实验 6 体积的变化
实验目的
通过操作、观察、猜想、验证等活动，探究立体图形放大后与放大前的体积关系，渗透数形结合思想，培养推理能力。
实验准备
用第 35 页中的长方体展开图做成长方体。
实验过程
1. 提出问题
将平面图形按一定的比放大后，面积会按规律变化。如果将立体图形按一定的比放大，体积会怎样变化呢？把你的预测写下来。
2. 尝试探究
(1) 拿出做好的①号和②号长方体，分别量出它们的长、宽、高，并将相关数据填在下表中。

(2) ②号长方体是将①号长方体按():()的比放大的，体积怎样变化？和你的预测相同吗？
3. 操作验证
下面是正方体、圆锥分别按一定的比放大前后的图形。

(1) 正方体和圆锥分别是按什么比放大的？

(2) 比较每个图形放大后与放大前的长度比和体积比，与你的猜想一致吗？
4. 归纳总结
如果把一个立体图形按 $ n:1 $ 的比放大，立体图形放大后与放大前的体积比是():()。
5. 反思拓展
(1) 把平面图形和立体图形分别按一定的比放大后，面积比、体积比与对应边的长度比有什么不同？又有什么联系呢？
(2) 把它们分别按一定的比缩小后，面积比、体积比与对应边的长度比又有什么联系呢？
本实验可以在学习六年级下册“面积的变化”后进行。
“提出问题”在探究平面图形放大后面积的变化基础上进行类比联想，思考立体图形放大后体积的变化规律。
“尝试探究”通过对大、小两个长方体相关数据的测量和计算，理解长方体按一定的比放大的特征，并通过对表格中相关数据的比较，进一步明确关于体积变化的猜想。
“操作验证”需要根据正方体和圆锥放大前后的图形，进行测量、计算、填表、对比、分析，验证自己的猜想。
“归纳总结”需要结合数据分析，总结出规律。
“反思拓展”需要通过对比分析，发现将平面图形和立体图形按一定的比放大或缩小后，面积比、体积比与长度比之间的联系。

1.提出问题：
预测：将立体图形按一定的比放大，体积按该比的立方变化。
2.尝试探究：
(1)假设①号长方体长、宽、高分别为$2cm$、$2cm$、$3cm$，②号长方体长、宽、高分别为$4cm$、$4cm$、$6cm$。
| | ①号长方体 | ②号长方体 | ②号长方体和①号长方体对应棱的长度比 | ②号长方体和①号长方体的体积比 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 长/cm | $2$ | $4$ | $2:1$ | $8:1$ |
| 宽/cm | $2$ | $4$ | $2:1$ | |
| 高/cm | $3$ | $6$ | $2:1$ | |
(2)②号长方体是将①号长方体按$2:1$的比放大的，体积按比的立方变化，和预测相同。
3.操作验证：
(1)假设放大前正方体棱长为$1cm$，放大后为$2cm$，按$2:1$放大；
放大前圆锥底面半径为$1cm$，高为$1cm$，放大后底面半径为$3cm$，高为$3cm$，按$3:1$放大。
| | 立体图形 | 属性 | 放大前 | 放大后 | 放大后与放大前的比 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| | 正方体 | 棱长/cm | $1$ | $2$ | $2:1$ |
| | | 体积/$cm^3$ | $1$ | $8$ | $8:1$ |
| | 圆锥 | 底面半径/cm | $1$ | $3$ | $3:1$ |
| | | 高/cm | $1$ | $3$ | $3:1$ |
| | | 体积/$cm^3$ | $\frac{1}{3}π$ | $9π$ | $27:1$ |
(2)与猜想一致。
4.归纳总结：
如果把一个立体图形按$n:1$的比放大，立体图形放大后与放大前的体积比是$n^3:1$。
5.反思拓展：
(1)平面图形按$a:b$放大，面积比是$a^2:b^2$；立体图形按$a:b$放大，体积比是$a^3:b^3$。联系是都与对应边的长度比的幂有关。
(2)平面图形按$a:b$缩小，面积比是$a^2:b^2$；立体图形按$a:b$缩小，体积比是$a^3:b^3$。