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23. [操作发现]如图①,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,使重合的部分构成一个四边形$EFMN$。转动其中一张纸条,发现四边形$EFMN$总是平行四边形,其判定的依据是______；
[探究提升]取两张短边长度相等的平行四边形纸条$ABCD和EFGH(AB ＜ BC,FG \leq BC)$,其中$AB = EF$,$\angle B = \angle FEH$,将它们按图②放置,$EF落在边BC$上,$FG$、$EH与边AD分别交于点M$、$N$。求证：四边形$EFMN$是菱形；
[结论应用]保持图②中的平行四边形纸条$ABCD$不动,将平行四边形纸条$EFGH沿BC或CB$平移,且$EF始终在边BC$上。当$MD = MG$时,延长$CD$、$HG交于点P$,得到图③。若四边形$ECPH的周长为40$,$\angle C = 60^{\circ}$,则四边形$ECPH$的面积为______。
[探究提升]取两张短边长度相等的平行四边形纸条$ABCD和EFGH(AB ＜ BC,FG \leq BC)$,其中$AB = EF$,$\angle B = \angle FEH$,将它们按图②放置,$EF落在边BC$上,$FG$、$EH与边AD分别交于点M$、$N$。求证：四边形$EFMN$是菱形；
[结论应用]保持图②中的平行四边形纸条$ABCD$不动,将平行四边形纸条$EFGH沿BC或CB$平移,且$EF始终在边BC$上。当$MD = MG$时,延长$CD$、$HG交于点P$,得到图③。若四边形$ECPH的周长为40$,$\angle C = 60^{\circ}$,则四边形$ECPH$的面积为______。
答案
[操作发现]两组对边分别平行的四边形是平行四边形
[探究提升]$\because$四边形纸条$ABCD$和$EFGH$是平行四边形，
$\therefore MN// EF$，$EN// FM$.
$\therefore$四边形$EFMN$是平行四边形.
$\because\angle B = \angle FEH$，$\therefore AB// NE$.
$\because AN// BE$，
$\therefore$四边形$ABEN$是平行四边形.
$\therefore AB = EN$.
$\because AB = EF$，$\therefore EN = EF$，
$\therefore$四边形$EFMN$是菱形.
[结论应用]$50\sqrt{3}$
[探究提升]$\because$四边形纸条$ABCD$和$EFGH$是平行四边形，
$\therefore MN// EF$，$EN// FM$.
$\therefore$四边形$EFMN$是平行四边形.
$\because\angle B = \angle FEH$，$\therefore AB// NE$.
$\because AN// BE$，
$\therefore$四边形$ABEN$是平行四边形.
$\therefore AB = EN$.
$\because AB = EF$，$\therefore EN = EF$，
$\therefore$四边形$EFMN$是菱形.
[结论应用]$50\sqrt{3}$
