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【典例1】如图，点P为抛物线$y=x^2-2x-3$上一点，且在第四象限，求$△ PBC$面积的最大值.
答案
过 P 点作直线 $PM// y$ 轴交 BC 于 M 点,设 $P(m,m^2−2m−3),M(m,−3+m)$,
$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×3PM=\frac{3}{2}[-3+m-(m^2-2m-3)]=-\frac{3}{2}(m^2-3m)$,
∴当 $m=\frac{3}{2}$ 时,$S_{△ PBC}$ 的最大值为 $\frac{27}{8}$.
【典例2】如图，若点P在抛物线$y=x^2-2x-3$上且在x轴上方，$S_{△ PBC}=15$，求P点坐标。
答案
过 P 点作 $PM// y$ 轴交直线 BC 于 M,
则 $\frac{1}{2}PM·3=15,∴PM=10$,
设 $P(m,m^2-2m-3),M(m,m-3)$,
$m^2-2m-3-(m-3)=10,m_1=-2,m_2=5$,
∴$P_1(-2,5),P_2(5,12)$.
【典例3】已知点 P 为抛物线$y=x^2-2x-3$上一点，且在第四象限，求点 P 到 BC 的最大距离。
答案
过 P 点作 $PM⊥ x$ 轴交 BC 于 M 点,过 P 作 $PH⊥ BC$ 于 H,
设 $P(m,m^2-2m-3),PH=\frac{\sqrt{2}}{2}PM=-\frac{\sqrt{2}}{2}(m^2-3m)$,
∴当 $m=\frac{3}{2}$ 时,PH 长的最大值为 $\frac{9\sqrt{2}}{8}$.
