7. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60°$，$\angle B = 35°$，分别以点$B$，$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧相交于$D$，$E$两点，画直线$DE$与边$AB$相交于点$F$，连接$CF$，则$\angle ACF$的度数为 ()

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$

C

在△ABC中，∠A=60°，∠B=35°，则∠ACB=180°-60°-35°=85°。由作图知DE是BC的垂直平分线，故FC=FB，∠FCB=∠B=35°。所以∠ACF=∠ACB-∠FCB=85°-35°=50°。

8. 如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点$P$，则以下结论正确的是 ()

A.$AB = PB$
B.$BC = AC$
C.$AC = AP$
D.$PA = PB = PC$

D

根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。因为点P是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以点P到三角形三个顶点的距离相等，即PA=PB=PC。

9. 若点$A(m,3)$与点$B(4,n)$关于$y$轴对称，则$m + n =$ ()

A.$-1$
B.0
C.1
D.$-7$

A

由于点$A(m,3)$与点$B(4,n)$关于$y$轴对称，根据对称性质，两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。
因此，有$m = -4$，$n = 3$。
所以，$m + n = -4 + 3 = -1$。

10. 如图，在平面直角坐标系中，$\angle A = 90°$，$OA = 2$，$OB$平分$\angle AOx$，则点$B(a - 1, a - 2)$关于$x$轴的对称点是 ()


A.$(-2,1)$
B.$(3,-2)$
C.$(2,-1)$
D.$(3,-1)$

C

∵点B坐标为(a-1,a-2)，设其横纵坐标为(x,y)，则x=a-1，y=a-2，故y=x-1，即点B在直线y=x-1上。
∵OB平分∠AOx，设∠AOx=α，则∠BOx=α/2，OB斜率tan(α/2)=y/x。
∵∠A=90°即∠OAB=90°，OA=2，设A(2cosα,2sinα)，B(x,y)。向量AO=(-2cosα,-2sinα)，向量AB=(x-2cosα,y-2sinα)，由AO⊥AB得AO·AB=0：
-2cosα(x-2cosα)-2sinα(y-2sinα)=0，化简得xcosα+ysinα=2。
又OB：y=xtan(α/2)，且tanα=2tan(α/2)/(1-tan²(α/2))，结合xcosα+ysinα=2，解得x=2（过程略）。
∵x=a-1=2，∴a=3，y=a-2=1，即B(2,1)。
点B关于x轴对称点为(2,-1)。

11. 命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是.

【解析】：原命题的题设是“等边三角形”，结论是“有三条对称轴”，将题设和结论互换得到逆命题，即“有三条对称轴的三角形是等边三角形”。
【答案】：有三条对称轴的三角形是等边三角形

逆命题是将原命题的条件和结论互换位置得到的命题。原命题“等边三角形有三条对称轴”中，条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“它有三条对称轴”。因此，逆命题为“有三条对称轴的三角形是等边三角形”。

12. 若点$M(2m - 1,1 + m)$关于$y$轴的对称点在第二象限，则$m$的取值范围是.

【解析】：点$M(2m - 1,1 + m)$关于$y$轴的对称点为$(-(2m - 1),1 + m)$，即$(-2m + 1,1 + m)$。因为该对称点在第二象限，所以横坐标小于$0$，纵坐标大于$0$，可得$\begin{cases}-2m + 1 ＜ 0 \\1 + m ＞ 0\end{cases}$。解第一个不等式：$-2m + 1 ＜ 0$，移项得$-2m ＜ -1$，两边同时除以$-2$，不等号变向，得$m ＞ \frac{1}{2}$。解第二个不等式：$1 + m ＞ 0$，得$m ＞ -1$。综合两个不等式的解，取交集，$m$的取值范围是$m ＞ \frac{1}{2}$。
【答案】：$m ＞ \frac{1}{2}$

点$M(2m - 1,1 + m)$关于$y$轴的对称点坐标为$(-(2m - 1),1 + m)$，即$(1 - 2m,1 + m)$。
因为该对称点在第二象限，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，所以可得不等式组$\begin{cases}1 - 2m\lt 0 \\1 + m\gt 0 \end{cases}$。
解不等式$1 - 2m\lt 0$，移项可得$-2m\lt -1$，两边同时除以$-2$，不等号变向，解得$m\gt \frac{1}{2}$。
解不等式$1 + m\gt 0$，移项可得$m\gt - 1$。
综合两个不等式的解，取交集，可得$m\gt \frac{1}{2}$。

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 108°$，$PM$和$QN$分别是$AB$和$AC$的垂直平分线，则$\angle PAQ =$
$°$
.

36

∵PM是AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B。
∵QN是AC的垂直平分线，∴QA=QC，∴∠QAC=∠C。
在△ABC中，∠BAC=108°，∠B+∠C=180°-∠BAC=72°。
∵∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=72°，
∴∠PAQ=∠BAC-(∠PAB+∠QAC)=108°-72°=36°。