14. 翻折常常能为问题的解决提供思路和方法.如图,在$\bigtriangleup ABC$中$,\angle C = 2\angle B,AD \perp BC$,垂足为$D$,则$BD,CD,AC$之间的等量关系是.

BD=AC+CD

在DB上截取DE=DC，连接AE。
∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADE=90°。
在△ADC和△ADE中，AD=AD，∠ADC=∠ADE，DC=DE，∴△ADC≌△ADE（SAS）。
∴AC=AE，∠C=∠AED。
∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B。
∵∠AED是△ABE的外角，∴∠AED=∠B+∠BAE，即2∠B=∠B+∠BAE，∴∠BAE=∠B。
∴△ABE为等腰三角形，AE=BE。
∵AE=AC，∴BE=AC。
又∵BE=BD-DE=BD-CD，∴AC=BD-CD，即BD=AC+CD。

15. 如图,已知$\bigtriangleup ABC$的面积为12,$BP$平分$\angle ABC$,且$AP \perp BP$于点$P$,则$\bigtriangleup BPC$的面积是.

6

延长AP交BC于点D。
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠DBP。
∵AP⊥BP，∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中，∠ABP=∠DBP，BP=BP，∠APB=∠DPB，
∴△ABP≌△DBP（ASA），∴AP=DP，S△ABP=S△DBP。
∵AP=DP，∴P为AD中点，∴S△APC=S△DPC（等底同高）。
设S△ABP=S△DBP=a，S△APC=S△DPC=b，
则S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△APC=a+(a+b)+b=2(a+b)=12，
∴a+b=6，即S△BPC=a+b=6。

16. (6分)如图$,AD$与$BC$相交于点$O,OA = OC,\angle A = \angle C,BE = DE$.求证$:OE$垂直平分$BD$.

证明：在△AOB和△COD中，
∵∠A=∠C，OA=OC，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD。

17. (6分)如图,在$\bigtriangleup ABC$中,分别以点$A$和点$C$为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧,两弧相交于点$M,N$,直线$MN$与$AC,BC$分别相交于点$E,D$,连接$AD$.
(1)若$\angle B = 110^{\circ},\angle BAD = 20^{\circ}$,求$\angle C$的度数;
(2)若$AE = 3\ cm,\bigtriangleup ABC$的周长为$13\ cm$,求$\bigtriangleup ABD$的周长.

(1) 由作图知，MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠DAC=∠C。设∠C=x，则∠DAC=x。
∵∠BAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=20°+x。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=110°，
∴(20°+x)+110°+x=180°，解得x=25°，即∠C=25°。
(2) ∵MN是AC的垂直平分线，∴E为AC中点，AE=EC=3cm，∴AC=AE+EC=6cm。
△ABC周长=AB+BC+AC=13cm，∴AB+BC=13-AC=13-6=7cm。
∵AD=CD，∴△ABD周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=7cm。
(1) 25°；(2) 7cm。