9. (2025 南充)已知函数$y = (m - 2)x^{m^{2}-5}$.
(1)若$y$是$x$的正比例函数，则$m$的值为；(直接写出结果)
(2)若$y$是$x$的反比例函数，求$y$与$x$的函数解析式.

(1)$\pm\sqrt{6}$；(2)$y = -\dfrac{4}{x}$

(1) 若$y$是$x$的正比例函数，则需满足$\begin{cases}m - 2 ≠ 0 \\ m^2 - 5 = 1\end{cases}$，解得$m^2 = 6$，$m = \pm\sqrt{6}$，又$m ≠ 2$，所以$m = \pm\sqrt{6}$。
(2) 若$y$是$x$的反比例函数，则需满足$\begin{cases}m - 2 ≠ 0 \\ m^2 - 5 = -1\end{cases}$，由$m^2 - 5 = -1$得$m^2 = 4$，$m = \pm2$，又$m ≠ 2$，所以$m = -2$，此时函数解析式为$y = -4x^{-1} = -\dfrac{4}{x}$。

10. （教材$\mathrm{P}_{3}\mathrm{T}_{3}$改编）已知$y$与$x - 1$成反比例，且当$x = 5$时，$y = - 3$.
（1）求$y$关于$x$的函数关系式；
（2）当$y = 3$时，求$x$的值.

（1）$y = -\frac{12}{x - 1}$；（2）$x = - 3$

（1）设$y = \frac{k}{x - 1}(k ≠ 0)$，将$x = 5$，$y = - 3$代入得$-3 = \frac{k}{5 - 1}$，解得$k = - 12$，所以$y = -\frac{12}{x - 1}$；（2）当$y = 3$时，$3 = -\frac{12}{x - 1}$，解得$x = - 3$

11. 已知$y + 1$与$x$成反比例，且当$x = 3$时，$y = 7$.
（1）求$y$与$x$之间的函数关系式；
（2）当$x = a$时，$y = b$，求代数式$ab + a - 1$的值.

（1）$y = \frac{24}{x} - 1$；（2）23

（1）设$y + 1 = \frac{k}{x}(k ≠ 0)$，将$x = 3$，$y = 7$代入得$7 + 1 = \frac{k}{3}$，解得$k = 24$，所以$y + 1 = \frac{24}{x}$，即$y = \frac{24}{x} - 1$；（2）当$x = a$，$y = b$时，$b = \frac{24}{a} - 1$，两边同乘$a$得$ab = 24 - a$，则$ab + a - 1 = 24 - a + a - 1 = 23$

12. （2025 广州）第十四届国际数学教育大会（ICME - 14）于 2021 年在上海举办，其大会标识（如图 1）的中心图案是赵爽弦图（如图 2），该图由四个全等的直角三角形（$△ ABE$，$△ BCF$，$△ CDG$，$△ DAH$）和中间一个小正方形$EFGH$组成.设直角三角形的长直角边$AE$为$x$，短直角边$BE$为$y$，且四边形$ABCD$的面积比正方形$EFGH$的面积大 16.
（1）求证：四边形$ABCD$是正方形；

（2）求$y$与$x$的函数关系式.

（1）见解析；（2）y=8/x

（1）∵△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH，∴AB=BC=CD=DA，∠BAE=∠CBF。∵△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∴∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABC=90°。∵四边形ABCD四边相等且有一个直角，∴四边形ABCD是正方形。
（2）四边形ABCD面积为AB²=x²+y²，正方形EFGH边长为x-y，面积为(x-y)²。由题意得(x²+y²)-(x-y)²=16，化简得2xy=16，即xy=8，∴y=8/x。