23.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使得CF=BE,连接DF.

(1)求证:四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE,若$AB=13,OE=2\sqrt{13},$求AE的长.

23.解析:
(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore AD// BC$且$AD=BC$.
$\because BE=CF,AD=BC$,
$\therefore BC=EF$,$\therefore AD=EF$.
$\because AD// EF$,
$\therefore$ 四边形AEFD是平行四边形.
$\because AE ⊥ BC$,
$\therefore ∠ AEF=90°$,
$\therefore$ 四边形AEFD是矩形.
(2)$\because$ 四边形ABCD是菱形,$AB=13$,
$\therefore BC=AB=13$,$AC ⊥ BD$,$OA=OC=\frac{1}{2}AC$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD$.
$\because AE ⊥ BC$,
$\therefore ∠ AEC=90°$,
$\therefore OE=\frac{1}{2}AC=OA=2\sqrt{13}$,$AC=2OE=4\sqrt{13}$,
$\therefore OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{13^2-(2\sqrt{13})^2}=3\sqrt{13}$.
$\therefore BD=2OB=6\sqrt{13}$.
$\because$ 菱形ABCD的面积$=\frac{1}{2}BD × AC=BC × AE$,
即$\frac{1}{2} × 6\sqrt{13} × 4\sqrt{13}=13 × AE$,
解得$AE=12$.

24.为保护环境,某百货公司计划购买 A 型和 B 型两种环保节能灯,共购买 50 盏,且当天全部售出,其生产成本及销售单价如表所示:

设该百货公司每天购买 A 型节能灯 x 盏,每天销售两种型号的节能灯共获利润为 y 元.
(1)求出 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)若该百货公司计划每天采购这两种节能灯的总成本不超过 1 900 元,要使得每天所获利润最大,求每天应各购买多少盏 A 型和 B 型环保节能灯,并求出最大利润.

24.解析:
(1)由题意得$y=(50-40)x+(43-35)(50-x)=2x+400$.
$\therefore y$与$x$之间的函数关系式为$y=2x+400$.
(2)由题意得$40x+35(50-x) ≤ 1900$,
解得$x ≤ 30$.
$\because y=2x+400$,
$\therefore y$随$x$的增大而增大,
$\therefore x=30$时,$y$有最大值为$2 × 30+400=460$,
$50-x=50-30=20$,
$\therefore$ 每天应购买A型节能灯30盏和B型节能灯20盏,可使该厂一天所获得的利润最大,最大利润为460元.