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4. 如果$(x - y)^2 + M = (x + y)^2$，则$M$等于(
A.$2xy$
B.$-2xy$
C.$4xy$
D.$-4xy$
C
)A.$2xy$
B.$-2xy$
C.$4xy$
D.$-4xy$
答案
4. C
5. $(x + 2)( )$
$x - 2$
$$) = x^2 - 4$；$(2x +$$$y$
$$)( )$2x$
$- y) = 4x^2 - y^2$。答案
5. $x - 2$ $y$ $2x$
6. 若$m = 2n + 1$，则$m^2 - 4mn + 4n^2$的值是
1
。答案
6. 1
7. 化简：$(1 + x)(1 - x)(1 + x^2)(1 + x^4) =$
$1 - x^{8}$
。答案
7. $1 - x^{8}$
8. 化简：$(a + b - c)(a - b + c) =$
$a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2bc$
。答案
8. $a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2bc$
9. 化简：$(2x - 1)^2 - (x + 2)^2 =$
$3x^{2} - 8x - 3$
。答案
9. $3x^{2} - 8x - 3$
10. 化简：$(x + 1)(x - 2) - (x - 3)(x + 3) =$
$-x + 7$
。答案
10. $-x + 7$
11. 若$(x + \frac{1}{x})^2 = 9$，求$(x - \frac{1}{x})^2$的值。
答案
解：
先对已知等式展开：
$(x+\frac{1}{x})^2=x^2+2· x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+2=9$
由此可得$x^2+\frac{1}{x^2}=9-2=7$
再对所求式子展开：
$(x-\frac{1}{x})^2=x^2-2· x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-2$
将$x^2+\frac{1}{x^2}=7$代入，得：
$(x-\frac{1}{x})^2=7-2=5$
最终答案：$\boldsymbol{5}$
先对已知等式展开：
$(x+\frac{1}{x})^2=x^2+2· x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+2=9$
由此可得$x^2+\frac{1}{x^2}=9-2=7$
再对所求式子展开：
$(x-\frac{1}{x})^2=x^2-2· x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-2$
将$x^2+\frac{1}{x^2}=7$代入，得：
$(x-\frac{1}{x})^2=7-2=5$
最终答案：$\boldsymbol{5}$
12. 若$a + b = 5$，$ab = 6$，求$a - b$的值。
答案
解：根据完全平方公式可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=5$，$ab=6$代入上式：
$(a-b)^2=5^2-4×6=25-24=1$
对等式两边开平方：
$a-b=\pm\sqrt{1}=\pm1$
因此$a-b$的值为$\boldsymbol{\pm1}$。
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=5$，$ab=6$代入上式：
$(a-b)^2=5^2-4×6=25-24=1$
对等式两边开平方：
$a-b=\pm\sqrt{1}=\pm1$
因此$a-b$的值为$\boldsymbol{\pm1}$。
13. 先化简，再求值：
$(2x - 1)(x + 2) - (x - 2)(x + 2) - (x - 2)^2$，
其中$x = -1\frac{1}{2}$。
$(2x - 1)(x + 2) - (x - 2)(x + 2) - (x - 2)^2$，
其中$x = -1\frac{1}{2}$。
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&(2x - 1)(x + 2) - (x - 2)(x + 2) - (x - 2)^2\\=&2x^2 + 4x - x - 2 - (x^2 - 4) - (x^2 - 4x + 4)\\=&2x^2 + 3x - 2 - x^2 + 4 - x^2 + 4x - 4\\=&(2x^2 - x^2 - x^2) + (3x + 4x) + (-2 + 4 - 4)\\=&7x - 2\end{aligned}$
当$x = -1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$时，代入化简后的式子：
$7×(-\frac{3}{2}) - 2 = -\frac{21}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{25}{2} = -12\frac{1}{2}$
先化简原式：
$\begin{aligned}&(2x - 1)(x + 2) - (x - 2)(x + 2) - (x - 2)^2\\=&2x^2 + 4x - x - 2 - (x^2 - 4) - (x^2 - 4x + 4)\\=&2x^2 + 3x - 2 - x^2 + 4 - x^2 + 4x - 4\\=&(2x^2 - x^2 - x^2) + (3x + 4x) + (-2 + 4 - 4)\\=&7x - 2\end{aligned}$
当$x = -1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$时，代入化简后的式子：
$7×(-\frac{3}{2}) - 2 = -\frac{21}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{25}{2} = -12\frac{1}{2}$
14. 先化简，再求值：
$(b - 2a)(-2a + b) + b(2a + b) - 4a^2b ÷ b$，其中$a = -\frac{1}{2}$，$b = 2$。
$(b - 2a)(-2a + b) + b(2a + b) - 4a^2b ÷ b$，其中$a = -\frac{1}{2}$，$b = 2$。
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&(b - 2a)(-2a + b) + b(2a + b) - 4a^2b ÷ b\\=&(b-2a)^2 + 2ab + b^2 - 4a^2\\=&b^2 -4ab +4a^2 + 2ab + b^2 -4a^2\\=&-2ab + 2b^2\end{aligned}$
将$a = -\frac{1}{2}$，$b = 2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}&-2×(-\frac{1}{2})×2 + 2×2^2\\=&2 + 8\\=&10\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{10}$。
先化简原式：
$\begin{aligned}&(b - 2a)(-2a + b) + b(2a + b) - 4a^2b ÷ b\\=&(b-2a)^2 + 2ab + b^2 - 4a^2\\=&b^2 -4ab +4a^2 + 2ab + b^2 -4a^2\\=&-2ab + 2b^2\end{aligned}$
将$a = -\frac{1}{2}$，$b = 2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}&-2×(-\frac{1}{2})×2 + 2×2^2\\=&2 + 8\\=&10\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{10}$。
15. 已知$x(x + 1) - (x^2 + y) = -3$，求$\frac{x^2 + y^2}{2} - xy$的值。
答案
解：
先化简已知等式：
$x(x + 1) - (x^2 + y) = -3$
展开并合并同类项：
$x^2 + x - x^2 - y = -3$
可得 $x - y = -3$
对所求式子变形：
$\frac{x^2 + y^2}{2} - xy = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{2} = \frac{(x - y)^2}{2}$
将$x - y = -3$代入上式：
$\frac{(-3)^2}{2} = \frac{9}{2}$
综上，$\frac{x^2 + y^2}{2} - xy$的值为$\frac{9}{2}$。
先化简已知等式：
$x(x + 1) - (x^2 + y) = -3$
展开并合并同类项：
$x^2 + x - x^2 - y = -3$
可得 $x - y = -3$
对所求式子变形：
$\frac{x^2 + y^2}{2} - xy = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{2} = \frac{(x - y)^2}{2}$
将$x - y = -3$代入上式：
$\frac{(-3)^2}{2} = \frac{9}{2}$
综上，$\frac{x^2 + y^2}{2} - xy$的值为$\frac{9}{2}$。
如图1，从边长为$a$的正方形纸片中剪去一个边长为$b$的小正方形，再沿着线段$AB$剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形。
(1)设图1中阴影部分面积为$S_1$，图2中阴影部分面积为$S_2$，请直接用含$a$，$b$的代数式表示$S_1$和$S_2$；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式。
(1)设图1中阴影部分面积为$S_1$，图2中阴影部分面积为$S_2$，请直接用含$a$，$b$的代数式表示$S_1$和$S_2$；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式。
答案
解：①$S_{1} = a^{2} - b^{2}$
$S_{2} = (a + b)(a - b)$
②$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$
$S_{2} = (a + b)(a - b)$
②$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$
