8. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ D $ 为 $ AB $ 的中点，$ BE ⊥ CD $ 于 $ E $，若 $ AC = 15 $，$ \cos A = \dfrac{3}{5} $.
（1）求线段 $ CD $ 的长；
（2）求 $ \sin ∠ DBE $ 的值.

8. (1) $ \dfrac{25}{2} $ (2) $ \dfrac{7}{25} $

（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$AC=15$，$\cos A=\dfrac{3}{5}$，
因为$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$，所以$\dfrac{15}{AB}=\dfrac{3}{5}$，解得$AB=25$。
因为$D$为$AB$的中点，所以$CD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{25}{2}$。
（2）在$Rt△ ABC$中，$AC=15$，$AB=25$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20$。
因为$D$为$AB$的中点，所以$AD=BD=\dfrac{25}{2}$。
设$DE=x$，$CE=CD-DE=\dfrac{25}{2}-x$。
在$Rt△ BEC$中，$BE^{2}=BC^{2}-CE^{2}=20^{2}-(\dfrac{25}{2}-x)^{2}$。
在$Rt△ BED$中，$BE^{2}=BD^{2}-DE^{2}=(\dfrac{25}{2})^{2}-x^{2}$。
所以$20^{2}-(\dfrac{25}{2}-x)^{2}=(\dfrac{25}{2})^{2}-x^{2}$，
解得$x=\dfrac{7}{2}$。
所以$\sin∠ DBE=\dfrac{DE}{BD}=\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{25}{2}}=\dfrac{7}{25}$。
（1）$\dfrac{25}{2}$；（2）$\dfrac{7}{25}$

9. （1）如图①，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A = α (0^{\circ} ＜ α ＜ 90^{\circ}) $，$ AB = c $，$ AC = b $，试用含 $ b $，$ c $，$ α $ 的式子表示 $ △ ABC $ 的面积；
（2）应用：如图②，在 $ □ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交成的锐角为 $ α $，若 $ AC = a $，$ BD = b $，试用含 $ a $，$ b $，$ α $ 的式子表示 $ □ ABCD $ 的面积.

9. (1) $ S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2} bc \sin α $ (2) $ S_{□ ABCD} = 2S_{△ BCD} = \dfrac{1}{2} ab \sin α $

（1）过点$ B $作$ BD ⊥ AC $于点$ D $，在$ \mathrm{Rt}△ABD $中，$ BD = AB · \sin α = c \sin α $，$ S_{△ABC} = \dfrac{1}{2} · AC · BD = \dfrac{1}{2} bc \sin α $
（2）在$ □ABCD $中，$ AO = \dfrac{1}{2} AC = \dfrac{a}{2} $，$ BO = \dfrac{1}{2} BD = \dfrac{b}{2} $，$ S_{△AOB} = \dfrac{1}{2} · AO · BO · \sin α = \dfrac{1}{2} · \dfrac{a}{2} · \dfrac{b}{2} · \sin α = \dfrac{1}{8} ab \sin α $，$ S_{□ABCD} = 4S_{△AOB} = 4 × \dfrac{1}{8} ab \sin α = \dfrac{1}{2} ab \sin α $

10. 如图，在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC $，以 $ AB $ 为直径的 $ \odot O $ 交 $ BC $ 于点 $ D $，交 $ AC $ 于点 $ E $，过点 $ D $ 作 $ DF ⊥ AC $ 于点 $ F $，交 $ AB $ 的延长线于点 $ G $.
（1）若 $ AB = 5 $，$ BC = 6 $，求 $ DF $ 的长；
（2）若 $ \tan C = 2 $，$ AE = 3 $，求 $ BG $ 的长.

10. (1) $ DF = 2.4 $ (2) $ BG = \dfrac{5}{3} $