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1. 已知一元二次方程$2x^2 - 3x + 1 = 0的两根为x_1,x_2$,则$x_1x_2= (
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{2}{3}$
C
)$A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{2}{3}$
答案
解：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
在方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a = 2$，$c = 1$，则$x_1x_2 = \frac{1}{2}$。
答案：C
在方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a = 2$，$c = 1$，则$x_1x_2 = \frac{1}{2}$。
答案：C
2. 已知$2 - \sqrt{5}是一元二次方程x^2 - 4x + c = 0$的一个根,则方程的另一个根是$(\quad)$
A.$2 + \sqrt{5}$
B.$2 - \sqrt{5}$
C.$1 + \sqrt{5}$
D.$1 - \sqrt{5}$
A
A.$2 + \sqrt{5}$
B.$2 - \sqrt{5}$
C.$1 + \sqrt{5}$
D.$1 - \sqrt{5}$
答案
【解析】：
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程 $x^2 - 4x + c = 0$，其中 $a = 1, b = -4$。
已知其中一个根为 $2 - \sqrt{5}$，设另一个根为 $x_1$。
根据根与系数的关系，有：
$(2 - \sqrt{5}) + x_1 = 4$，
解这个方程，得到：
$x_1 = 4 - (2 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5}$，
故答案选 A。
【答案】：
A
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程 $x^2 - 4x + c = 0$，其中 $a = 1, b = -4$。
已知其中一个根为 $2 - \sqrt{5}$，设另一个根为 $x_1$。
根据根与系数的关系，有：
$(2 - \sqrt{5}) + x_1 = 4$，
解这个方程，得到：
$x_1 = 4 - (2 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5}$，
故答案选 A。
【答案】：
A
3. 若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的各项系数满足$a - b + c = 0$,那么这个方程必有一根为$(\quad)$
A.0
B.1
C.-1
D.$\pm 1$
C
A.0
B.1
C.-1
D.$\pm 1$
答案
【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
给定条件 $a - b + c = 0$，我们需要找到一个数，使得将其代入方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 后，方程成立。
尝试代入 $x = -1$，得到：
$a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$
由 $a - b + c = 0$，可知 $x = -1$ 是方程的一个根。
【答案】：
C. $-1$
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
给定条件 $a - b + c = 0$，我们需要找到一个数，使得将其代入方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 后，方程成立。
尝试代入 $x = -1$，得到：
$a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$
由 $a - b + c = 0$，可知 $x = -1$ 是方程的一个根。
【答案】：
C. $-1$
4. 已知$x_1,x_2是关于x的方程x^2 - ax - 2 = 0$的两根,下列结论一定正确的是$(\quad)$
A.$x_1 \neq x_2$
B.$x_1 + x_2 ＞ 0$
C.$x_1 \cdot x_2 ＞ 0$
D.$x_1 ＜ 0,x_2 ＜ 0$
A
A.$x_1 \neq x_2$
B.$x_1 + x_2 ＞ 0$
C.$x_1 \cdot x_2 ＞ 0$
D.$x_1 ＜ 0,x_2 ＜ 0$
答案
解：A选项：
方程$x^2 - ax - 2 = 0$的判别式$\Delta = (-a)^2 - 4 × 1 × (-2) = a^2 + 8$。
$\because a^2 \geq 0$，$\therefore \Delta = a^2 + 8 ＞ 0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，即$x_1 \neq x_2$，A正确。
B选项：
由根与系数的关系，$x_1 + x_2 = a$。
当$a ＜ 0$时，$x_1 + x_2 ＜ 0$，B错误。
C选项：
由根与系数的关系，$x_1 \cdot x_2 = -2 ＜ 0$，C错误。
D选项：
$\because x_1 \cdot x_2 = -2 ＜ 0$，$\therefore x_1$，$x_2$异号，D错误。
结论：A。
方程$x^2 - ax - 2 = 0$的判别式$\Delta = (-a)^2 - 4 × 1 × (-2) = a^2 + 8$。
$\because a^2 \geq 0$，$\therefore \Delta = a^2 + 8 ＞ 0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，即$x_1 \neq x_2$，A正确。
B选项：
由根与系数的关系，$x_1 + x_2 = a$。
当$a ＜ 0$时，$x_1 + x_2 ＜ 0$，B错误。
C选项：
由根与系数的关系，$x_1 \cdot x_2 = -2 ＜ 0$，C错误。
D选项：
$\because x_1 \cdot x_2 = -2 ＜ 0$，$\therefore x_1$，$x_2$异号，D错误。
结论：A。
5. 下列一元二次方程两实数根的和为$-4的是(
A.$x^2 + 2x - 4 = 0$
B.$x^2 - 4x + 4 = 0$
C.$x^2 + 4x - 10 = 0$
D.$x^2 - 4x - 5 = 0$
C
)$A.$x^2 + 2x - 4 = 0$
B.$x^2 - 4x + 4 = 0$
C.$x^2 + 4x - 10 = 0$
D.$x^2 - 4x - 5 = 0$
答案
解：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
A. 方程$x^2 + 2x - 4 = 0$，$a=1$，$b=2$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2\neq -4$。
B. 方程$x^2 - 4x + 4 = 0$，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4\neq -4$。
C. 方程$x^2 + 4x - 10 = 0$，$a=1$，$b=4$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$。
D. 方程$x^2 - 4x - 5 = 0$，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4\neq -4$。
答案：C
A. 方程$x^2 + 2x - 4 = 0$，$a=1$，$b=2$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2\neq -4$。
B. 方程$x^2 - 4x + 4 = 0$，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4\neq -4$。
C. 方程$x^2 + 4x - 10 = 0$，$a=1$，$b=4$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$。
D. 方程$x^2 - 4x - 5 = 0$，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4\neq -4$。
答案：C
1. 关于$x的一元二次方程x^2 + bx + c = 0$的两个实数根分别为1和$-2$,则$b=$
1
,$c=$-2
.答案
【解析】：
本题考查一元二次方程的根与系数的关系。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，若其两个根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系，我们有：
根的和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
根的积：$x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$，
在本题中，$a=1$（因为方程是$x^2+bx+c=0$），两个根为1和-2。
所以，我们可以建立以下方程：
根的和：$1 + (-2) = -\frac{b}{1}$，即 $-1 = -b$，解得 $b = 1$；
根的积：$1 × (-2) = \frac{c}{1}$，即 $-2 = c$，解得 $c = -2$。
【答案】：
$b = 1$；$c = -2$。
本题考查一元二次方程的根与系数的关系。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，若其两个根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系，我们有：
根的和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
根的积：$x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$，
在本题中，$a=1$（因为方程是$x^2+bx+c=0$），两个根为1和-2。
所以，我们可以建立以下方程：
根的和：$1 + (-2) = -\frac{b}{1}$，即 $-1 = -b$，解得 $b = 1$；
根的积：$1 × (-2) = \frac{c}{1}$，即 $-2 = c$，解得 $c = -2$。
【答案】：
$b = 1$；$c = -2$。
2. 如果关于$x的方程x^2 - kx + 12 = 0$的两个实数根之和为7,那么$k$的值是
7
.答案
解：对于一元二次方程$x^2 - kx + 12 = 0$，其中$a = 1$，$b = -k$，$c = 12$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
已知两个实数根之和为$7$，则有：
$-\frac{b}{a} = 7$
即$-\frac{-k}{1} = 7$，解得$k = 7$。
答案：$7$
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
已知两个实数根之和为$7$，则有：
$-\frac{b}{a} = 7$
即$-\frac{-k}{1} = 7$，解得$k = 7$。
答案：$7$
3. 若关于$x的一元二次方程x^2 + bx + c = 0(b,c为常数)的两根为x_1,x_2满足x_1 + x_2 = 4$,请写出一个符合条件的方程______
$x^2 - 4x = 0$
.答案
解：根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 + bx + c = 0$，两根之和$x_1 + x_2 = -b$。已知$x_1 + x_2 = 4$，则$-b = 4$，即$b = -4$。取$c = 0$，可得方程$x^2 - 4x = 0$。
$x^2 - 4x = 0$
$x^2 - 4x = 0$
4. 若关于$x的方程x^2 + bx + c = 0$的两个解是1和$-3$,则$x^2 + bx + c$可分解为
$(x - 1)(x + 3)$
.答案
【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若$x_1$和$x_2$是方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根，则方程可以表示为$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$。
在本题中，已知方程$x^2 + bx + c = 0$的两个解是1和-3，即$x_1 = 1$，$x_2 = -3$。
代入上述关系式，得到方程可以表示为$(x - 1)(x + 3) = 0$。
【答案】：
$(x - 1)(x + 3)$
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若$x_1$和$x_2$是方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根，则方程可以表示为$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$。
在本题中，已知方程$x^2 + bx + c = 0$的两个解是1和-3，即$x_1 = 1$，$x_2 = -3$。
代入上述关系式，得到方程可以表示为$(x - 1)(x + 3) = 0$。
【答案】：
$(x - 1)(x + 3)$
1. 已知方程$x^2 - 5x + 2 = 0的两个根分别为x_1,x_2$.
求:(1)$x_1 + x_2 - x_1 \cdot x_2$的值；
(2)$x_1^2 + x_2^2$的值.
求:(1)$x_1 + x_2 - x_1 \cdot x_2$的值；
(2)$x_1^2 + x_2^2$的值.
答案
解：(1)对于方程$x^2 - 5x + 2 = 0$，根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 5$，$x_1 \cdot x_2 = 2$。
所以$x_1 + x_2 - x_1 \cdot x_2 = 5 - 2 = 3$。
(2)$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 = 5^2 - 2×2 = 25 - 4 = 21$。
所以$x_1 + x_2 - x_1 \cdot x_2 = 5 - 2 = 3$。
(2)$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 = 5^2 - 2×2 = 25 - 4 = 21$。
