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九年级
全一册
苏科版
1.在下图中,分别按要求画出圆O的内接正多边形.
(1)正三角形;(2)正方形;(3)正六边形;(4)正八边形.
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苏科版
1.在下图中,分别按要求画出圆O的内接正多边形.
(1)正三角形;(2)正方形;(3)正六边形;(4)正八边形.
答案
1.解析 如图所示(答案不唯一).
解析
【分析】
要画圆的内接正多边形，核心思路是将圆周n等分（n为正多边形的边数）：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等，将圆周n等分后，顺次连接各分点，得到的多边形各边相等、各内角也相等，就是圆的内接正n边形。
具体各图形的思考方向：
1. 正三角形：需把圆周3等分，每份圆心角为120°，也可利用正六边形边长等于半径的特点，先截出6个等分点，隔一个点顺次连接得到正三角形；
2. 正方形：需把圆周4等分，每份圆心角为90°，作两条互相垂直的直径即可得到4个等分点；
3. 正六边形：需把圆周6等分，每份圆心角为60°，正六边形边长等于圆的半径，直接用圆规以半径长在圆周上依次截取就能得到6个等分点；
4. 正八边形：需把圆周8等分，可在正方形4等分圆周的基础上，再平分每段弧得到8个等分点。
【解析】
作图步骤如下：
(1) 正三角形：
方法1：用量角器以圆心O为顶点，依次画出3个120°的圆心角，角的边与圆周交于3个点，顺次连接这3个点即得圆内接正三角形；
方法2：用圆规取半径长度，在圆周上依次截取得到6个等分点，每隔1个点顺次连接，也可得正三角形。
(2) 正方形：
过圆心O画两条互相垂直的直径，直径与圆周交于4个点，顺次连接这4个点即得圆内接正方形。
(3) 正六边形：
用圆规取半径长度，以圆周上任意一点为起点，依次在圆周上截取长度等于半径的弧，得到6个等分点，顺次连接这6个点即得圆内接正六边形。
(4) 正八边形：
先按画正方形的方法得到4个等分点，再作各段弧的垂直平分线，与圆周交于另外4个点，共得到8个等分点，顺次连接这8个点即得圆内接正八边形。
【答案】
【知识点】
正多边形与圆；等分圆周；尺规作图
【点评】
本题是基础作图类题目，考查圆内接正多边形的画法，解题关键是理解正多边形和圆的关系，掌握常见正多边形的等分圆周方法，熟练后可快速完成常规正多边形的作图。
【难度系数】
0.8
要画圆的内接正多边形，核心思路是将圆周n等分（n为正多边形的边数）：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等，将圆周n等分后，顺次连接各分点，得到的多边形各边相等、各内角也相等，就是圆的内接正n边形。
具体各图形的思考方向：
1. 正三角形：需把圆周3等分，每份圆心角为120°，也可利用正六边形边长等于半径的特点，先截出6个等分点，隔一个点顺次连接得到正三角形；
2. 正方形：需把圆周4等分，每份圆心角为90°，作两条互相垂直的直径即可得到4个等分点；
3. 正六边形：需把圆周6等分，每份圆心角为60°，正六边形边长等于圆的半径，直接用圆规以半径长在圆周上依次截取就能得到6个等分点；
4. 正八边形：需把圆周8等分，可在正方形4等分圆周的基础上，再平分每段弧得到8个等分点。
【解析】
作图步骤如下：
(1) 正三角形：
方法1：用量角器以圆心O为顶点，依次画出3个120°的圆心角，角的边与圆周交于3个点，顺次连接这3个点即得圆内接正三角形；
方法2：用圆规取半径长度，在圆周上依次截取得到6个等分点，每隔1个点顺次连接，也可得正三角形。
(2) 正方形：
过圆心O画两条互相垂直的直径，直径与圆周交于4个点，顺次连接这4个点即得圆内接正方形。
(3) 正六边形：
用圆规取半径长度，以圆周上任意一点为起点，依次在圆周上截取长度等于半径的弧，得到6个等分点，顺次连接这6个点即得圆内接正六边形。
(4) 正八边形：
先按画正方形的方法得到4个等分点，再作各段弧的垂直平分线，与圆周交于另外4个点，共得到8个等分点，顺次连接这8个点即得圆内接正八边形。
【答案】
【知识点】
正多边形与圆；等分圆周；尺规作图
【点评】
本题是基础作图类题目，考查圆内接正多边形的画法，解题关键是理解正多边形和圆的关系，掌握常见正多边形的等分圆周方法，熟练后可快速完成常规正多边形的作图。
【难度系数】
0.8
2.「2025江苏无锡锡山期末」如图,将$\odot O$的圆周12等分,点A,B,C是等分点,则$∠ ADB$的度数可能为 (
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$65°$
D
)A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
2.D 连接 OA,OB(图略),由题意得,∠AOB = $\frac{4}{12}×$
$360°=120°,∴ ∠ACB=\frac{1}{2}×120°=60°$,又
∵ ∠ADB 是
$△ BCD$的一个外角,$∴ ∠ADB＞∠ACB$,即$∠ADB＞60°$.
故选 D.
$360°=120°,∴ ∠ACB=\frac{1}{2}×120°=60°$,又
∵ ∠ADB 是
$△ BCD$的一个外角,$∴ ∠ADB＞∠ACB$,即$∠ADB＞60°$.
故选 D.
解析
【分析】
解题时首先明确圆周12等分意味着每等份对应的圆心角为30°，观察图形可知∠ADB是△BCD的外角，根据三角形外角性质，它大于不相邻的内角∠ACB，因此先求出∠ACB的度数即可得到∠ADB的取值范围，再结合选项判断即可。求∠ACB时可利用圆周角定理，先算出弧AB对应的圆心角，再取一半得到圆周角∠ACB的大小。
【解析】
连接OA、OB：
1. 计算每等份对应的圆心角：$\because$圆周被12等分，$\therefore$每等份对应的圆心角为$\frac{360°}{12}=30°$，弧AB共占4等份，因此$∠ AOB=4×30°=120°$。
2. 求∠ACB的度数：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$\therefore∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
3. 推导∠ADB的范围：$\because∠ ADB$是$△ BCD$的外角，根据三角形外角性质，三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角，$\therefore∠ ADB＞∠ ACB$，即$∠ ADB＞60°$。
4. 结合选项判断：仅65°满足$∠ ADB＞60°$的要求。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，圆的等分计算
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题的关键是通过外角性质将所求角转化为和已知圆周角比较大小，避免直接计算∠ADB的复杂过程，解题时要准确数出弧对应的等份数，正确计算圆心角的度数。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确圆周12等分意味着每等份对应的圆心角为30°，观察图形可知∠ADB是△BCD的外角，根据三角形外角性质，它大于不相邻的内角∠ACB，因此先求出∠ACB的度数即可得到∠ADB的取值范围，再结合选项判断即可。求∠ACB时可利用圆周角定理，先算出弧AB对应的圆心角，再取一半得到圆周角∠ACB的大小。
【解析】
连接OA、OB：
1. 计算每等份对应的圆心角：$\because$圆周被12等分，$\therefore$每等份对应的圆心角为$\frac{360°}{12}=30°$，弧AB共占4等份，因此$∠ AOB=4×30°=120°$。
2. 求∠ACB的度数：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$\therefore∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
3. 推导∠ADB的范围：$\because∠ ADB$是$△ BCD$的外角，根据三角形外角性质，三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角，$\therefore∠ ADB＞∠ ACB$，即$∠ ADB＞60°$。
4. 结合选项判断：仅65°满足$∠ ADB＞60°$的要求。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，圆的等分计算
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题的关键是通过外角性质将所求角转化为和已知圆周角比较大小，避免直接计算∠ADB的复杂过程，解题时要准确数出弧对应的等份数，正确计算圆心角的度数。
【难度系数】
0.7
3.「2025江苏徐州铜山一模」如图，若干个全等的正五边形围绕$\odot O$紧密排列一周.图中所示的是其中3个正五边形的位置，正五边形与$\odot O$的交点分别记作$A_1,A_2,\dots,A_n$，顺次连接$A_1A_2,A_2A_3,\dots,A_nA_1$，所得图形是（
A.正五边形
B.正八边形
C.正十边形
D.正十二边形
C
）A.正五边形
B.正八边形
C.正十边形
D.正十二边形
答案
3.C
∵ 正五边形的每一个内角的度数为
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°,∴ ∠A_1OA_2 = 180°-2×(180°-$
$108°)=36°$,即正多边形$A_1A_2A_3…A_{n-1}A_n$的中心角为
$36°,∴ $这个正多边形的边数为$360°÷36°=10$,所以这
个正多边形是正十边形.故选 C.
∵ 正五边形的每一个内角的度数为
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°,∴ ∠A_1OA_2 = 180°-2×(180°-$
$108°)=36°$,即正多边形$A_1A_2A_3…A_{n-1}A_n$的中心角为
$36°,∴ $这个正多边形的边数为$360°÷36°=10$,所以这
个正多边形是正十边形.故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题，需先确定顺次连接交点得到的正多边形的中心角，再结合周角性质计算边数即可判断图形类型。第一步先利用正多边形内角公式计算正五边形的内角度数；第二步结合三角形内角和定理，推导相邻交点与圆心O形成的中心角的度数；第三步用周角360°除以中心角度数，得到正多边形的边数，即可确定图形。
【解析】
首先根据正多边形内角公式计算正五边形的每个内角的度数：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
观察图形可得，$△ OA_1A_2$的两个底角均为正五边形的外角，大小为$180°-108°=72°$，根据三角形内角和为$180°$，可得中心角：
$∠ A_1OA_2=180°-2×72°=36°$
正多边形的边数等于周角除以中心角的度数，即：
$360°÷36°=10$
因此所得图形是正十边形。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算；正多边形与圆；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查正多边形的相关性质，解题核心是找到所求正多边形的中心角与正五边形内角的关系，能较好地考查学生的几何分析能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先确定顺次连接交点得到的正多边形的中心角，再结合周角性质计算边数即可判断图形类型。第一步先利用正多边形内角公式计算正五边形的内角度数；第二步结合三角形内角和定理，推导相邻交点与圆心O形成的中心角的度数；第三步用周角360°除以中心角度数，得到正多边形的边数，即可确定图形。
【解析】
首先根据正多边形内角公式计算正五边形的每个内角的度数：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
观察图形可得，$△ OA_1A_2$的两个底角均为正五边形的外角，大小为$180°-108°=72°$，根据三角形内角和为$180°$，可得中心角：
$∠ A_1OA_2=180°-2×72°=36°$
正多边形的边数等于周角除以中心角的度数，即：
$360°÷36°=10$
因此所得图形是正十边形。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算；正多边形与圆；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查正多边形的相关性质，解题核心是找到所求正多边形的中心角与正五边形内角的关系，能较好地考查学生的几何分析能力。
【难度系数】
0.7
4.「2025浙江绍兴诸暨月考」正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固.如图,某蜂巢房孔的开口是边长为4的正六边形ABCDEF,点O是正六边形的中心,则BF的长为 (
A.8
B.$4\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{2}$
D.4
B
)A.8
B.$4\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{2}$
D.4
答案
4.B 解析 由题意得,$AF = AB = 4$,$∠BAF = 180°-$
$\frac{360°}{6}=120°,∴ ∠AFB = ∠ABF = 30°$,
如图,作$AM⊥BF$于点M,
$∴ BM = FM$,$AM=\frac{1}{2}AF=2$,
在$Rt△AMF$中,由勾股定理得,$FM = \sqrt{AF^2-AM^2}=$
$2\sqrt{3}$,
$∴ BM = FM = 2\sqrt{3}$,
$∴ BF = BM + FM = 4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要求BF的长度，首先观察BF所在的△ABF：根据正六边形的性质可知，正六边形各边相等、每个内角均为120°，因此可得AB=AF=4，△ABF是顶角为120°的等腰三角形。此时我们可以通过作高构造直角三角形，借助等腰三角形三线合一的性质，将BF拆分为两段相等的线段，再结合30°直角三角形的性质和勾股定理计算单段长度，乘2即可得到BF的总长度。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF的边长为4，
∴$AB = AF = 4$，正六边形的内角$∠ BAF=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
∴$∠ AFB=∠ ABF=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
如图，过点A作$AM⊥ BF$于点M，根据等腰三角形三线合一的性质，得$BM=FM$。
在$Rt△ AMF$中，$∠ AFM=30°$，
∴$AM=\frac{1}{2}AF=2$，
由勾股定理得：$FM=\sqrt{AF^2-AM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$BF=BM+FM=2FM=4\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题以生活中的蜂巢结构为载体，将几何知识和实际场景结合，考查正多边形性质与直角三角形相关计算的应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将等腰三角形的边长求解转化为直角三角形的边长计算，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.7
要求BF的长度，首先观察BF所在的△ABF：根据正六边形的性质可知，正六边形各边相等、每个内角均为120°，因此可得AB=AF=4，△ABF是顶角为120°的等腰三角形。此时我们可以通过作高构造直角三角形，借助等腰三角形三线合一的性质，将BF拆分为两段相等的线段，再结合30°直角三角形的性质和勾股定理计算单段长度，乘2即可得到BF的总长度。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF的边长为4，
∴$AB = AF = 4$，正六边形的内角$∠ BAF=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
∴$∠ AFB=∠ ABF=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
如图，过点A作$AM⊥ BF$于点M，根据等腰三角形三线合一的性质，得$BM=FM$。
在$Rt△ AMF$中，$∠ AFM=30°$，
∴$AM=\frac{1}{2}AF=2$，
由勾股定理得：$FM=\sqrt{AF^2-AM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$BF=BM+FM=2FM=4\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题以生活中的蜂巢结构为载体，将几何知识和实际场景结合，考查正多边形性质与直角三角形相关计算的应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将等腰三角形的边长求解转化为直角三角形的边长计算，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.7
5.「★☆」下列命题:①各边相等的多边形是正多边形;②正多边形是中心对称图形;③正六边形的外接圆半径与边长相等;④正n边形共有n条对称轴.其中真命题的个数为 (
A.4
B.3
C.2
D.1
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
5.C 各边相等、各角相等的多边形是正多边形,只有各
边相等的多边形不一定是正多边形,如菱形,故①是
假命题;正三角形和正五边形就不是中心对称图形,
故②为假命题;易知③为真命题;根据轴对称图形的
定义和正多边形的特点,可知正n边形共有n条对称
轴,故④为真命题.故选 C.
边相等的多边形不一定是正多边形,如菱形,故①是
假命题;正三角形和正五边形就不是中心对称图形,
故②为假命题;易知③为真命题;根据轴对称图形的
定义和正多边形的特点,可知正n边形共有n条对称
轴,故④为真命题.故选 C.
解析
【分析】
要确定真命题的个数，需结合正多边形的定义、相关性质，逐一验证4个命题的真假：先依据正多边形的判定条件判断命题①，再结合中心对称图形的概念判断命题②，接着分析正六边形外接圆半径与边长的关系判断命题③，最后根据正多边形的轴对称性判断命题④，统计真命题的个数即可得到结果。
【解析】
逐个分析各命题：
① 正多边形的判定要求同时满足“各边相等、各角相等”，仅各边相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形四条边相等，但内角不一定都相等，因此①是假命题；
② 中心对称图形是绕中心旋转180°后能与自身重合的图形，边数为奇数的正多边形（如正三角形、正五边形）不满足该性质，因此不是所有正多边形都是中心对称图形，②是假命题；
③ 正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，外接圆的两条半径与正六边形的边长构成等边三角形，因此正六边形的外接圆半径与边长相等，③是真命题；
④ 正n边形的对称轴要么过顶点和中心，要么过边的中点和中心，共有n条对称轴，④是真命题。
综上，真命题为③④，共2个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；中心对称图形；轴对称图形
【点评】
本题考查正多边形的基础概念，解题时需准确把握正多边形的判定条件，牢记特殊正多边形的性质，避免因概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.7
要确定真命题的个数，需结合正多边形的定义、相关性质，逐一验证4个命题的真假：先依据正多边形的判定条件判断命题①，再结合中心对称图形的概念判断命题②，接着分析正六边形外接圆半径与边长的关系判断命题③，最后根据正多边形的轴对称性判断命题④，统计真命题的个数即可得到结果。
【解析】
逐个分析各命题：
① 正多边形的判定要求同时满足“各边相等、各角相等”，仅各边相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形四条边相等，但内角不一定都相等，因此①是假命题；
② 中心对称图形是绕中心旋转180°后能与自身重合的图形，边数为奇数的正多边形（如正三角形、正五边形）不满足该性质，因此不是所有正多边形都是中心对称图形，②是假命题；
③ 正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，外接圆的两条半径与正六边形的边长构成等边三角形，因此正六边形的外接圆半径与边长相等，③是真命题；
④ 正n边形的对称轴要么过顶点和中心，要么过边的中点和中心，共有n条对称轴，④是真命题。
综上，真命题为③④，共2个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；中心对称图形；轴对称图形
【点评】
本题考查正多边形的基础概念，解题时需准确把握正多边形的判定条件，牢记特殊正多边形的性质，避免因概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.7
6.「2025江苏苏州景城学校期中，★☆」如图，在正n边形中，∠1=20°，则n的值是（
A.16
B.18
C.20
D.36
B
）A.16
B.18
C.20
D.36
答案
6.B 如图,令正n边形的中心为点O,连接OA,OB,OC,
由圆周角定理得$∠AOC = 2∠1 = 40°$,$∵ AB = BC$,
$∴ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,$∴ ∠AOB = ∠BOC = 20°$,$∴ n=\frac{360°}{20°}=18$.故
选 B.
解析
【分析】
我们可以结合正多边形的外接圆性质和圆周角定理逐步求解：首先正n边形的所有顶点都在同一个外接圆上，已知的∠1是外接圆上的圆周角，它所对的弧对应的圆心角是圆周角的2倍，可先求出该圆心角的度数；再根据正n边形各边相等，对应各段弧也相等，就能求出单条边对应的中心角的度数；最后根据正n边形的中心角总和为360°，用360°除以单个中心角的度数即可得到边数n。
【解析】
令正n边形的外接圆圆心（即正n边形的中心）为点O，连接OA，OB，OC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOC = 2∠ 1 = 2×20°=40°$。
∵正n边形的各边相等，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOC=20°$。
∵正n边形所有中心角的和为$360°$，且每个中心角的度数都相等，
∴$n=\frac{360°}{20°}=18$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，正多边形的中心角，正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握正多边形的外接圆性质，明确正多边形每条边对应的中心角相等，结合圆周角和圆心角的数量关系求出单个中心角的度数，再利用中心角总和求解边数。
【难度系数】
0.7
我们可以结合正多边形的外接圆性质和圆周角定理逐步求解：首先正n边形的所有顶点都在同一个外接圆上，已知的∠1是外接圆上的圆周角，它所对的弧对应的圆心角是圆周角的2倍，可先求出该圆心角的度数；再根据正n边形各边相等，对应各段弧也相等，就能求出单条边对应的中心角的度数；最后根据正n边形的中心角总和为360°，用360°除以单个中心角的度数即可得到边数n。
【解析】
令正n边形的外接圆圆心（即正n边形的中心）为点O，连接OA，OB，OC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOC = 2∠ 1 = 2×20°=40°$。
∵正n边形的各边相等，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOC=20°$。
∵正n边形所有中心角的和为$360°$，且每个中心角的度数都相等，
∴$n=\frac{360°}{20°}=18$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，正多边形的中心角，正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握正多边形的外接圆性质，明确正多边形每条边对应的中心角相等，结合圆周角和圆心角的数量关系求出单个中心角的度数，再利用中心角总和求解边数。
【难度系数】
0.7
7.「2026江苏南京求真中学月考，★☆」如图，已知正五边形ABCDE，经过C，D两点的⊙O与AB，AE分别相切于点M，N，连接CM，CN，则∠MCN=
36
°。答案
7.答案 36
解析 如图,连接OM,
$∵ ⊙O$与AB,AE分别相切于点M,N,$∴ ∠OMA =$
$∠ONA = 90°$,
$∵ $五边形 ABCDE 是正五边形,
$∴ ∠A=\frac{180°×(5-2)}{5}=108°$,
$∴ ∠MON = 360°-∠A-∠OMA-∠ONA = 72°$,
$∴ ∠MCN=\frac{1}{2}∠MON = 36°$.
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：已知圆与AB、AE相切，首先回忆切线的性质，即圆的切线垂直于过切点的半径，因此连接OM、ON可得到两个直角；再结合正五边形的性质，利用正多边形内角公式求出∠A的度数；随后在四边形OMAN中，根据四边形内角和为360°计算出圆心角∠MON的度数；最后利用圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠MCN的度数。
【解析】
如图，连接OM，ON
∵ ⊙O与AB，AE分别相切于点M，N，
∴ ∠OMA = ∠ONA = 90°，
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ $∠ A=\frac{180°×(5-2)}{5}=108°$，
∴ $∠ MON = 360°-∠ A-∠ OMA-∠ ONA=360°-108°-90°-90°=72°$，
∵ ∠MCN是弧MN所对的圆周角，∠MON是弧MN所对的圆心角，
∴ $∠ MCN=\frac{1}{2}∠ MON=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
36
【知识点】
切线的性质；正多边形的内角；圆周角定理
【点评】
本题是基础综合题，结合了圆与正多边形的相关性质进行考察，解题的核心是正确作出辅助线构造四边形求出圆心角，熟练掌握各基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题干条件：已知圆与AB、AE相切，首先回忆切线的性质，即圆的切线垂直于过切点的半径，因此连接OM、ON可得到两个直角；再结合正五边形的性质，利用正多边形内角公式求出∠A的度数；随后在四边形OMAN中，根据四边形内角和为360°计算出圆心角∠MON的度数；最后利用圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠MCN的度数。
【解析】
如图，连接OM，ON
∵ ⊙O与AB，AE分别相切于点M，N，
∴ ∠OMA = ∠ONA = 90°，
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ $∠ A=\frac{180°×(5-2)}{5}=108°$，
∴ $∠ MON = 360°-∠ A-∠ OMA-∠ ONA=360°-108°-90°-90°=72°$，
∵ ∠MCN是弧MN所对的圆周角，∠MON是弧MN所对的圆心角，
∴ $∠ MCN=\frac{1}{2}∠ MON=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
36
【知识点】
切线的性质；正多边形的内角；圆周角定理
【点评】
本题是基础综合题，结合了圆与正多边形的相关性质进行考察，解题的核心是正确作出辅助线构造四边形求出圆心角，熟练掌握各基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
