【初步探究】
问题1:小明和菲菲做游戏,有15个球,每个人每次只能拿1或2个球,先拿到最后1个球的获胜。如何做可以让小明获胜?
思考:

同理,按照乐乐的说法,要先拿到第12个球,就要先依次拿到第()、()、()个球。
所以需要()先拿球。(填“菲菲”或“小明”)
总结:

【深入探究】
问题2:如果有100个球按照上面的规则,小明怎么做才可以使自己获胜?
想一想:(1)100能否被()整除。
(2)结果()余数(填“有”或“没有”),若小明想获胜,需要()先拿()个球,剩下的球的个数可以被必胜周期整除,接下来只要保证两个人每次拿球的数量之和是()即可。
【我的发现】
在此类问题中,当总量÷必胜周期是整数时,自己要()进行操作(填“先”或“后”);当总量÷必胜周期出现余数时,自己要()进行操作(填“先”或“后”),操作的数量与()相等。随后只要每轮自己与对方的操作数量与必胜周期数量相等即可。
【小试牛刀】桌上有49张积分卡,甲、乙两人轮流取卡,每次可取1张、2张、3张或4张,规定谁取走最后1张积分卡谁就能获胜。甲如果想获胜,需要怎么做?

解答本题需注意,若总量可以被必胜周期整除,那么让对方先操作;若总量不可以被必胜周期整除,那么需自己先操作,由此解答即可。
【初步探究】答案：3、6、9，菲菲
【深入探究】答案：(1)3 (2)有，小明，1，3
【我的发现】答案：后、先、余数
【小试牛刀】
49÷(4+1)=9(轮)……4(张)
答:甲要先取4张积分卡,之后每轮取的张数与乙取的张数之和是5即可获胜。
【解析】这类取卡问题属于博弈论中的必胜策略问题,关键在于控制每轮两人取卡的总数为固定值1+4=5(张)。由于49÷(4+1)=9(轮)……4(张),不能被整除,那么甲需先取走4张,使剩余张数变为5的倍数。之后每轮,无论乙取1~4张中的任意数量,甲取的张数与乙取的张数之和是5,确保每轮两人共取5张即可。这样,剩余张数将以5的倍数递减,最终甲会取到最后1张卡,甲即可获胜。