13.(8 分)如图,在$\triangle ABC$中$,AB = AC,AD$是中线$,P$是$AD$上一点,过点$C$作$CF // AB$,延长$BP$交$AC$于点$E$,交$CF$于点$F$.
求证:$BP^2 = PE· PF$.

证明：
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴PB=PC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵CF//AB，
∴∠F=∠ABP（两直线平行，同位角相等）。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）。
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB（等边对等角）。
∵∠ACB=∠PCB+∠PCE，∠ABC=∠ABP+∠PBC，
且∠ABC=∠ACB，∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠PCE（等量代换）。
∵∠F=∠ABP，
∴∠F=∠PCE。
在△PCE和△PFC中，
∠CPE=∠FPC（公共角），∠PCE=∠F，
∴△PCE∽△PFC（AA）。
∴PC/PE=PF/PC（相似三角形对应边成比例），
∴PC²=PE·PF。
∵PB=PC，
∴BP²=PE·PF。
证毕。

14.(8 分)如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中$,\angle ACB = 90°,AC = 3,BC = 4$,过点$B$作射线$BB_1 // AC$,动点$D$从点$A$出发,沿射线$AC$方向以每秒 5 个单位长度的速度运动;同时,动点$E$从点$C$出发,沿射线$AC$方向以每秒 3 个单位长度的速度运动.过点$D$作$DH\perp AB$于点$H$,过点$E$作$EF\perp AC$,交射线$BB_1$于点$F,G$是$EF$中点,连接$DG.$设点$D$运动的时间为$t$秒.
(1)当$t$为何值时$,AD = AB?$求出此时$DE$的长度.
(2)当$\triangle DEG$与$\triangle ACB$相似时,求$t$的值.

(1)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
因为$AD = AB$，$AD$速度为每秒$5$个单位长度，所以$5t = 5$，解得$t = 1$。
此时$CE=3t = 3$，$AE=AC + CE=3 + 3 = 6$，$AD = 5$，则$DE=AE - AD=6 - 5 = 1$。
(2)
由题意得$AD = 5t$，$CE = 3t$，则$AE=AC + CE=3 + 3t$，$DE=\vert AE - AD\vert=\vert3 + 3t - 5t\vert=\vert3 - 2t\vert$。
因为$BB_{1}// AC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$EF\perp AC$，所以四边形$BCEF$是矩形，$EF = BC = 4$，$G$是$EF$中点，则$EG = 2$。
当$\triangle DEG\sim\triangle ACB$时，$\frac{DE}{AC}=\frac{EG}{BC}$，即$\frac{\vert3 - 2t\vert}{3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，则$\vert3 - 2t\vert=\frac{3}{2}$。
当$3 - 2t=\frac{3}{2}$时，$2t = 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$，解得$t=\frac{3}{4}$；
当$3 - 2t=-\frac{3}{2}$时，$2t = 3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，解得$t=\frac{9}{4}$。
当$\triangle DEG\sim\triangle BCA$时，$\frac{DE}{BC}=\frac{EG}{AC}$，即$\frac{\vert3 - 2t\vert}{4}=\frac{2}{3}$，则$\vert3 - 2t\vert=\frac{8}{3}$。
当$3 - 2t=\frac{8}{3}$时，$2t = 3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}$，解得$t=\frac{1}{6}$；
当$3 - 2t=-\frac{8}{3}$时，$2t = 3+\frac{8}{3}=\frac{17}{3}$，解得$t=\frac{17}{6}$。
综上，$t$的值为$\frac{1}{6}$或$\frac{3}{4}$或$\frac{9}{4}$或$\frac{17}{6}$。