19. (8分)如图，在$\triangle ABC$中，$EF$垂直平分$AC$，交$AC$于点$F$，交$BC$于点$E$，$AD \perp BC$，垂足为$D$，且$BD = DE$，连接$AE$.
(1)求证：$AB = EC$；
(2)若$\triangle ABC$的周长为19 cm，$AC = 8$ cm，则$DC$的长为多少？

(1)证明：
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC。
∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE。
∴AB=AE=EC，即AB=EC。
(2)
∵△ABC周长为19cm，AC=8cm，
∴AB+BC+AC=19cm，
∴AB+BC=19-8=11cm。
设BD=DE=x，EC=AB=y（由(1)知AB=EC）。
∵BD=DE=x，
∴BE=2x，BC=BE+EC=2x+y。
∴AB+BC=y+(2x+y)=2x+2y=11，
∴x+y=5.5。
∵DC=DE+EC=x+y，
∴DC=5.5cm。
答案：(1)证明见上；(2)5.5cm。

(1)证明：∵EF垂直平分AC，∴EA=EC。
∵AD⊥BC，BD=DE，∴AD垂直平分BE，∴AB=AE。
∴AB=AE=EC，即AB=EC。
(2)∵△ABC周长为19cm，AC=8cm，∴AB+BC+AC=19cm，
∴AB+BC=19-8=11cm。
设BD=DE=x，EC=AB=y（由(1)知AB=EC）。
∵BD=DE=x，∴BE=2x，BC=BE+EC=2x+y。
∴AB+BC=y+(2x+y)=2x+2y=11，∴x+y=5.5。
∵DC=DE+EC=x+y，∴DC=5.5cm。

20. (8分)如图，$AB = AC$，$\angle A = 40^{\circ}$，$AB$的垂直平分线$MN$交$AC$于点$D$，交$AB$于点$E$.
(1)求$\angle DBC$的度数；
(2)若$AE = 6$，$\triangle BCD$的周长为19，求$BC$的长.

(1)
因为 $AB = AC$，$\angle A = 40^{\circ}$，
根据等腰三角形性质，$\angle ABC = \angle C = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = 70^{\circ}$。
因为 $MN$ 是 $AB$ 的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，$AD = BD$，
所以 $\angle ABD = \angle A = 40^{\circ}$。
因此，$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}$。
(2)
因为 $MN$ 是 $AB$ 的垂直平分线，$AE = 6$，
根据线段垂直平分线的性质，$BE = AE = 6$，$AB = 2AE = 12$。
因为 $AD = BD$，
所以 $\triangle BCD$ 的周长 $= BC + CD + BD = BC + CD + AD = BC + AC = BC + AB = BC + 12$。
已知 $\triangle BCD$ 的周长为 $19$，
所以 $BC + 12 = 19$，
解得 $BC = 7$。