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1.下列方程中,关于$x$的分式方程($a$为常数)有(
①$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{2}{3}x + 4 = 0$ ②$\frac{x}{a} = 4$ ③$\frac{a}{x} = 4$ ④$\frac{x^{2}-9}{x + 3} = 1$ ⑤$\frac{1}{x + 2} = 6$ ⑥$\frac{x - 1}{a} + \frac{x - 1}{a} = 2$
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
).①$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{2}{3}x + 4 = 0$ ②$\frac{x}{a} = 4$ ③$\frac{a}{x} = 4$ ④$\frac{x^{2}-9}{x + 3} = 1$ ⑤$\frac{1}{x + 2} = 6$ ⑥$\frac{x - 1}{a} + \frac{x - 1}{a} = 2$
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
B
解析
分式方程是分母中含有未知数的方程。①是整式方程；②分母为常数$a$，是整式方程；③分母含未知数$x$，是分式方程；④分母含未知数$x$，是分式方程；⑤分母含未知数$x$，是分式方程；⑥分母为常数$a$，是整式方程。所以分式方程有③④⑤，共3个。
2.解分式方程$\frac{2}{x - 2} = \frac{1}{x}$时,方程两边同乘以(
A.$x - 2$
B.$2x$
C.$x(x - 2)$
D.$2x(x - 2)$
C
).A.$x - 2$
B.$2x$
C.$x(x - 2)$
D.$2x(x - 2)$
答案
C
解析
解分式方程$\frac{2}{x - 2} = \frac{1}{x}$时，为了去除分母，需要找到两个分母的最简公分母。
观察方程，两个分母分别为$x-2$和$x$，它们的最简公分母为$x(x - 2)$。
因此，方程两边应同乘以$x(x - 2)$。
观察方程，两个分母分别为$x-2$和$x$，它们的最简公分母为$x(x - 2)$。
因此，方程两边应同乘以$x(x - 2)$。
3.方程$\frac{1}{1 - x^{2}} + \frac{5}{x + 1} = \frac{3}{1 - x}$的解是(
A.$x = 1$
B.$x = - 1$
C.$x = \frac{3}{8}$
D.$x = 2$
C
).A.$x = 1$
B.$x = - 1$
C.$x = \frac{3}{8}$
D.$x = 2$
答案
C
解析
方程两边同乘最简公分母$(1+x)(1-x)$，得$1 + 5(1 - x) = 3(1 + x)$。展开得$1 + 5 - 5x = 3 + 3x$，化简为$6 - 5x = 3 + 3x$，移项合并得$8x = 3$，解得$x = \frac{3}{8}$。检验：当$x = \frac{3}{8}$时，$(1+x)(1-x) ≠ 0$，故$x = \frac{3}{8}$是原方程的解。
4.关于$x$的分式方程$\frac{m}{x - 5} = 1$,下列说法正确的是(
A.方程的解是$x = m + 5$
B.$m ＞ - 5$时,方程的解是正数
C.$m ＜ - 5$时,方程的解是负数
D.无法确定
C
).A.方程的解是$x = m + 5$
B.$m ＞ - 5$时,方程的解是正数
C.$m ＜ - 5$时,方程的解是负数
D.无法确定
答案
C
解析
将方程 $\frac{m}{x - 5} = 1$ 两边乘以 $x - 5$（注意 $x \neq 5$），得到：
$m = x - 5$，
从上式解出 $x$，得到：
$x = m + 5$，
对于选项A，由于 $x \neq 5$，所以 $m + 5 \neq 5$，即 $m \neq 0$。当 $m = 0$ 时，方程无意义，因此A选项错误。
对于选项B，若方程的解是正数，则 $m + 5 ＞ 0$，即 $m ＞ -5$。但需要考虑分母 $x - 5 \neq 0$，即 $m + 5 - 5 \neq 0$，也就是 $m \neq 0$。所以，当 $m ＞ -5$ 且 $m \neq 0$ 时，方程的解是正数。B选项没有提到 $m \neq 0$ 的条件，因此B选项错误。
对于选项C，若方程的解是负数，则 $m + 5 ＜ 0$，即 $m ＜ -5$。同时，由于分母 $x - 5 \neq 0$，这个条件在 $m ＜ -5$ 时自动满足（因为 $m + 5 \neq 5$）。所以C选项正确。
对于选项D，由于已经确定C选项正确，所以D选项错误。
$m = x - 5$，
从上式解出 $x$，得到：
$x = m + 5$，
对于选项A，由于 $x \neq 5$，所以 $m + 5 \neq 5$，即 $m \neq 0$。当 $m = 0$ 时，方程无意义，因此A选项错误。
对于选项B，若方程的解是正数，则 $m + 5 ＞ 0$，即 $m ＞ -5$。但需要考虑分母 $x - 5 \neq 0$，即 $m + 5 - 5 \neq 0$，也就是 $m \neq 0$。所以，当 $m ＞ -5$ 且 $m \neq 0$ 时，方程的解是正数。B选项没有提到 $m \neq 0$ 的条件，因此B选项错误。
对于选项C，若方程的解是负数，则 $m + 5 ＜ 0$，即 $m ＜ -5$。同时，由于分母 $x - 5 \neq 0$，这个条件在 $m ＜ -5$ 时自动满足（因为 $m + 5 \neq 5$）。所以C选项正确。
对于选项D，由于已经确定C选项正确，所以D选项错误。
5.货车行驶$25\ km$与小车行驶$35\ km$所用的时间相同,已知小车每小时比货车多行驶$20\ km$,求两车的速度各为多少.设货车的速度为$x\ km/h$,依题意可列方程(
A.$\frac{25}{x} = \frac{35}{x - 20}$
B.$\frac{25}{x - 20} = \frac{35}{x}$
C.$\frac{25}{x} = \frac{35}{x + 20}$
D.$\frac{25}{x + 20} = \frac{35}{x}$
C
).A.$\frac{25}{x} = \frac{35}{x - 20}$
B.$\frac{25}{x - 20} = \frac{35}{x}$
C.$\frac{25}{x} = \frac{35}{x + 20}$
D.$\frac{25}{x + 20} = \frac{35}{x}$
答案
C
解析
设货车速度为$x$km/h，则小车速度为$(x + 20)$km/h。货车行驶25km时间为$\frac{25}{x}$，小车行驶35km时间为$\frac{35}{x + 20}$，由时间相同可列方程$\frac{25}{x} = \frac{35}{x + 20}$。
6.方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x - 2}$的解是
0
.答案
$x=0$（（横线上直接填写 $0$ 即可（根据题目要求，此处应填写解题的最终结果，即方程的解对应的数值）））
解析
首先，将方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x - 2}$两边同时乘以$(x - 1)(x - 2)$以消去分母，得到：
$(x - 2) = 2(x - 1)$，
展开并整理得：
$x - 2 = 2x - 2$，
进一步整理，移项得：
$-x = 0$，
从而解得：
$x = 0$，
将$x = 0$代入原方程进行检验，确认其满足方程，因此$x = 0$是原方程的解。
$(x - 2) = 2(x - 1)$，
展开并整理得：
$x - 2 = 2x - 2$，
进一步整理，移项得：
$-x = 0$，
从而解得：
$x = 0$，
将$x = 0$代入原方程进行检验，确认其满足方程，因此$x = 0$是原方程的解。
7.若式子$\frac{x - 2}{x - 4}$的值是$2$,则$x =$
6
.答案
6
解析
由题意得$\frac{x - 2}{x - 4} = 2$，两边同乘$x - 4$得$x - 2 = 2(x - 4)$，去括号得$x - 2 = 2x - 8$，移项得$x - 2x = -8 + 2$，合并同类项得$-x = -6$，系数化为1得$x = 6$。经检验，$x = 6$是原方程的解。
8.当$a =$
$\frac{1}{5}$
时,关于$x$的方程$\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2a - 3}{a + 5}$的根为$0$.答案
$\frac{1}{5}$
解析
将$x=0$代入方程$\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2a - 3}{a + 5}$，得$\frac{0 + 1}{0 - 2} = \frac{2a - 3}{a + 5}$，即$-\frac{1}{2} = \frac{2a - 3}{a + 5}$。交叉相乘得$-(a + 5) = 2(2a - 3)$，去括号得$-a - 5 = 4a - 6$，移项合并同类项得$-5a = -1$，解得$a = \frac{1}{5}$。经检验，$a = \frac{1}{5}$时，分母$a + 5 = \frac{1}{5} + 5 = \frac{26}{5} \neq 0$，原方程分母$x - 2 = -2 \neq 0$，所以$a = \frac{1}{5}$是方程的解。
9.若关于$x$的分式方程$\frac{2x - a}{x + 1} = 1$的解为正数,则$a$的取值范围是
$a ＞ -1$
.答案
$a ＞ -1$
解析
方程两边同乘$x + 1$得：$2x - a = x + 1$，解得$x = a + 1$。因为解为正数，所以$a + 1 ＞ 0$，即$a ＞ -1$。又因为分母不能为$0$，所以$x + 1 \neq 0$，即$a + 1 + 1 \neq 0$，$a \neq -2$。综上，$a ＞ -1$。
10.农机厂职工到距工厂$15\ km$的某地检修农机,一部分人骑自行车先走$40\ min$后,其余人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车速度为自行车速度的$3$倍,若设自行车的速度为$x\ km/h$,则所列方程为
$\frac{15}{x} - \frac{15}{3x} = \frac{2}{3}$
.答案
$\frac{15}{x} - \frac{15}{3x} = \frac{2}{3}$
解析
设自行车的速度为 $x$ km/h，则汽车的速度为 $3x$ km/h。
根据题意，自行车行驶的时间为 $\frac{15}{x}$ 小时，汽车行驶的时间为 $\frac{15}{3x}$ 小时。
由于自行车先行驶了 $40$ 分钟，即 $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ 小时，所以自行车行驶的总时间比汽车多 $\frac{2}{3}$ 小时。
因此可以列出方程：$\frac{15}{x} - \frac{15}{3x} = \frac{2}{3}$。
根据题意，自行车行驶的时间为 $\frac{15}{x}$ 小时，汽车行驶的时间为 $\frac{15}{3x}$ 小时。
由于自行车先行驶了 $40$ 分钟，即 $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ 小时，所以自行车行驶的总时间比汽车多 $\frac{2}{3}$ 小时。
因此可以列出方程：$\frac{15}{x} - \frac{15}{3x} = \frac{2}{3}$。
