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1 如图，已知等腰$△ AEN$中，$AE=AN$，分别以$AE$、$AN$为边，作正五边形$ABCDE$与正方形$ABMN$，则$∠ AEN$的度数为(
A.$9°$
B.$10°$
C.$15°$
D.$20°$
A
)。A.$9°$
B.$10°$
C.$15°$
D.$20°$
答案
1.A
解析
【分析】
要计算等腰△AEN的底角∠AEN，已知AE=AN，因此只需求出顶角∠EAN的度数，再结合三角形内角和定理、等腰三角形两底角相等的性质即可求解。求∠EAN时，先分别算出正五边形的内角∠EAB、正方形的内角∠BAN，再利用周角为360°，用360°减去上述两个角的度数就能得到∠EAN的大小。
【解析】
1. 计算正五边形的内角：正多边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，正五边形每个内角度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，因此$∠ EAB=108°$。
2. 正方形的每个内角为90°，因此$∠ BAN=90°$。
3. 计算$∠ EAN$：围绕点A的周角为360°，因此$∠ EAN=360°-∠ EAB-∠ BAN=360°-108°-90°=162°$。
4. 等腰△AEN中，AE=AN，所以$∠ AEN=∠ ANE$，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ AEN=\frac{180°-∠ EAN}{2}=\frac{180°-162°}{2}=9°$
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角计算、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于多边形和三角形性质的综合基础题，解题的关键是结合图形找准点A处各角的和差关系，计算时注意正多边形内角公式的正确运用，避免角的度数计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算等腰△AEN的底角∠AEN，已知AE=AN，因此只需求出顶角∠EAN的度数，再结合三角形内角和定理、等腰三角形两底角相等的性质即可求解。求∠EAN时，先分别算出正五边形的内角∠EAB、正方形的内角∠BAN，再利用周角为360°，用360°减去上述两个角的度数就能得到∠EAN的大小。
【解析】
1. 计算正五边形的内角：正多边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，正五边形每个内角度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，因此$∠ EAB=108°$。
2. 正方形的每个内角为90°，因此$∠ BAN=90°$。
3. 计算$∠ EAN$：围绕点A的周角为360°，因此$∠ EAN=360°-∠ EAB-∠ BAN=360°-108°-90°=162°$。
4. 等腰△AEN中，AE=AN，所以$∠ AEN=∠ ANE$，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ AEN=\frac{180°-∠ EAN}{2}=\frac{180°-162°}{2}=9°$
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角计算、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于多边形和三角形性质的综合基础题，解题的关键是结合图形找准点A处各角的和差关系，计算时注意正多边形内角公式的正确运用，避免角的度数计算错误。
【难度系数】
0.7
② 如图，$\odot O$与正八边形ABCDEFGH相切于点A、E，则AE所对圆心角的度数为（
A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
D
）。A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
答案
2.D
解析
【分析】
要计算AE所对的圆心角即∠AOE的度数，可按以下思路推导：1. 先利用多边形内角和公式求出正八边形每个内角的度数；2. 根据切线性质，过切点的半径垂直于切线，可得OA⊥AB、OE⊥DE，得到两个90°的角；3. 观察由O、A、B、C、D、E组成的六边形，用六边形内角和减去其余5个已知内角的度数，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
解：① 计算正八边形的内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正八边形边数$n=8$，
则内角和为$(8-2)×180°=1080°$，
单个内角的度数为$1080°÷8=135°$，因此$∠ B=∠ C=∠ D=135°$。
② 由切线性质可知：圆的切线垂直于过切点的半径，
已知$\odot O$与正八边形相切于A、E，AB、DE为过切点的边，
因此$OA⊥ AB$，$OE⊥ DE$，即$∠ OAB=∠ OED=90°$。
③ 六边形OABCDE的内角和为$(6-2)×180°=720°$，
则$∠ AOE=720°-∠ OAB-∠ B-∠ C-∠ D-∠ OED$，
代入数值计算：
$∠ AOE=720°-90°-135°-135°-135°-90°=135°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的内角、切线的性质、多边形内角和
【点评】
本题结合正多边形和圆的性质考查角度计算，解题关键是合理构造包含所求圆心角的多边形，灵活运用内角和公式运算，属于基础综合类考题。
【难度系数】
0.7
要计算AE所对的圆心角即∠AOE的度数，可按以下思路推导：1. 先利用多边形内角和公式求出正八边形每个内角的度数；2. 根据切线性质，过切点的半径垂直于切线，可得OA⊥AB、OE⊥DE，得到两个90°的角；3. 观察由O、A、B、C、D、E组成的六边形，用六边形内角和减去其余5个已知内角的度数，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
解：① 计算正八边形的内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正八边形边数$n=8$，
则内角和为$(8-2)×180°=1080°$，
单个内角的度数为$1080°÷8=135°$，因此$∠ B=∠ C=∠ D=135°$。
② 由切线性质可知：圆的切线垂直于过切点的半径，
已知$\odot O$与正八边形相切于A、E，AB、DE为过切点的边，
因此$OA⊥ AB$，$OE⊥ DE$，即$∠ OAB=∠ OED=90°$。
③ 六边形OABCDE的内角和为$(6-2)×180°=720°$，
则$∠ AOE=720°-∠ OAB-∠ B-∠ C-∠ D-∠ OED$，
代入数值计算：
$∠ AOE=720°-90°-135°-135°-135°-90°=135°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的内角、切线的性质、多边形内角和
【点评】
本题结合正多边形和圆的性质考查角度计算，解题关键是合理构造包含所求圆心角的多边形，灵活运用内角和公式运算，属于基础综合类考题。
【难度系数】
0.7
3 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,对角线BD垂直平分半径OC,若$∠ ABD=50°$,则$∠ ADC$的大小为(
A.$130°$
B.$120°$
C.$110°$
D.$100°$
D
)。A.$130°$
B.$120°$
C.$110°$
D.$100°$
答案
3.D
解析
【分析】解题时先从已知条件BD垂直平分半径OC入手：首先根据垂直平分线的性质和圆半径相等，可推出△OBC是等边三角形，得到∠BOC=60°；再结合垂径定理，OC垂直BD可得弧BC=弧CD，进而得到∠DBC的度数；接着将∠ABD和∠DBC相加得到∠ABC的度数；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ADC的大小。
【解析】连接OB，设OC与BD交于点E。
1.
∵BD垂直平分OC，
∴OB=BC，OE=½OC。
2. 又
∵OB=OC（⊙O的半径相等），
∴OB=OC=BC，即△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°。
3.
∵OC⊥BD，根据垂径定理，OC平分弧BD，
∴弧BC=弧CD。
4. ∠DBC是弧CD所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴∠DBC=½∠BOC=½×60°=30°。
5.
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=50°+30°=80°。
6.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=180°-80°=100°。
【答案】D
【知识点】垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】本题是圆性质的综合应用题，核心是通过垂直平分线的条件推出等边三角形，得到对应角的度数，再结合圆内接四边形的性质求解，熟练掌握圆中角、弧的对应关系是解题的关键。
【难度系数】0.6
【解析】连接OB，设OC与BD交于点E。
1.
∵BD垂直平分OC，
∴OB=BC，OE=½OC。
2. 又
∵OB=OC（⊙O的半径相等），
∴OB=OC=BC，即△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°。
3.
∵OC⊥BD，根据垂径定理，OC平分弧BD，
∴弧BC=弧CD。
4. ∠DBC是弧CD所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴∠DBC=½∠BOC=½×60°=30°。
5.
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=50°+30°=80°。
6.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=180°-80°=100°。
【答案】D
【知识点】垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】本题是圆性质的综合应用题，核心是通过垂直平分线的条件推出等边三角形，得到对应角的度数，再结合圆内接四边形的性质求解，熟练掌握圆中角、弧的对应关系是解题的关键。
【难度系数】0.6
4 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AD为$\odot O$的直径，点B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，过点C作$CE // AB$交AD于点E。若$∠ CED=75°$，则$∠ ABC$的度数为（
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
D
）。A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
4.D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用平行线的同位角相等，由CE//AB和已知∠CED的度数求出∠BAD的度数；第二步，结合圆周角定理，由∠BAD的度数求出其所对弧BD的度数；第三步，根据AD是直径得到劣弧AD的度数为180°，进而求出弧AB的度数；第四步，由B是弧AC的中点得到弧AB与弧BC度数相等，求出劣弧AC的度数；第五步，利用圆周角定理或圆内接四边形对角互补的性质，计算得到∠ABC的度数。
【解析】
1. 由平行线的性质：两直线平行，同位角相等，
∵ $ CE // AB $，$ ∠ CED=75° $，
∴ $ ∠ BAD=∠ CED=75° $。
2. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
$ ∠ BAD $ 是弧BD所对的圆周角，
∴ 弧BD的度数为 $ 2×75°=150° $。
3.
∵ AD是$ \odot O $的直径，
∴ 劣弧AD的度数为 $ 180° $，
∴ 弧AB的度数为 $ 180° - 150°=30° $。
4.
∵ B是$ \overset{\frown}{AC} $的中点，
∴ $ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC} $，弧BC的度数也为$ 30° $，
∴ 劣弧AC的度数为 $ 30°+30°=60° $。
5. 方法1：$ ∠ ABC $是优弧ADC所对的圆周角，
优弧ADC的度数为 $ 360° - 60°=300° $，
∴ $ ∠ ABC=\frac{1}{2}×300°=150° $。
方法2：劣弧AC所对的圆周角$ ∠ ADC=\frac{1}{2}×60°=30° $，
由圆内接四边形对角互补，$ ∠ ABC+∠ ADC=180° $，
得$ ∠ ABC=180° - 30°=150° $。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将平行线性质和圆的核心性质结合考查，解题的关键是准确找到圆周角对应的弧，理清弧之间的数量关系，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，利用平行线的同位角相等，由CE//AB和已知∠CED的度数求出∠BAD的度数；第二步，结合圆周角定理，由∠BAD的度数求出其所对弧BD的度数；第三步，根据AD是直径得到劣弧AD的度数为180°，进而求出弧AB的度数；第四步，由B是弧AC的中点得到弧AB与弧BC度数相等，求出劣弧AC的度数；第五步，利用圆周角定理或圆内接四边形对角互补的性质，计算得到∠ABC的度数。
【解析】
1. 由平行线的性质：两直线平行，同位角相等，
∵ $ CE // AB $，$ ∠ CED=75° $，
∴ $ ∠ BAD=∠ CED=75° $。
2. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
$ ∠ BAD $ 是弧BD所对的圆周角，
∴ 弧BD的度数为 $ 2×75°=150° $。
3.
∵ AD是$ \odot O $的直径，
∴ 劣弧AD的度数为 $ 180° $，
∴ 弧AB的度数为 $ 180° - 150°=30° $。
4.
∵ B是$ \overset{\frown}{AC} $的中点，
∴ $ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC} $，弧BC的度数也为$ 30° $，
∴ 劣弧AC的度数为 $ 30°+30°=60° $。
5. 方法1：$ ∠ ABC $是优弧ADC所对的圆周角，
优弧ADC的度数为 $ 360° - 60°=300° $，
∴ $ ∠ ABC=\frac{1}{2}×300°=150° $。
方法2：劣弧AC所对的圆周角$ ∠ ADC=\frac{1}{2}×60°=30° $，
由圆内接四边形对角互补，$ ∠ ABC+∠ ADC=180° $，
得$ ∠ ABC=180° - 30°=150° $。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将平行线性质和圆的核心性质结合考查，解题的关键是准确找到圆周角对应的弧，理清弧之间的数量关系，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
5 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD、BD，OP ⊥ BD于点P，若BD=4√3，∠BCD=120°，则⊙O的半径长为(
A.2√3
B.2
C.3
D.4
D
)。A.2√3
B.2
C.3
D.4
答案
5.D
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：①先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出弧BD对应的圆周角∠BAD的度数；②再根据圆周角定理，得到同弧对应的圆心角∠BOD的度数；③结合垂径定理，由OP⊥BD求出BP的长度，同时等腰△BOD中OP平分顶角∠BOD，得到直角△OPB中的锐角角度；④最后通过解直角三角形求出半径OB的长度。
【解析】
1. 求∠BAD的度数：
∵四边形ABCD内接于⊙O，圆内接四边形对角互补
∴∠BAD + ∠BCD = 180°
已知∠BCD=120°，则∠BAD=180°-120°=60°
2. 求圆心角∠BOD的度数：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°
3. 由垂径定理求BP的长度：
∵OB=OD（均为⊙O半径），OP⊥BD
根据垂径定理，P为BD中点，且OP平分∠BOD
∴BP=½BD=½×4√3=2√3，∠BOP=½∠BOD=60°
4. 解直角三角形求半径：
在Rt△OPB中，∠OPB=90°，sin∠BOP=BP/OB
代入sin60°=√3/2，BP=2√3得：
√3/2 = 2√3 / OB
解得OB=4，即⊙O的半径为4
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是将圆的性质和直角三角形计算结合，解题关键是通过已知角度推导圆心角，再利用垂径定理构造直角三角形求解，是圆章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：①先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出弧BD对应的圆周角∠BAD的度数；②再根据圆周角定理，得到同弧对应的圆心角∠BOD的度数；③结合垂径定理，由OP⊥BD求出BP的长度，同时等腰△BOD中OP平分顶角∠BOD，得到直角△OPB中的锐角角度；④最后通过解直角三角形求出半径OB的长度。
【解析】
1. 求∠BAD的度数：
∵四边形ABCD内接于⊙O，圆内接四边形对角互补
∴∠BAD + ∠BCD = 180°
已知∠BCD=120°，则∠BAD=180°-120°=60°
2. 求圆心角∠BOD的度数：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°
3. 由垂径定理求BP的长度：
∵OB=OD（均为⊙O半径），OP⊥BD
根据垂径定理，P为BD中点，且OP平分∠BOD
∴BP=½BD=½×4√3=2√3，∠BOP=½∠BOD=60°
4. 解直角三角形求半径：
在Rt△OPB中，∠OPB=90°，sin∠BOP=BP/OB
代入sin60°=√3/2，BP=2√3得：
√3/2 = 2√3 / OB
解得OB=4，即⊙O的半径为4
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是将圆的性质和直角三角形计算结合，解题关键是通过已知角度推导圆心角，再利用垂径定理构造直角三角形求解，是圆章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
6 如图,在正五边形ABCDE中,连接对角线AC、AD、CE,其中AD、CE相交于点F,连接BF,交AC于点G,则下列说法不正确的是(
A.$AC = AE + EF$
B.$AD^2 + BF^2 = 4DE^2$
C.$S_{△ CDE} = 2S_{△ AFG}$
D.$∠ ABF = ∠ AFE$
D
)。A.$AC = AE + EF$
B.$AD^2 + BF^2 = 4DE^2$
C.$S_{△ CDE} = 2S_{△ AFG}$
D.$∠ ABF = ∠ AFE$
答案
6.D
解析
【分析】
首先明确正五边形的基本性质：各边相等，每个内角为108°，所有对角线长度相等，且边与对角线构成的等腰三角形底角多为36°或72°。解题时先推导各基础角的度数、边的等量关系，再结合等腰三角形、菱形的性质逐一验证四个选项，找出错误的结论。
【解析】
正五边形ABCDE中，各边相等$AB=BC=CD=DE=EA$，每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，所有对角线长度相等。
1. 推导基础边角：
在等腰$△ ABC$中，$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-108°}{2}=36°$，同理可得$∠ EAD=∠ EDA=∠ DCE=∠ DEC=36°$，因此$∠ AEF=∠ AED-∠ DEC=72°$，在$△ AEF$中，$∠ AFE=180°-36°-72°=72°$，故$AE=AF$；同理$△ DEF$中$∠ FED=∠ FDE=36°$，故$EF=FD$。
2. 逐一验证选项：
A选项：$AC=AD=AF+FD=AE+EF$，结论正确。
B选项：由$AF=AE=AB$，$CF=BC=AB$，得$AB=BC=CF=AF$，故四边形ABCF是菱形，菱形对角线$AC⊥ BF$且互相平分。在$Rt△ AGB$中，$AG^2+BG^2=AB^2$，代入$AG=\frac{1}{2}AD$，$BG=\frac{1}{2}BF$，$AB=DE$，得$(\frac{AD}{2})^2+(\frac{BF}{2})^2=DE^2$，整理得$AD^2+BF^2=4DE^2$，结论正确。
C选项：菱形ABCF被对角线分为4个全等的直角三角形，故$S_{菱形ABCF}=4S_{△ AFG}$，又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{菱形ABCF}=2S_{△ AFG}$，且$△ ABC≌△ CDE$，故$S_{△ CDE}=2S_{△ AFG}$，结论正确。
D选项：$△ ABF$中，$AB=AF$，$∠ BAF=∠ BAC+∠ CAD=72°$，故$∠ ABF=\frac{180°-72°}{2}=54°$，而$∠ AFE=72°$，二者不相等，结论错误。
【答案】
D
【知识点】
正五边形的性质；菱形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查正多边形的边角特征，需要灵活运用等腰三角形、菱形的性质推导边、角、面积的等量关系，掌握正五边形的基础边角规律是快速解题的核心。
【难度系数】
0.6
首先明确正五边形的基本性质：各边相等，每个内角为108°，所有对角线长度相等，且边与对角线构成的等腰三角形底角多为36°或72°。解题时先推导各基础角的度数、边的等量关系，再结合等腰三角形、菱形的性质逐一验证四个选项，找出错误的结论。
【解析】
正五边形ABCDE中，各边相等$AB=BC=CD=DE=EA$，每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，所有对角线长度相等。
1. 推导基础边角：
在等腰$△ ABC$中，$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-108°}{2}=36°$，同理可得$∠ EAD=∠ EDA=∠ DCE=∠ DEC=36°$，因此$∠ AEF=∠ AED-∠ DEC=72°$，在$△ AEF$中，$∠ AFE=180°-36°-72°=72°$，故$AE=AF$；同理$△ DEF$中$∠ FED=∠ FDE=36°$，故$EF=FD$。
2. 逐一验证选项：
A选项：$AC=AD=AF+FD=AE+EF$，结论正确。
B选项：由$AF=AE=AB$，$CF=BC=AB$，得$AB=BC=CF=AF$，故四边形ABCF是菱形，菱形对角线$AC⊥ BF$且互相平分。在$Rt△ AGB$中，$AG^2+BG^2=AB^2$，代入$AG=\frac{1}{2}AD$，$BG=\frac{1}{2}BF$，$AB=DE$，得$(\frac{AD}{2})^2+(\frac{BF}{2})^2=DE^2$，整理得$AD^2+BF^2=4DE^2$，结论正确。
C选项：菱形ABCF被对角线分为4个全等的直角三角形，故$S_{菱形ABCF}=4S_{△ AFG}$，又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{菱形ABCF}=2S_{△ AFG}$，且$△ ABC≌△ CDE$，故$S_{△ CDE}=2S_{△ AFG}$，结论正确。
D选项：$△ ABF$中，$AB=AF$，$∠ BAF=∠ BAC+∠ CAD=72°$，故$∠ ABF=\frac{180°-72°}{2}=54°$，而$∠ AFE=72°$，二者不相等，结论错误。
【答案】
D
【知识点】
正五边形的性质；菱形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查正多边形的边角特征，需要灵活运用等腰三角形、菱形的性质推导边、角、面积的等量关系，掌握正五边形的基础边角规律是快速解题的核心。
【难度系数】
0.6
