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1. 下列计算正确的是(
A.$a^{2} + a^{3} = a^{5}$
B.$(-2a^{2})^{3} = a^{6}$
C.$(-a)^{6} ÷ a^{2} = a^{3}$
D.$(-a)^{3} · (-a)^{4} = -a^{7}$
D
)A.$a^{2} + a^{3} = a^{5}$
B.$(-2a^{2})^{3} = a^{6}$
C.$(-a)^{6} ÷ a^{2} = a^{3}$
D.$(-a)^{3} · (-a)^{4} = -a^{7}$
答案
D
解析
A 选项：$a^{2}$ 与 $a^{3}$ 不是同类项，不能合并，所以 A 选项错误。
B 选项：根据积的乘方和幂的乘方运算法则，$(-2a^{2})^{3}=(-2)^{3}×(a^{2})^{3}=-8a^{6}$，所以 B 选项错误。
C 选项：根据同底数幂的除法运算法则，$(-a)^{6}÷ a^{2}=a^{6}÷ a^{2}=a^{6 - 2}=a^{4}$，所以 C 选项错误。
D 选项：根据同底数幂的乘法运算法则，$(-a)^{3}·(-a)^{4}=(-a)^{3 + 4}=(-a)^{7}=-a^{7}$，所以 D 选项正确。
B 选项：根据积的乘方和幂的乘方运算法则，$(-2a^{2})^{3}=(-2)^{3}×(a^{2})^{3}=-8a^{6}$，所以 B 选项错误。
C 选项：根据同底数幂的除法运算法则，$(-a)^{6}÷ a^{2}=a^{6}÷ a^{2}=a^{6 - 2}=a^{4}$，所以 C 选项错误。
D 选项：根据同底数幂的乘法运算法则，$(-a)^{3}·(-a)^{4}=(-a)^{3 + 4}=(-a)^{7}=-a^{7}$，所以 D 选项正确。
2. 下列计算正确的是(
A.$6x^{2} · 3xy = 9x^{3}y$
B.$(2ab^{2}) · (-3ab) = -6a^{2}b^{3}$
C.$m^{2}n · (-m^{2}n) = -m^{3}n^{3}$
D.$(-3x^{3}y) · (-3xy) = 9x^{3}y^{2}$
B
)A.$6x^{2} · 3xy = 9x^{3}y$
B.$(2ab^{2}) · (-3ab) = -6a^{2}b^{3}$
C.$m^{2}n · (-m^{2}n) = -m^{3}n^{3}$
D.$(-3x^{3}y) · (-3xy) = 9x^{3}y^{2}$
答案
B
解析
A. $6x^{2} · 3xy = 18x^{3}y$，与选项给出的 $9x^{3}y$ 不符。
B. $(2ab^{2}) · (-3ab) = -6a^{2}b^{3}$，与选项给出的 $-6a^{2}b^{3}$ 相符。
C. $m^{2}n · (-m^{2}n) = -m^{4}n^{2}$，与选项给出的 $-m^{3}n^{3}$ 不符。
D. $(-3x^{3}y) · (-3xy) = 9x^{4}y^{2}$，与选项给出的 $9x^{3}y^{2}$ 不符。
B. $(2ab^{2}) · (-3ab) = -6a^{2}b^{3}$，与选项给出的 $-6a^{2}b^{3}$ 相符。
C. $m^{2}n · (-m^{2}n) = -m^{4}n^{2}$，与选项给出的 $-m^{3}n^{3}$ 不符。
D. $(-3x^{3}y) · (-3xy) = 9x^{4}y^{2}$，与选项给出的 $9x^{3}y^{2}$ 不符。
3. 已知$m,n$均为正整数，且$2m + 3n = 5$，则$4^{m} · 8^{n} =$(
A.16
B.25
C.32
D.64
C
)A.16
B.25
C.32
D.64
答案
C
解析
由已知条件 $2m + 3n = 5$，需要将 $4^m · 8^n$ 转化为以 $2$ 为底的指数形式。
根据指数运算法则：
$4^m = (2^2)^m = 2^{2m}$，
$8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$。
因此，$4^m · 8^n = 2^{2m} · 2^{3n} = 2^{2m + 3n}$。
代入 $2m + 3n = 5$，得 $2^{2m + 3n} = 2^5 = 32$。
根据指数运算法则：
$4^m = (2^2)^m = 2^{2m}$，
$8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$。
因此，$4^m · 8^n = 2^{2m} · 2^{3n} = 2^{2m + 3n}$。
代入 $2m + 3n = 5$，得 $2^{2m + 3n} = 2^5 = 32$。
4. 若$(x + 3)^{0}$有意义，则$x$的取值范围是(
A.$x ＞ -3$
B.$x \geq -3$
C.$x ＜ -3$
D.$x \neq -3$
D
)A.$x ＞ -3$
B.$x \geq -3$
C.$x ＜ -3$
D.$x \neq -3$
答案
D
解析
零指数幂有意义的条件是底数不为0，即$x + 3 \neq 0$，解得$x \neq -3$。
5. 如果$(x + b)(ax - 1)$展开后不含$x$的一次项，且常数项为$-2$，那么$a^{b}$的值为(
A.$\frac{1}{4}$
B.4
C.0
D.$-4$
A
)A.$\frac{1}{4}$
B.4
C.0
D.$-4$
答案
A
解析
将$(x + b)(ax - 1)$展开，得到：$ax^2 + (ab - 1)x - b$。
根据题意，展开后不含$x$的一次项，即$ab - 1 = 0$。
同时，常数项为$-2$，即$-b = -2$，解得$b = 2$。
将$b = 2$代入$ab - 1 = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$。
最后求$a^b = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
根据题意，展开后不含$x$的一次项，即$ab - 1 = 0$。
同时，常数项为$-2$，即$-b = -2$，解得$b = 2$。
将$b = 2$代入$ab - 1 = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$。
最后求$a^b = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
6. 下列式子运算正确的是(
A.$(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2}$
B.$(x - y)^{2} = x^{2} - y^{2}$
C.$(x + 1)(x - 1) = x^{2} - 1$
D.$(x + 2)(x - 3) = x^{2} - 6$
C
)A.$(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2}$
B.$(x - y)^{2} = x^{2} - y^{2}$
C.$(x + 1)(x - 1) = x^{2} - 1$
D.$(x + 2)(x - 3) = x^{2} - 6$
答案
C
解析
A. 展开 $(x + y)^{2}$ 得到 $x^{2} + 2xy + y^{2}$，与 $x^{2} + y^{2}$ 不相等，所以 A 选项错误；
B. 展开 $(x - y)^{2}$ 得到 $x^{2} - 2xy + y^{2}$，与 $x^{2} - y^{2}$ 不相等，所以 B 选项错误；
C. 展开 $(x + 1)(x - 1)$ 得到 $x^{2} - x + x - 1 = x^{2} - 1$，与 $x^{2} - 1$ 相等，所以 C 选项正确；
D. 展开 $(x + 2)(x - 3)$ 得到 $x^{2} - 3x + 2x - 6 = x^{2} - x - 6$，与 $x^{2} - 6$ 不相等，所以 D 选项错误。
B. 展开 $(x - y)^{2}$ 得到 $x^{2} - 2xy + y^{2}$，与 $x^{2} - y^{2}$ 不相等，所以 B 选项错误；
C. 展开 $(x + 1)(x - 1)$ 得到 $x^{2} - x + x - 1 = x^{2} - 1$，与 $x^{2} - 1$ 相等，所以 C 选项正确；
D. 展开 $(x + 2)(x - 3)$ 得到 $x^{2} - 3x + 2x - 6 = x^{2} - x - 6$，与 $x^{2} - 6$ 不相等，所以 D 选项错误。
7. 已知$(a + 2b)^{2} - (a - 2b)^{2} = 8$，则$a$与$b$的关系一定成立的是(
A.$a$是$b$的相反数
B.$a$是$-b$的相反数
C.$a$是$b$的倒数
D.$a$是$-b$的倒数
C
)A.$a$是$b$的相反数
B.$a$是$-b$的相反数
C.$a$是$b$的倒数
D.$a$是$-b$的倒数
答案
C
解析
$(a + 2b)^{2} - (a - 2b)^{2} = [a^{2} + 4ab + 4b^{2}] - [a^{2} - 4ab + 4b^{2}] = 8ab$，由$8ab = 8$得$ab = 1$，所以$a$是$b$的倒数。
8. 从边长为$a$的大正方形纸板正中央挖去一个边长为$b$的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形(如图1)，然后拼成一个平行四边形(如图2)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式为(
A.$a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$
B.$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
C.$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
D.$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
D
)A.$a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$
B.$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
C.$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
D.$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
答案
D
解析
图1的阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$。
图2的阴影部分面积为平行四边形的面积，平行四边形的底边为$a+b$，高为$a-b$，所以面积为$(a+b)(a-b)$。
由于两个图形阴影部分的面积相等，因此有：
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
图2的阴影部分面积为平行四边形的面积，平行四边形的底边为$a+b$，高为$a-b$，所以面积为$(a+b)(a-b)$。
由于两个图形阴影部分的面积相等，因此有：
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
