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如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ EFOH $ 是正方形 $ ABCD $ 经过位似变换得到的，对角线 $ OE = 4\sqrt{2} $，则位似中心的坐标是
【点睛】根据位似的定义确定位似中心.
(-2,0)
.【点睛】根据位似的定义确定位似中心.
答案
(-2,0)
解析
由题意，正方形EFOH中，O为原点(0,0)，对角线OE=4√2，故其边长为4。可得E(-4,4)，F(-4,0)，H(0,4)。设正方形ABCD顶点为A(a,b)，B(a,0)，C(d,0)，D(d,b)（边平行坐标轴），且为EFOH的位似图形。位似中心在对应点连线交点，由对应点B(-3,0)与F(-4,0)、C(-1,0)与O(0,0)、A(-3,2)与E(-4,4)、D(-1,2)与H(0,4)的连线交于点(-2,0)。
1. (2025 内蒙古中考)如图，在平面直角坐标系中，$ △ OAB $ 的顶点坐标分别是 $ O(0,0) $，$ A(2,1) $，$ B(1,2) $，以原点 $ O $ 为位似中心，在第三象限画 $ △ OA'B' $ 与 $ △ OAB $ 位似.若 $ △ OA'B' $ 与 $ △ OAB $ 的相似比为 $ 2:1 $，则点 $ A $ 的对应点 $ A' $ 的坐标为(
A.$ (-2,-1) $
B.$ (-4,-2) $
C.$ (-1,-2) $
D.$ (-2,-4) $
B
)A.$ (-2,-1) $
B.$ (-4,-2) $
C.$ (-1,-2) $
D.$ (-2,-4) $
答案
B
解析
∵以原点O为位似中心，相似比为2:1，△OA'B'在第三象限，A(2,1)，
∴点A的对应点A'的坐标为(2×(-2),1×(-2))=(-4,-2)。
2. 如图，在平面直角坐标系中，$ △ ABC $ 与 $ △ A'B'C' $ 是位似图形，位似中心为点 $ O $.若点 $ A(-3,1) $ 的对应点为 $ A'(-6,2) $，则点 $ B(-2,4) $ 的对应点 $ B' $ 的坐标为(
A.$ (-4,8) $
B.$ (8,-4) $
C.$ (-8,4) $
D.$ (4,-8) $
A
)A.$ (-4,8) $
B.$ (8,-4) $
C.$ (-8,4) $
D.$ (4,-8) $
答案
A
解析
由题意，$△ABC$与$△A'B'C'$是位似图形，位似中心为点$O$，点$A(-3,1)$的对应点为$A'(-6,2)$。
位似比为：
$\frac{-6}{-3} = 2$（或$\frac{2}{1} = 2$）。
因此，点$B(-2,4)$的对应点$B'$的坐标为：
$B' = (-2 × 2, 4 × 2) = (-4, 8)$。
位似比为：
$\frac{-6}{-3} = 2$（或$\frac{2}{1} = 2$）。
因此，点$B(-2,4)$的对应点$B'$的坐标为：
$B' = (-2 × 2, 4 × 2) = (-4, 8)$。
3. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点 $ △ ABC $，$ △ DEF $ 成位似关系，则位似中心的坐标为(
A.$ (-1,0) $
B.$ (0,0) $
C.$ (0,1) $
D.$ (1,0) $
A
)A.$ (-1,0) $
B.$ (0,0) $
C.$ (0,1) $
D.$ (1,0) $
答案
A
解析
连接△ABC与△DEF的对应顶点，如A与D、B与E、C与F，其连线的交点即为位似中心。通过计算直线AD、BE、CF的交点，可得位似中心坐标为(-1,0)。
4. 两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为 $ (2,-4) $，$ (-3,b) $，则 $ b $ 的值为
6
.答案
6
解析
因为两个图形关于原点位似，所以对应点的坐标比等于相似比。设相似比为$k$，则$2k = -3$，解得$k=-\frac{3}{2}$。又因为$-4k = b$，所以$b=-4×(-\frac{3}{2})=6$。
5. 如图，在平面直角坐标系中，$ △ ABC $ 与 $ △ A_1B_1C_1 $ 位似，原点 $ O $ 是位似中心，且 $ \frac{AB}{A_1B_1} = 3 $.若 $ A(9,3) $，则点 $ A_1 $ 的坐标是
(3,1)
.答案
$(3,1)$
解析
由题意知，$△ABC$与$△A_1B_1C_1$是位似图形，原点$O$是位似中心，且$\frac{AB}{A_1B_1}=3$。
点$A$的坐标为$(9,3)$。
因为$△ABC$与$△A_1B_1C_1$是位似图形，且位似中心为原点$O$，所以点$A_1$的坐标为点$A$坐标的$\frac{1}{3}$。
因此，点$A_1$的坐标为：
$A_1(\frac{9}{3},\frac{3}{3})=(3,1)$。
点$A$的坐标为$(9,3)$。
因为$△ABC$与$△A_1B_1C_1$是位似图形，且位似中心为原点$O$，所以点$A_1$的坐标为点$A$坐标的$\frac{1}{3}$。
因此，点$A_1$的坐标为：
$A_1(\frac{9}{3},\frac{3}{3})=(3,1)$。
6. (2025 绥化中考)在平面直角坐标系中，把 $ △ ABC $ 以原点 $ O $ 为位似中心放大，得到 $ △ A'B'C' $.若点 $ A $ 和它的对应点 $ A' $ 的坐标分别为 $ (3,7) $，$ (-9,-21) $，则 $ △ ABC $ 与 $ △ A'B'C' $ 的相似比为
1:3
.答案
1:3
解析
因为以原点O为位似中心，点A(3,7)的对应点A'(-9,-21)，所以相似比为OA:OA'。OA的长度为√(3²+7²)，OA'的长度为√[(-9)²+(-21)²]=√(81+441)=√522=3√58，OA=√(9+49)=√58，所以相似比为√58:3√58=1:3。
7. 在如图所示的方格纸中，$ △ OAB $ 的顶点坐标分别为 $ O(0,0) $，$ A(-2,-1) $，$ B(-1,-3) $，$ △ O_1A_1B_1 $ 与 $ △ OAB $ 是以点 $ P $ 为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心 $ P $ 的位置，并写出点 $ P $ 及点 $ B $ 的对应点 $ B_1 $ 的坐标；
(2)以原点 $ O $ 为位似中心，在位似中心的同侧画出 $ △ OAB $ 的一个位似图形 $ △ OA_2B_2 $，使它与 $ △ OAB $ 的相似比为 $ 2 $.并写出点 $ B $ 的对应点 $ B_2 $ 的坐标；
(3)若 $ △ OAB $ 内部一点 $ M $ 的坐标为 $ (a,b) $，写出点 $ M $ 在 $ △ OA_2B_2 $ 中的对应点 $ M_2 $ 的坐标.
(1)在图中标出位似中心 $ P $ 的位置，并写出点 $ P $ 及点 $ B $ 的对应点 $ B_1 $ 的坐标；
(2)以原点 $ O $ 为位似中心，在位似中心的同侧画出 $ △ OAB $ 的一个位似图形 $ △ OA_2B_2 $，使它与 $ △ OAB $ 的相似比为 $ 2 $.并写出点 $ B $ 的对应点 $ B_2 $ 的坐标；
(3)若 $ △ OAB $ 内部一点 $ M $ 的坐标为 $ (a,b) $，写出点 $ M $ 在 $ △ OA_2B_2 $ 中的对应点 $ M_2 $ 的坐标.
答案
(1) P(-4,0)，B₁(2,-6)；
(2) B₂(-2,-6)；
(3) (2a,2b)
(2) B₂(-2,-6)；
(3) (2a,2b)
解析
(1) 连接对应点O与O₁、A与A₁、B与B₁，三线交于点P，即位似中心。通过坐标计算得P(-4,0)，B₁(2,-6)。
(2) 以原点O为位似中心，相似比2且同侧，点B(-1,-3)对应点B₂坐标为(-1×2,-3×2)=(-2,-6)。
(3) 位似变换中，点M(a,b)对应点M₂坐标为(2a,2b)。
(2) 以原点O为位似中心，相似比2且同侧，点B(-1,-3)对应点B₂坐标为(-1×2,-3×2)=(-2,-6)。
(3) 位似变换中，点M(a,b)对应点M₂坐标为(2a,2b)。
