11.(7分)解方程:$\frac{1}{x - 3} + 2 = \frac{4 - x}{3 - x}$.

去分母，方程两边同乘$x - 3$，得：
$1 + 2(x - 3) = x - 4$
去括号：
$1 + 2x - 6 = x - 4$
移项、合并同类项：
$2x - x = -4 + 6 - 1$
$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$x - 3 = 1 - 3 = -2 \neq 0$
∴原方程的解为$x = 1$

12.(7分)解方程:$\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{1}{x^{2} - 4}$.

解：方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得
$x(x + 2) - (x + 2)(x - 2) = 1$
展开得$x^2 + 2x - (x^2 - 4) = 1$
化简得$x^2 + 2x - x^2 + 4 = 1$
合并同类项得$2x + 4 = 1$
移项得$2x = 1 - 4$
计算得$2x = -3$
解得$x = -\frac{3}{2}$
检验：当$x = -\frac{3}{2}$时，$(x + 2)(x - 2) = (-\frac{3}{2} + 2)(-\frac{3}{2} - 2) = (\frac{1}{2})(-\frac{7}{2}) = -\frac{7}{4} \neq 0$
所以，原分式方程的解为$x = -\frac{3}{2}$

13.(8分)有一项工程,若甲队单独做,恰好在规定日期完成;若乙队单独做,要超过规定日期$3$天完成.现在由甲、乙两队合做$2$天后,剩下的工程再由乙队单独做,也刚好在规定日期完成.问:规定日期为多少天?

设规定日期为$ x $天，则甲队单独完成需$ x $天，乙队单独完成需$ x+3 $天。
甲队工作效率为$ \frac{1}{x} $，乙队工作效率为$ \frac{1}{x+3} $。
依题意，甲、乙合作2天，乙再单独做$ x-2 $天（总时间为$ x $天），但更简便的是乙共做$ x $天，甲做2天，总工作量为1，得方程：
$\frac{2}{x} + \frac{x}{x+3} = 1$
方程两边乘$ x(x+3) $：
$2(x+3) + x^2 = x(x+3)$
展开并化简：
$2x + 6 + x^2 = x^2 + 3x \implies -x + 6 = 0 \implies x = 6$
检验：$ x=6 $时，$ x(x+3)=6×9=54≠0 $，是原方程的解。
答：规定日期为6天。

14.(8分)小明和小刚约定周末到体育公园打羽毛球,他们两家到体育公园的距离分别是$1200$米、$3000$米,小刚骑自行车的速度是小明步行速度的$3$倍.若两人想同时到达,则小明需比小刚提前$4$分钟出发.求小明和小刚两人的速度.

设小明步行速度为$x$米/分钟，则小刚骑自行车速度为$3x$米/分钟。
根据时间=路程÷速度，小明到达体育公园需$\frac{1200}{x}$分钟，小刚需$\frac{3000}{3x}$分钟。
由题意，小明比小刚提前4分钟出发且同时到达，可得方程：
$\frac{1200}{x}=\frac{3000}{3x}+4$
化简方程：
$\frac{1200}{x}=\frac{1000}{x}+4$
$\frac{1200-1000}{x}=4$
$\frac{200}{x}=4$
解得$x=50$
经检验，$x=50$是原方程的解，且符合题意。
小刚速度为$3x=3×50=150$米/分钟。
答：小明步行速度为50米/分钟，小刚骑自行车速度为150米/分钟。