在学习反比例函数的性质时,通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称.小勤同学利用代数方法进行了推导.
证明:在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(k ≠ 0) $ 的图象上任取一点 $ A(a,\dfrac{k}{a}) $,则点 $ A $ 关于原点的对称点 $ B $ 的坐标为 $ (-a,-\dfrac{k}{a}) $. $ \because -a · (-\dfrac{k}{a}) = k $, $ \therefore $ 点 $ B $ 也在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象上. $ \because A $ 是反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象上的任意一点,它关于原点对称的点都在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象上, $ \therefore $ 反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象关于原点对称.
尝试应用:
下面我们来研究一个新函数 $ y = \dfrac{3}{|x|} $.
(1) 先列表、描点、连线,画出函数 $ y = \dfrac{3}{|x|} $ 的图象,观察发现图象关于 对称,并用代数方法证明该结论;
(2) 已知点 $ P(x,y_1) $, $ Q(2,y_2) $ 在函数 $ y = \dfrac{3}{|x|} $ 的图象上,且 $ y_1 ＜ y_2 $,则 $ x $ 的取值范围是 ;
拓展迁移:
(3) 已知函数 $ y = nx + 2(n ≠ 0) $,当 $ x ＞ 1 $ 或 $ x ＜ -\dfrac{1}{2} $ 时,函数 $ y = nx + 2(n ≠ 0) $ 的图象在函数 $ y = \dfrac{3}{|x|} $ 的图象的上方,求 $ n $ 的范围.

(1) $y$轴
(2) $x＞2$或$x＜-2$
(3) $n≥1$或$n≤-8$

(1) 表格填写：当$x=-\frac{3}{2}$时，$y=\frac{3}{|-\frac{3}{2}|}=2$；$x=-1$时，$y=\frac{3}{|-1|}=3$；$x=\frac{3}{4}$时，$y=\frac{3}{|\frac{3}{4}|}=4$；$x=1$时，$y=\frac{3}{|1|}=3$；$x=\frac{3}{2}$时，$y=\frac{3}{|\frac{3}{2}|}=2$。观察图象发现关于$y$轴对称。证明：在函数$y=\frac{3}{|x|}$图象上任取一点$A(a,\frac{3}{|a|})$，其关于$y$轴对称点$B(-a,\frac{3}{|a|})$。将$x=-a$代入函数得$y=\frac{3}{|-a|}=\frac{3}{|a|}$，故点$B$在图象上，所以图象关于$y$轴对称。
(2) 点$Q(2,y_2)$中$y_2=\frac{3}{|2|}=\frac{3}{2}$。由$y_1＜y_2$得$\frac{3}{|x|}＜\frac{3}{2}$，即$|x|＞2$，解得$x＞2$或$x＜-2$。
(3) 当$x＞1$时，$nx+2＞\frac{3}{x}$，即$n＞\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x}$，令$t=\frac{1}{x}\in(0,1)$，$n＞3t^2-2t$，最大值为$1$，故$n≥1$；当$x＜-\frac{1}{2}$时，$nx+2＞\frac{3}{-x}$，即$n＜-\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x}$，令$t=\frac{1}{x}\in(-2,0)$，$n＜-3t^2-2t$，最大值为$\frac{1}{3}$，结合$x=-\frac{1}{2}$时$n≤-8$，故$n≤-8$。综上，$n≥1$或$n≤-8$。