1.(教材变式)如图,在四边形 ABCD 中,$AB= CD,AD= BC$. 求证:$∠A= ∠C.$

证明:连接 $ BD $。
在 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle CDB $ 中,
$\left\{ \begin{array} { l } { A B = C D, } \\ { A D = B C, } \\ { B D = D B, } \end{array} \right.$
$ \therefore \triangle ABD \cong \triangle CDB ( SSS ) $,
$ \therefore \angle A = \angle C $。

2.(教材变式)如图,在四边形 ABCD 中,$AB= AD,CB= CD$. 求证:$∠B= ∠D.$

证明:连接 $ AC $。
在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADC $ 中,
$\left\{ \begin{array} { l } { A B = A D, } \\ { C B = C D, } \\ { A C = A C, } \end{array} \right.$
$ \therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC ( SSS ) $,
$ \therefore \angle B = \angle D $。

3.(教材变式)如图,在五边形 ABCDE 中,F 为 CD 上一点,连接 AF. 若$AB= AE,∠B= ∠E,$$BC= ED,AF⊥CD$. 求证:F 为 CD 的中点.

证明:连接 $ AC $, $ AD $,
$ \because AB = AE $, $ \angle B = \angle E $, $ BC = ED $,
$ \therefore \triangle ABC \cong \triangle AED ( SAS ) $,
$ \therefore AC = AD $。
$ \because AF \perp CD $,
$ \therefore \angle AFC = \angle AFD = 90 ^ { \circ } $。
$ \therefore Rt \triangle ACF \cong Rt \triangle ADF ( HL ) $,
$ \therefore CF = DF $,
即 $ F $ 为 $ CD $ 的中点。

4.如图,$∠ACB= ∠ADE= 90^{\circ },AC= AD,∠BAC= ∠EAD$,BC 的延长线交 DE 于点 F. 求证:$BC= CF+EF.$

证明:连接 $ AF $。
$ \because \angle ACB = \angle ADE = 90 ^ { \circ } $,
$ AC = AD $, $ \angle BAC = \angle EAD $,
$ \therefore \triangle ABC \cong \triangle AED ( ASA ) $,
$ \therefore BC = DE $。
在 $ Rt \triangle ACF $ 与 $ Rt \triangle ADF $ 中,
$\left\{ \begin{array} { l } { A F = A F, } \\ { A C = A D, } \end{array} \right.$
$ \therefore Rt \triangle ACF \cong Rt \triangle ADF ( HL ) $,
$ \therefore CF = DF $,
$ \therefore BC = DE = DF + EF = CF + EF $。