4. :: |过程性学习 阅读材料:小胖同学遇到这样一个问题,如图①,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,$AB=2\sqrt{2}$,$AD=AE$,$∠ DAE=90°$,$CE=\sqrt{5}$,求$CD$的长.
小胖经过思考后,在$CD$上取点$F$使得$∠ DEF=∠ ADB$(如图②),进而得到$∠ EFD=45°$,试图构建“一线三等角”模型解决问题,于是他继续分析,又意外发现$△ CEF ∽ △ CDE$.
(1)请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程；
(2)参考小胖的解题思路解决下面的问题:如图③,在$△ ABC$中,$∠ ACB=∠ DAC=∠ ABC$,$AD=AE$,$\frac{1}{2}∠ EAD+∠ EBD=90°$,求$\frac{BE}{ED}$的值.

$\gg$进一步挑战进阶专题:P101 专题15~P103 专题17

4. (1)在 CD 上取点 F,使∠DEF = ∠ADB,
∵ AD=AE,∠DAE=90°,
∴ DE = $\sqrt{2}$AD = $\sqrt{2}$AE.
∵ ∠ABC = 45°,∠ADE = 45°,且∠ADC = ∠ADE+∠EDC,
∴ ∠BAD = ∠EDC.
∵ ∠BDA = ∠DEF,
∴ △ADB∽△DEF,
∴ $\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{AD}=\sqrt{2}$.
∵ AB = 2$\sqrt{2}$,
∴ DF = 4.又
∵ ∠CDE+∠C = 45°,
∴ ∠CEF = ∠CDE,
∴ △CEF∽△CDE,
∴ $\frac{CE}{CF}=\frac{DC}{CE}$.又
∵ DF = 4,CE = $\sqrt{5}$,
∴ $\frac{\sqrt{5}}{CF}=\frac{CF+4}{\sqrt{5}}$,
∴ CF = 1 或 CF = -5(舍去),
∴ CD = CF+4 = 5.
(2)如图,作∠DAT = ∠BDE,作∠RAT = ∠DAE,
∵ ∠ACB = ∠DAC = ∠ABC,
∴ AB = AC,AD = CD.
∵ AD = AE,
∴ ∠AED = ∠ADE.
∵ $\frac{1}{2}$∠EAD+∠EBD = 90°,
∴ ∠EAD+2∠EBD = 180°,且∠EAD+2∠AED = 180°,
∴ ∠EBD = ∠AED = ∠ADE.
∵ ∠BDA = ∠DAT + ∠ATD = ∠BDE + ∠ADE,
∴ ∠ADE = ∠ATD = ∠EBD,且∠BDE = ∠DAT,
∴ △DBE∽△ATD,
∴ $\frac{BE}{DT}=\frac{DE}{AD}$,∠ADT = ∠BED,
∴ $\frac{BE}{DE}=\frac{DT}{AD}$,且 AD = DC,
∴ $\frac{BE}{DE}=\frac{DT}{CD}$.
∵ ∠RAT = ∠DAE,∠ADE = ∠ATD,
∴ ∠RAE = ∠DAT,∠AED = ∠ART = ∠ADE = ∠ATD,
∴ AR = AT,且∠RAE = ∠DAT,
∴ △ARE≌△ATD(SAS),
∴ ∠ADT = ∠AER,DT = ER,
∴ ∠BED = ∠AER,
∴ ∠AED = ∠BER = ∠EBD,
∴ RE = RB = DT.
∵ AB = AC,∠ABC = ∠ACB,∠ARB = ∠ATC,
∴ △ABR≌△ACT(AAS),
∴ BR = TC,
∴ DT = TC,
∴ CD = 2DT,
∴ $\frac{BE}{DE}=\frac{DT}{CD}=\frac{1}{2}$.

【分析】
(1) 第一问解题思路：首先由AD=AE、∠DAE=90°可得△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=45°，结合∠ABC=45°，利用三角形外角性质推导得∠BAD=∠EDC；再结合构造的∠DEF=∠ADB，证△ADB∽△DEF，利用相似比求出DF的长度；之后推导角的关系证得△CEF∽△CDE，列比例式求出CF长度，相加即可得CD的长。
(2) 第二问解题思路：首先由∠ACB=∠DAC=∠ABC得AB=AC、AD=CD，结合给出的角的数量关系推导得∠EBD=∠ADE=∠AED；通过构造∠DAT=∠BDE、∠RAT=∠DAE，先证△DBE∽△ATD得到比例关系，再依次证明△ARE≌△ATD、△ABR≌△ACT，转化线段关系得到DT与CD的数量关系，即可求出$\frac{BE}{ED}$的比值。
【解析】
(1) 在CD上取点F，使∠DEF = ∠ADB，
∵ AD=AE，∠DAE=90°，
∴ DE = $\sqrt{2}$AD = $\sqrt{2}$AE。
∵ ∠ABC = 45°，∠ADE = 45°，且∠ADC = ∠ADE+∠EDC，∠ADC=∠ABC+∠BAD，
∴ ∠BAD = ∠EDC。
∵ ∠BDA = ∠DEF，
∴ △ADB∽△DEF，
∴ $\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{AD}=\sqrt{2}$。
∵ AB = $2\sqrt{2}$，
∴ DF = 4。
又
∵ ∠EFD=45°，∠EFD=∠C+∠CEF，∠CDE+∠C = 45°，
∴ ∠CEF = ∠CDE，
又
∵ ∠C是公共角，
∴ △CEF∽△CDE，
∴ $\frac{CE}{CF}=\frac{DC}{CE}$。
∵ DF = 4，CE = $\sqrt{5}$，DC=CF+DF，
∴ $\frac{\sqrt{5}}{CF}=\frac{CF+4}{\sqrt{5}}$，
解得CF = 1 或 CF = -5(线段长度为正，舍去)，
∴ CD = CF+4 = 5。
(2) 如图，作∠DAT = ∠BDE，作∠RAT = ∠DAE，

∵ ∠ACB = ∠DAC = ∠ABC，
∴ AB = AC，AD = CD。
∵ AD = AE，
∴ ∠AED = ∠ADE。
∵ $\frac{1}{2}$∠EAD+∠EBD = 90°，
∴ ∠EAD+2∠EBD = 180°，
又
∵ 三角形内角和为180°，∠EAD+∠AED+∠ADE=∠EAD+2∠AED = 180°，
∴ ∠EBD = ∠AED = ∠ADE。
∵ ∠BDA = ∠DAT + ∠ATD = ∠BDE + ∠ADE，且∠DAT=∠BDE，
∴ ∠ADE = ∠ATD = ∠EBD，
∴ △DBE∽△ATD，
∴ $\frac{BE}{DT}=\frac{DE}{AD}$，∠ADT = ∠BED，
∴ $\frac{BE}{DE}=\frac{DT}{AD}$，又AD = DC，
∴ $\frac{BE}{DE}=\frac{DT}{CD}$。
∵ ∠RAT = ∠DAE，∠ADE = ∠ATD，
∴ ∠RAE = ∠DAT，∠AED = ∠ART = ∠ADE = ∠ATD，
∴ AR = AT，又AE=AD，∠RAE=∠DAT，
∴ △ARE≌△ATD(SAS)，
∴ ∠ADT = ∠AER，DT = ER，
∴ ∠BED = ∠AER，
∴ ∠AED = ∠BER = ∠EBD，
∴ RE = RB = DT。
∵ AB = AC，∠ABC = ∠ACB，∠ARB = ∠ATC=180°-∠ART=180°-∠ATD，
∴ △ABR≌△ACT(AAS)，
∴ BR = TC，
∴ DT = TC，
∴ CD = DT+TC=2DT，
∴ $\frac{BE}{DE}=\frac{DT}{CD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $CD=5$；
(2) $\frac{BE}{ED}=\frac{1}{2}$，辅助线：
【知识点】
相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、等腰三角形性质
【点评】
本题属于方法迁移类探究题，第一问借助“一线三等角”模型构造相似三角形，结合两组相似的性质即可求出线段长度；第二问需要类比第一问思路，通过构造等角得到相似与全等关系，实现线段的等量转化后求出比值，解题时要注意角的数量关系推导，灵活转化线段关系。
【难度系数】
0.4