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2. 分式的除法
典例2 计算：
(1) $\dfrac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \dfrac{-8ab^2}{35m^2}$；
(2) $(xy - x^2) ÷ \dfrac{x - y}{xy}$。
典例2 计算：
(1) $\dfrac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \dfrac{-8ab^2}{35m^2}$；
(2) $(xy - x^2) ÷ \dfrac{x - y}{xy}$。
答案
解：
(1) 原式$=\dfrac{4a^2b^2}{15m^3} · \dfrac{35m^2}{-8ab^2}$
$=-\dfrac{4a^2b^2 · 35m^2}{15m^3 · 8ab^2}$
$=-\dfrac{7a}{6m}$
(2) 原式$=(xy-x^2) · \dfrac{xy}{x-y}$
$=x(y-x) · \dfrac{xy}{x-y}$
$=-x(x-y) · \dfrac{xy}{x-y}$
$=-x^2y$
(1) 原式$=\dfrac{4a^2b^2}{15m^3} · \dfrac{35m^2}{-8ab^2}$
$=-\dfrac{4a^2b^2 · 35m^2}{15m^3 · 8ab^2}$
$=-\dfrac{7a}{6m}$
(2) 原式$=(xy-x^2) · \dfrac{xy}{x-y}$
$=x(y-x) · \dfrac{xy}{x-y}$
$=-x(x-y) · \dfrac{xy}{x-y}$
$=-x^2y$
举一反三 计算：
(1)$\frac{ab^2}{2c^2} ÷ \frac{-3a^2b}{4c}$；
(2)$\frac{a^2 -1}{a^2 +4a +4} ÷ \frac{a+1}{a+2}$。
(1)$\frac{ab^2}{2c^2} ÷ \frac{-3a^2b}{4c}$；
(2)$\frac{a^2 -1}{a^2 +4a +4} ÷ \frac{a+1}{a+2}$。
答案
解 (1) 原式 $=\frac{ab^2}{2c^2} · (-\frac{4c}{3a^2b})=-\frac{2b}{3ac}.$
(2) 原式 $=\frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2} · \frac{a+2}{a+1} =\frac{a-1}{a+2}.$
(2) 原式 $=\frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2} · \frac{a+2}{a+1} =\frac{a-1}{a+2}.$
典例3 甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修$(a^2 - 4)\mathrm{m}$，乙工程队每天修$(a - 2)^2\mathrm{m}$（其中$a＞10$），则甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的多少倍？
答案
解：
甲工程队修900 m所用的时间为 $\frac{900}{a^2 - 4}$ 天，
乙工程队修600 m所用的时间为 $\frac{600}{(a-2)^2}$ 天。
所求倍数为：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{900 · (a-2)^2}{600 · (a+2)(a-2)} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
答：甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
甲工程队修900 m所用的时间为 $\frac{900}{a^2 - 4}$ 天，
乙工程队修600 m所用的时间为 $\frac{600}{(a-2)^2}$ 天。
所求倍数为：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{900 · (a-2)^2}{600 · (a+2)(a-2)} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
答：甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
举一反三 有甲、乙两筐水果，甲筐水果重$(x-3)^2\mathrm{kg}$，乙筐水果重$(x^2 -9)\mathrm{kg}$（其中$x＞3$），若两筐水果都卖了50元，则甲筐水果的单价是乙筐水果单价的多少倍？
典例解析
典例1
解 (1)$\frac{8x^2}{9y^2} · \frac{3y}{-4x} = -\frac{24x^2y}{36xy^2} = -\frac{2x}{3y}.$
(2) $\frac{a^2 +5a +6}{2a +6} · \frac{a^2 +2a -8}{a^2 -4} = \frac{(a+2)(a+3)}{2(a+3)} · \frac{(a+4)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a+4}{2}.$
典例2
解 (1)$\frac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \frac{-8ab^2}{35m^2} = \frac{4a^2b^2}{15m^3} · (-\frac{35m^2}{8ab^2}) = -\frac{7a}{6m}.$
(2)$(xy -x^2) ÷ \frac{x - y}{xy} = x(y -x) · \frac{xy}{x - y} = \frac{x^2y(y -x)}{x - y} = -x^2y.$
典例3
解 甲工程队修900 m所用的时间为$\frac{900}{a^2 -4}$天，乙工程队修600 m所用的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天，
根据题意，得$\frac{900}{a^2 -4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600}$
$=\frac{3a -6}{2a +4}.$
所以，甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用的时间的$\frac{3a -6}{2a +4}$倍。
典例解析
典例1
解 (1)$\frac{8x^2}{9y^2} · \frac{3y}{-4x} = -\frac{24x^2y}{36xy^2} = -\frac{2x}{3y}.$
(2) $\frac{a^2 +5a +6}{2a +6} · \frac{a^2 +2a -8}{a^2 -4} = \frac{(a+2)(a+3)}{2(a+3)} · \frac{(a+4)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a+4}{2}.$
典例2
解 (1)$\frac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \frac{-8ab^2}{35m^2} = \frac{4a^2b^2}{15m^3} · (-\frac{35m^2}{8ab^2}) = -\frac{7a}{6m}.$
(2)$(xy -x^2) ÷ \frac{x - y}{xy} = x(y -x) · \frac{xy}{x - y} = \frac{x^2y(y -x)}{x - y} = -x^2y.$
典例3
解 甲工程队修900 m所用的时间为$\frac{900}{a^2 -4}$天，乙工程队修600 m所用的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天，
根据题意，得$\frac{900}{a^2 -4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600}$
$=\frac{3a -6}{2a +4}.$
所以，甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用的时间的$\frac{3a -6}{2a +4}$倍。
答案
解 根据题意,得
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
$=\frac{x+3}{x-3}.$
所以,甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍.
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
$=\frac{x+3}{x-3}.$
所以,甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍.
