得，阴影部分共包含2个面积相等的小三角形，
∴$S_{\mathrm{阴影}} = 2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线性质；三角形重心性质；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查三角形中线与重心相关性质的应用，熟记三条中线将三角形分为6个面积相等的小三角形这一结论，即可快速计算出结果，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.7
