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五、按要求画一画
1. 观察下面的立体图形，请你画出从前面、上面和左面看到的形状。
从前面看 从上面看 从左面看
1. 观察下面的立体图形，请你画出从前面、上面和左面看到的形状。
从前面看 从上面看 从左面看
答案
从前面看
共2层，下层横向并排画3个相连的正方形，上层在下层最左侧、最右侧正方形的正上方各画1个正方形，中间位置空缺。
从上面看
共2行，后排横向并排画3个相连的正方形，前排在后排最左侧正方形的正下方画1个正方形，其余位置空缺。
从左面看
共2层，下层横向并排画2个相连的正方形，上层在下层最左侧正方形的正上方画1个正方形，右侧位置空缺。
共2层，下层横向并排画3个相连的正方形，上层在下层最左侧、最右侧正方形的正上方各画1个正方形，中间位置空缺。
从上面看
共2行，后排横向并排画3个相连的正方形，前排在后排最左侧正方形的正下方画1个正方形，其余位置空缺。
从左面看
共2层，下层横向并排画2个相连的正方形，上层在下层最左侧正方形的正上方画1个正方形，右侧位置空缺。
解析
【分析】
要画出这个立体图形的三视图，首先要找准观察方向，再按顺序确认看到的小正方形的数量和位置：
1. 从前面看：正对立体图形，先数下层能看到的小正方形数量，再看上层小正方形的位置，区分有正方形的位置和空缺位置；
2. 从上面看：从上往下俯视立体图形，区分前后行的小正方形数量和对应位置；
3. 从左面看：站在立体图形左侧向右观察，先数下层小正方形数量，再确认上层小正方形的位置。
【解析】
我们分别从三个方向逐一观察确认：
1. 从前面观察：图形分为上下2层，下层横向有3个并排的正方形，上层只有左右两处有正方形，分别在下层最左、最右正方形的正上方，中间位置没有正方形；
2. 从上面观察：图形分为前后2行，后排横向有3个并排的正方形，前排只有1个正方形，在后排最左侧正方形的正下方；
3. 从左面观察：图形分为上下2层，下层横向有2个并排的正方形，上层只有1个正方形，在下层最左侧正方形的正上方，右侧位置没有正方形。
【答案】
从前面看：共2层，下层横向并排画3个相连的正方形，上层在下层最左侧、最右侧正方形的正上方各画1个正方形，中间位置空缺。
从上面看：共2行，后排横向并排画3个相连的正方形，前排在后排最左侧正方形的正下方画1个正方形，其余位置空缺。
从左面看：共2层，下层横向并排画2个相连的正方形，上层在下层最左侧正方形的正上方画1个正方形，右侧位置空缺。
【知识点】
从不同方向观察几何体，三视图绘制
【点评】
本题重点考察观察立体图形绘制三视图的能力，解题时要先明确观察方向，逐一核对每个位置是否存在小正方形，避免因混淆位置出现错画、漏画。
【难度系数】
0.7
要画出这个立体图形的三视图，首先要找准观察方向，再按顺序确认看到的小正方形的数量和位置：
1. 从前面看：正对立体图形，先数下层能看到的小正方形数量，再看上层小正方形的位置，区分有正方形的位置和空缺位置；
2. 从上面看：从上往下俯视立体图形，区分前后行的小正方形数量和对应位置；
3. 从左面看：站在立体图形左侧向右观察，先数下层小正方形数量，再确认上层小正方形的位置。
【解析】
我们分别从三个方向逐一观察确认：
1. 从前面观察：图形分为上下2层，下层横向有3个并排的正方形，上层只有左右两处有正方形，分别在下层最左、最右正方形的正上方，中间位置没有正方形；
2. 从上面观察：图形分为前后2行，后排横向有3个并排的正方形，前排只有1个正方形，在后排最左侧正方形的正下方；
3. 从左面观察：图形分为上下2层，下层横向有2个并排的正方形，上层只有1个正方形，在下层最左侧正方形的正上方，右侧位置没有正方形。
【答案】
从前面看：共2层，下层横向并排画3个相连的正方形，上层在下层最左侧、最右侧正方形的正上方各画1个正方形，中间位置空缺。
从上面看：共2行，后排横向并排画3个相连的正方形，前排在后排最左侧正方形的正下方画1个正方形，其余位置空缺。
从左面看：共2层，下层横向并排画2个相连的正方形，上层在下层最左侧正方形的正上方画1个正方形，右侧位置空缺。
【知识点】
从不同方向观察几何体，三视图绘制
【点评】
本题重点考察观察立体图形绘制三视图的能力，解题时要先明确观察方向，逐一核对每个位置是否存在小正方形，避免因混淆位置出现错画、漏画。
【难度系数】
0.7
2.(1)画出三角形ABC绕点A顺时针旋转$180°$后的图形①。
(2)画出三角形ABC向右平移8格，再向上平移2格后的图形②。
(2)画出三角形ABC向右平移8格，再向上平移2格后的图形②。
答案
(1) 找到点B绕点A顺时针旋转180°的对应点B₁，使点A为线段BB₁的中点；找到点C绕点A顺时针旋转180°的对应点C₁，使点A为线段CC₁的中点，顺次连接A、B₁、C₁，得到图形①。
(2) 分别将点A、B、C向右平移8格，再向上平移2格，得到对应点A'、B'、C'，顺次连接A'、B'、C'，得到图形②。
答：按上述步骤画出的图形①、图形②即为所求。
(2) 分别将点A、B、C向右平移8格，再向上平移2格，得到对应点A'、B'、C'，顺次连接A'、B'、C'，得到图形②。
答：按上述步骤画出的图形①、图形②即为所求。
解析
【分析】
这道题分为旋转作图和平移作图两部分：
1. 解决旋转作图问题：首先明确旋转三要素：旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角度是180°。旋转180°后，每个点的对应点和点A在同一条直线上，且到点A的距离和原来到A的距离相等，也就是A是原点和对应点连线的中点。我们只需要分别找到B、C两点旋转后的对应点，再顺次连接三个点就能得到旋转后的图形①。
2. 解决平移作图问题：平移的特点是图形的每个点都按相同的方向和距离移动，所以我们只需要把三角形的三个顶点A、B、C，先向右数8格找到第一次平移后的位置，再向上数2格得到最终的对应点，最后顺次连接三个对应点就能得到平移后的图形②。数格子时注意从原点的下一个格子开始数，避免数错格数。
【解析】
(1) 找到点B绕点A顺时针旋转180°的对应点B₁，使点A为线段BB₁的中点；找到点C绕点A顺时针旋转180°的对应点C₁，使点A为线段CC₁的中点，顺次连接A、B₁、C₁，得到图形①。
(2) 分别将点A、B、C向右平移8格，再向上平移2格，得到对应点A'、B'、C'，顺次连接A'、B'、C'，得到图形②。
【答案】
按上述步骤画出的图形①、图形②即为所求。
【知识点】
旋转作图、平移作图、图形变换
【点评】
本题是几何基础作图题，主要考察对旋转和平移性质的理解与运用，只要准确找到变换后各顶点的对应点，就能顺利完成作图。
【难度系数】
0.8
这道题分为旋转作图和平移作图两部分：
1. 解决旋转作图问题：首先明确旋转三要素：旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角度是180°。旋转180°后，每个点的对应点和点A在同一条直线上，且到点A的距离和原来到A的距离相等，也就是A是原点和对应点连线的中点。我们只需要分别找到B、C两点旋转后的对应点，再顺次连接三个点就能得到旋转后的图形①。
2. 解决平移作图问题：平移的特点是图形的每个点都按相同的方向和距离移动，所以我们只需要把三角形的三个顶点A、B、C，先向右数8格找到第一次平移后的位置，再向上数2格得到最终的对应点，最后顺次连接三个对应点就能得到平移后的图形②。数格子时注意从原点的下一个格子开始数，避免数错格数。
【解析】
(1) 找到点B绕点A顺时针旋转180°的对应点B₁，使点A为线段BB₁的中点；找到点C绕点A顺时针旋转180°的对应点C₁，使点A为线段CC₁的中点，顺次连接A、B₁、C₁，得到图形①。
(2) 分别将点A、B、C向右平移8格，再向上平移2格，得到对应点A'、B'、C'，顺次连接A'、B'、C'，得到图形②。
【答案】
按上述步骤画出的图形①、图形②即为所求。
【知识点】
旋转作图、平移作图、图形变换
【点评】
本题是几何基础作图题，主要考察对旋转和平移性质的理解与运用，只要准确找到变换后各顶点的对应点，就能顺利完成作图。
【难度系数】
0.8
1.五年级部分学生参加植树活动，如果分成3人一组，4人一组，6人一组，都少1人。五年级最少有多少人参加了植树活动？
答案
1. 11人
解析
【分析】
解题时首先理解题意：分成3人、4人、6人一组都少1人，说明总人数如果增加1人，就正好能被3、4、6整除，即总人数+1是3、4、6的公倍数。题目要求最少的参加人数，所以只需要先求出3、4、6的最小公倍数，再减去1就能得到结果。
【解析】
1. 先求3、4、6的最小公倍数，用短除法计算：
把3、4、6放入短除号，先用公因数2除，得到商3、2、3；再用公因数3除，得到商1、2、1，除到两两互质为止。
最小公倍数 = 所有除数和最终商的乘积 = 2×3×1×2×1 = 12。
2. 因为分组时都少1人，所以参加植树的最少人数为最小公倍数减1：
12 - 1 = 11（人）
【答案】
11人
【知识点】
最小公倍数计算；公倍数实际应用
【点评】
本题是公倍数应用的典型题型，解题关键是将“都少1人”的条件转化为总人数加1是三个数的公倍数，再结合“最少”的限定求最小公倍数即可，能够考察学生问题转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先理解题意：分成3人、4人、6人一组都少1人，说明总人数如果增加1人，就正好能被3、4、6整除，即总人数+1是3、4、6的公倍数。题目要求最少的参加人数，所以只需要先求出3、4、6的最小公倍数，再减去1就能得到结果。
【解析】
1. 先求3、4、6的最小公倍数，用短除法计算：
把3、4、6放入短除号，先用公因数2除，得到商3、2、3；再用公因数3除，得到商1、2、1，除到两两互质为止。
最小公倍数 = 所有除数和最终商的乘积 = 2×3×1×2×1 = 12。
2. 因为分组时都少1人，所以参加植树的最少人数为最小公倍数减1：
12 - 1 = 11（人）
【答案】
11人
【知识点】
最小公倍数计算；公倍数实际应用
【点评】
本题是公倍数应用的典型题型，解题关键是将“都少1人”的条件转化为总人数加1是三个数的公倍数，再结合“最少”的限定求最小公倍数即可，能够考察学生问题转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
2.用12个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，共有几种拼法？如果用纸把这几种长方体都包装起来，求出使用包装纸最少的那种长方体所使用的包装纸的面积。（不考虑损耗及接缝）
答案
2. 共有四种拼法 32 平方厘米
解析
【分析】
解决这道题首先要明确，12个棱长1cm的正方体拼成长方体时，长方体的体积等于12个小正方体的体积和，也就是12立方厘米，而长方体体积=长×宽×高，所以我们只需要找出所有三个正整数相乘等于12的不重复组合，就能得到所有拼法。包装纸的面积对应长方体的表面积，当体积固定时，长方体的长、宽、高越接近，它的表面积越小，据此找到表面积最小的组合计算即可。
【解析】
1. 统计拼法：将12分解为三个正整数的乘积（不计长宽高的顺序，避免重复计数）：
① $12=1×1×12$，对应长方体长宽高为12cm、1cm、1cm
② $12=1×2×6$，对应长方体长宽高为6cm、2cm、1cm
③ $12=1×3×4$，对应长方体长宽高为4cm、3cm、1cm
④ $12=2×2×3$，对应长方体长宽高为3cm、2cm、2cm
因此一共有4种拼法。
2. 计算最小包装纸面积：对比4组长宽高，2cm、2cm、3cm的数值最接近，此时表面积最小。
根据长方体表面积公式：$\mathrm{表面积}=(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})×2$
代入数值计算：
$\begin{split}&(2×2 + 2×3 + 2×3)×2\\=&(4+6+6)×2\\=&16×2\\=&32(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
【答案】
共有四种拼法，32平方厘米
【知识点】
1.长方体体积计算 2.长方体表面积计算 3.立体图形拼接规律
【点评】
这道题将因数分解与立体图形的计算结合，需要理解拼接前后体积不变的特点，同时掌握体积固定时长宽高越接近表面积越小的规律，有助于提升空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确，12个棱长1cm的正方体拼成长方体时，长方体的体积等于12个小正方体的体积和，也就是12立方厘米，而长方体体积=长×宽×高，所以我们只需要找出所有三个正整数相乘等于12的不重复组合，就能得到所有拼法。包装纸的面积对应长方体的表面积，当体积固定时，长方体的长、宽、高越接近，它的表面积越小，据此找到表面积最小的组合计算即可。
【解析】
1. 统计拼法：将12分解为三个正整数的乘积（不计长宽高的顺序，避免重复计数）：
① $12=1×1×12$，对应长方体长宽高为12cm、1cm、1cm
② $12=1×2×6$，对应长方体长宽高为6cm、2cm、1cm
③ $12=1×3×4$，对应长方体长宽高为4cm、3cm、1cm
④ $12=2×2×3$，对应长方体长宽高为3cm、2cm、2cm
因此一共有4种拼法。
2. 计算最小包装纸面积：对比4组长宽高，2cm、2cm、3cm的数值最接近，此时表面积最小。
根据长方体表面积公式：$\mathrm{表面积}=(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})×2$
代入数值计算：
$\begin{split}&(2×2 + 2×3 + 2×3)×2\\=&(4+6+6)×2\\=&16×2\\=&32(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
【答案】
共有四种拼法，32平方厘米
【知识点】
1.长方体体积计算 2.长方体表面积计算 3.立体图形拼接规律
【点评】
这道题将因数分解与立体图形的计算结合，需要理解拼接前后体积不变的特点，同时掌握体积固定时长宽高越接近表面积越小的规律，有助于提升空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
