登录
9. 某科技小组的同学想制作一个简易的密度计来测量液体的密度. 他们取了一个上端开口，底部有配重的薄壁玻璃筒，侧壁标有$0 ∼ 80 \mathrm{ mL}$体积刻度，将空玻璃筒开口向上放入水中，玻璃筒竖直漂浮. 向玻璃筒内加水至$50 \mathrm{ mL}$刻度线时，在玻璃筒与外侧水面相平处做记号线，如图甲所示. 将空玻璃筒开口向上放入待测液体中，向玻璃筒内加水至$30 \mathrm{ mL}$刻度线时，外侧待测液体液面恰好与玻璃筒记号线相平，如图乙所示. 已知玻璃筒重$0.5 \mathrm{ N}$. 求：($g$取$10 \mathrm{ N/kg}$, $\rho_{\mathrm{水}} = 1.0 \mathrm{ g/cm}^3$)
(1) 图甲玻璃筒受到的浮力的大小.
(2) 简易密度计上$30 \mathrm{ mL}$刻度线对应的密度值.
(1) 图甲玻璃筒受到的浮力的大小.
(2) 简易密度计上$30 \mathrm{ mL}$刻度线对应的密度值.
答案
(1) 解：
玻璃筒内水的重力：$G_{水}=m_{水}g=\rho_{水}V_{水}g=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×50×10^{-6}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}=0.5\ \mathrm{N}$
玻璃筒受到的浮力：$F_{浮}=G_{筒}+G_{水}=0.5\ \mathrm{N}+0.5\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{N}$
(2) 解：
玻璃筒内30mL水的重力：$G_{水}'=\rho_{水}V_{水}'g=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×30×10^{-6}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}=0.3\ \mathrm{N}$
此时玻璃筒受到的浮力：$F_{浮}'=G_{筒}+G_{水}'=0.5\ \mathrm{N}+0.3\ \mathrm{N}=0.8\ \mathrm{N}$
由$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，且$V_{排}$与图甲相同，$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1\ \mathrm{N}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
则待测液体密度：$\rho_{液}=\frac{F_{浮}'}{gV_{排}}=\frac{0.8\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$
玻璃筒内水的重力：$G_{水}=m_{水}g=\rho_{水}V_{水}g=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×50×10^{-6}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}=0.5\ \mathrm{N}$
玻璃筒受到的浮力：$F_{浮}=G_{筒}+G_{水}=0.5\ \mathrm{N}+0.5\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{N}$
(2) 解：
玻璃筒内30mL水的重力：$G_{水}'=\rho_{水}V_{水}'g=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×30×10^{-6}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}=0.3\ \mathrm{N}$
此时玻璃筒受到的浮力：$F_{浮}'=G_{筒}+G_{水}'=0.5\ \mathrm{N}+0.3\ \mathrm{N}=0.8\ \mathrm{N}$
由$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，且$V_{排}$与图甲相同，$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1\ \mathrm{N}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
则待测液体密度：$\rho_{液}=\frac{F_{浮}'}{gV_{排}}=\frac{0.8\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$
解析
【分析】
1. 对于第(1)问：玻璃筒在水中漂浮，根据漂浮条件，浮力等于玻璃筒与筒内水的总重力。首先利用密度公式和重力公式计算出筒内50mL水的重力，再加上玻璃筒自身的重力，即可得到玻璃筒受到的浮力。
2. 对于第(2)问：玻璃筒在待测液体中仍漂浮，浮力等于玻璃筒与筒内30mL水的总重力。由于两次记号线相平，说明玻璃筒排开液体的体积相同，先根据甲图的浮力和水的密度求出排开液体的体积，再利用阿基米德原理的变形公式求出待测液体的密度。
【解析】
(1) 计算图甲玻璃筒受到的浮力：
首先计算玻璃筒内水的重力：
已知$\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，$V_{水}=50\ \mathrm{mL}=50×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$
根据$G=mg=\rho Vg$，可得：
$G_{水}=\rho_{水}V_{水}g=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×50×10^{-6}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}=0.5\ \mathrm{N}$
因为玻璃筒漂浮，根据漂浮条件$F_{浮}=G_{总}$，总重力为玻璃筒重力与水的重力之和：
$F_{浮}=G_{筒}+G_{水}=0.5\ \mathrm{N}+0.5\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{N}$
(2) 计算简易密度计上30mL刻度线对应的密度值：
先计算玻璃筒内30mL水的重力：
$V_{水}'=30\ \mathrm{mL}=30×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$
$G_{水}'=\rho_{水}V_{水}'g=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×30×10^{-6}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}=0.3\ \mathrm{N}$
此时玻璃筒漂浮，浮力等于总重力：
$F_{浮}'=G_{筒}+G_{水}'=0.5\ \mathrm{N}+0.3\ \mathrm{N}=0.8\ \mathrm{N}$
由图甲可知，玻璃筒排开水的体积：
根据$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，变形得$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1\ \mathrm{N}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
因为图乙中待测液体液面与记号线相平，所以$V_{排}'=V_{排}=1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
再根据$F_{浮}'=\rho_{液}gV_{排}'$，变形得待测液体密度：
$\rho_{液}=\frac{F_{浮}'}{gV_{排}'}=\frac{0.8\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3}$（或$\boldsymbol{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}$）
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题考查漂浮条件与阿基米德原理的综合运用，解题关键是抓住“两次玻璃筒排开液体的体积相等”这一隐含条件，通过漂浮时浮力等于总重力建立等式，过程中需注意单位的统一与换算。
【难度系数】
0.6
1. 对于第(1)问：玻璃筒在水中漂浮，根据漂浮条件，浮力等于玻璃筒与筒内水的总重力。首先利用密度公式和重力公式计算出筒内50mL水的重力，再加上玻璃筒自身的重力，即可得到玻璃筒受到的浮力。
2. 对于第(2)问：玻璃筒在待测液体中仍漂浮，浮力等于玻璃筒与筒内30mL水的总重力。由于两次记号线相平，说明玻璃筒排开液体的体积相同，先根据甲图的浮力和水的密度求出排开液体的体积，再利用阿基米德原理的变形公式求出待测液体的密度。
【解析】
(1) 计算图甲玻璃筒受到的浮力：
首先计算玻璃筒内水的重力：
已知$\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，$V_{水}=50\ \mathrm{mL}=50×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$
根据$G=mg=\rho Vg$，可得：
$G_{水}=\rho_{水}V_{水}g=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×50×10^{-6}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}=0.5\ \mathrm{N}$
因为玻璃筒漂浮，根据漂浮条件$F_{浮}=G_{总}$，总重力为玻璃筒重力与水的重力之和：
$F_{浮}=G_{筒}+G_{水}=0.5\ \mathrm{N}+0.5\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{N}$
(2) 计算简易密度计上30mL刻度线对应的密度值：
先计算玻璃筒内30mL水的重力：
$V_{水}'=30\ \mathrm{mL}=30×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$
$G_{水}'=\rho_{水}V_{水}'g=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×30×10^{-6}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}=0.3\ \mathrm{N}$
此时玻璃筒漂浮，浮力等于总重力：
$F_{浮}'=G_{筒}+G_{水}'=0.5\ \mathrm{N}+0.3\ \mathrm{N}=0.8\ \mathrm{N}$
由图甲可知，玻璃筒排开水的体积：
根据$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，变形得$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1\ \mathrm{N}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
因为图乙中待测液体液面与记号线相平，所以$V_{排}'=V_{排}=1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
再根据$F_{浮}'=\rho_{液}gV_{排}'$，变形得待测液体密度：
$\rho_{液}=\frac{F_{浮}'}{gV_{排}'}=\frac{0.8\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3}$（或$\boldsymbol{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}$）
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题考查漂浮条件与阿基米德原理的综合运用，解题关键是抓住“两次玻璃筒排开液体的体积相等”这一隐含条件，通过漂浮时浮力等于总重力建立等式，过程中需注意单位的统一与换算。
【难度系数】
0.6
