21. (8分)如图，已知点$D$，$E$分别是$\triangle ABC$的边$BA$和$BC$延长线上的点，作$\angle DAC$的平分线$AF$，$AF// BC$.
(1)求证：$\triangle ABC$是等腰三角形；
(2)作$\angle ACE$的平分线交$AF$于点$G$，若$\angle B=40^{\circ}$，求$\angle AGC$的度数.

(2)70°

(1)证明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF=∠CAF（角平分线定义）。
∵AF//BC，∴∠DAF=∠B（两直线平行，同位角相等），∠CAF=∠ACB（两直线平行，内错角相等）。
∴∠B=∠ACB（等量代换）。
∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。
(2)解：∵∠B=40°，∠ACB=∠B=40°（已证），
∴∠ACE=180°-∠ACB=140°（邻补角定义）。
∵CG平分∠ACE，∴∠ACG=∠ACE/2=70°（角平分线定义）。
∵AF//BC，∴∠CAF=∠ACB=40°（两直线平行，内错角相等）。
在△AGC中，∠AGC=180°-∠CAF-∠ACG=180°-40°-70°=70°。

22. (10分)如图，$\triangle ABC$是等腰三角形，$AB=AC$. 设$\angle BAC=\alpha$.
(1)如图1，点$D$在线段$AB$上，若$\angle ACD+\angle BAC=45^{\circ}$，求$\angle DCB$的度数(用含$\alpha$的式子表示)；
(2)如图2，已知$AB=AC=BD$，若$\angle ABD+\angle BAC=180^{\circ}$，过点$B$作$BH\perp AD$于点$H$. 求证：$BH=\frac{1}{2}BC$.

(1)∵AB=AC，∠BAC=α，∴∠ABC=∠ACB=(180°-α)/2=90°-α/2。设∠DCB=x，则∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-α/2-x。∵∠ACD+∠BAC=45°，∴(90°-α/2-x)+α=45°，解得x=45°+α/2。即∠DCB=45°+α/2。
(2)过A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，∴BM=1/2BC，∠BAM=α/2。∵AB=BD，BH⊥AD，∴∠ABH=1/2∠ABD（等腰三角形三线合一）。∵∠ABD+α=180°，∴∠ABD=180°-α，∠ABH=(180°-α)/2=90°-α/2。在Rt△ABH中，∠BAH=90°-∠ABH=α/2=∠BAM。在△ABH和△ABM中，∠BAH=∠BAM，∠AHB=∠AMB=90°，AB=AB，∴△ABH≌△ABM(AAS)，∴BH=BM=1/2BC。